Перегляд вихідного коду сторінки Середньоквадратична похибка

{{Перенаправлено-не-плутати|Середньоквадратичне відхилення|Середньоквадратичне зміщення}}
У [[Статистика|статистиці]] '''середньоквадрати́чна по́хибка''', '''сере́дня квадрати́чна по́хибка''' ('''СКП''', {{lang-en|mean squared error, MSE}})<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-26|title=List of Probability and Statistics Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/|accessdate=2020-09-12|website=Math Vault|language=en-US|archive-date=18 серпня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200818113919/https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/}} {{ref-en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Mean Squared Error (MSE)|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter9/9_1_5_mean_squared_error_MSE.php|accessdate=2020-09-12|website=www.probabilitycourse.com|archive-date=6 травня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506143114/https://www.probabilitycourse.com/chapter9/9_1_5_mean_squared_error_MSE.php}} {{ref-en}}</ref> або '''середньоквадрати́чне відхи́лення''', '''сере́днє квадрати́чне відхи́лення''' ('''СКВ''', {{lang-en|mean squared deviation, MSD}}) [[оцінювач (статистика)|оцінювача]] (процедури оцінювання неспостережуваної величини) вимірює [[математичне сподівання|усереднення]] квадратів [[похибка (статистика)|похибок]]&nbsp;— тобто, середнє квадратичної різниці між оцінками значень та справжнім значенням. СКП є [[функція ризику|функцією ризику]], яка відповідає [[математичне сподівання|математичному сподіванню]] квадрату похибкових втрат.{{На чию думку|дата=липень 2021}}{{Прояснити|comment=У машиннім навчанні СКП зазвичай означає не математичне сподівання, а емпіричне усереднення, що може наближувати істинну СКП. Я думаю, важливо прояснити цю частину, тобто розрізнити між СКП математичного сподівання та емпіричною СКП (функцією втрат — посередником). Насправді, нижче ми говоримо про СКП, але не як про математичне сподівання.|дата=липень 2021}} Той факт, що СКП є майже завжди строго додатною (а не нульовою), випливає з [[випадковість|випадковості]], або з того, що оцінювач {{нп|Зміщення через пропуск змінних|не враховує інформації||Omitted-variable bias}}, яка могла би давати точнішу оцінку.<ref name="pointEstimation">{{Cite book
|title=Theory of Point Estimation
|last=Lehmann
|first=E. L.
|last2=Casella
|first2=George
|year=1998
|publisher=Springer
|edition=2nd
|location=New York
|isbn=978-0-387-98502-2
|mr=1639875
}} {{ref-en}}</ref>

СКП є мірою якості оцінювача. Оскільки вона походить від квадрата [[евклідова відстань|евклідової відстані]], її значення є завжди додатним, і зменшується, коли похибка наближається до нуля.

СКП є другим [[момент (математика)|моментом]] похибки (відносно оригіналу),{{Прояснити|comment=Ця частина є не дуже зрозумілою. Про яку похибку ми тут говоримо? І що значить для СКП бути другим моментом похибки?|дата=липень 2021}} і, таким чином, охоплює як [[дисперсія випадкової величини|дисперсію]] оцінювача (наскільки широким є розкид оцінок від одного [[вибірка|зразка даних]] до іншого), так і його [[зміщення оцінювача|зміщення]] (наскільки віддаленим є усереднене оцінене значення від істинного).{{Джерело|comment=Це є відомим фактом, ви можете подивитися обговорення в «An Introduction to Statistical Learning», але він вимагає посилання на джерело|дата=липень 2021}} Для [[незміщений оцінювач|незміщеного оцінювача]] СКП є його дисперсією. Як і дисперсія, СКП має ті ж одиниці вимірювання, що й квадрат оцінюваної величини. За аналогією зі [[стандартне відхилення|стандартним відхиленням]], взяття квадратного кореня СКП дає кореневу середньоквадратичну похибку, або {{нп|кореневе середньоквадратичне відхилення|||Root-mean-square deviation}} (КСКП або КСКВ, {{lang-en|RMSE, RMSD}}), що має ті ж одиниці вимірювання, що й оцінювана величина. Для незміщеного оцінювача КСКП є квадратним коренем [[дисперсія випадкової величини|дисперсії]], відомим як [[стандартна похибка]].

== Визначення та основні властивості ==
СКП оцінює якість або '''передбачувача''' (тобто функції, що відображує довільні входи до вибірки значень деякої [[випадкова величина|випадкової величини]]), або '''[[оцінювач (статистика)|оцінювача]]''' (тобто [[математична функція|математичної функції]], що відображує [[вибірка|вибірку]] даних до оцінки [[статистичний параметр|параметра]] [[генеральна сукупність|сукупності]], з якої відбираються ці дані). Визначення СКП різниться залежно від того, чи вона описує передбачувач, чи оцінювач.

=== Передбачувач ===
Якщо вектор з <math>n</math> передбачень породжується з вибірки <math>n</math> точок даних на всіх змінних, <math>Y</math> є вектором спостережуваних значень передбачуваної змінної, а <math>\hat{Y}</math> є передбаченими значеннями (наприклад, як із [[допасовування найменшими квадратами]]), тоді СКП цього передбачувача в межах цієї вибірки обчислюється як

: <math>\operatorname{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat{Y_i})^2.</math>

Іншими словами, СКП є ''середнім значенням'' <math display="inline">\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \right)</math> ''квадратів похибок'' <math>\left(Y_i-\hat{Y_i}\right)^2</math>. Це є легко обчислюваною величиною для конкретної вибірки (й отже, залежить від вибірки).

У [[множення матриць|матрицевому]] записі

: <math>\operatorname{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(e_i)^2=\frac{1}{n}\mathbf e^\mathsf T \mathbf e</math>

де <math>e_i</math> є <math> (Y_i-\hat{Y_i}) </math>, а <math>\mathbf e</math> є матрицею <math> n \times 1 </math>.

СКП також можливо обчислювати на ''q'' точках даних, які не використовували для оцінювання моделі, чи то через те, що їх було притримано для цієї мети, чи то через те, що ці дані було отримано щойно. У цьому процесі (відомому як [[перехресне затверджування]]) СКП часто називають {{нп|середньоквадратична похибка передбачування|середньоквадратичною похибкою передбачування||Mean squared prediction error}}{{джерело|дата=липень 2021}}, й обчислюють як

: <math>\operatorname{MSPE} = \frac{1}{q} \sum_{i=n+1}^{n+q} \left(Y_i-\hat{Y_i}\right)^2.</math>

=== Оцінювач ===
СКП оцінювача <math>\hat{\theta}</math> відносно невідомого параметра <math>\theta</math> визначають як<ref name=":1"/>

: <math>\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{E}_{\theta}\left[(\hat{\theta}-\theta)^2\right].</math>

Це визначення залежить від невідомого параметра, але СКП апріорі є властивістю оцінювача. СКП може бути функцією від невідомих параметрів, і в цьому випадку будь-який ''оцінювач'' СКП на основі оцінок цих параметрів буде функцією від даних (і відтак випадковою величиною). Якщо оцінювач <math>\hat{\theta}</math> виводять як [[статистика (математика)|статистику]] вибірки й використовують для оцінювання якогось параметра сукупності, тоді математичне сподівання стосується ви́біркового розподілу цієї статистики вибірки.

СКП можливо записувати як суму [[дисперсія випадкової величини|дисперсії]] оцінювача та квадрату його [[Зміщення оцінювача|зміщення]], що забезпечує корисний спосіб обчислювання СКП й виражає те, що у випадку незміщених оцінювачів СКП та дисперсія дорівнюють одна одній.<ref name="wackerly">{{Cite book
|title=Mathematical Statistics with Applications
|last=Wackerly
|first=Dennis
|last2=Mendenhall
|first2=William
|last3=Scheaffer
|first3=Richard L.
|year=2008
|publisher=Thomson Higher Education
|edition=7
|location=Belmont, CA, USA
|isbn=978-0-495-38508-0
}} {{ref-en}}</ref>

: <math>\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{Var}_{\theta}(\hat{\theta})+ \operatorname{Bias}(\hat{\theta},\theta)^2.</math>

==== Доведення взаємозв'язку з дисперсією та зміщенням ====

: <math>\begin{align}
\operatorname{MSE}(\hat{\theta})
&= \operatorname{E}_{\theta} \left [(\hat{\theta}-\theta)^2 \right ] \\
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta} [\hat\theta]+\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right)^2\right]\\ 
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]\right)^2 +2\left (\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta] \right ) \left (\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta \right )+\left( \operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta \right)^2\right] \\ 
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]\right)^2\right]+\operatorname{E}_{\theta}\left[2 \left (\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta] \right ) \left (\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta \right ) \right] + \operatorname{E}_{\theta}\left [ \left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right)^2 \right] \\
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]\right)^2\right]+ 2 \left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right) \operatorname{E}_{\theta}\left[\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta] \right] + \left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right)^2 && \operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta = \text{const.} \\
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]\right)^2\right]+ 2 \left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right) \left ( \operatorname{E}_{\theta}[\hat{\theta}]-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta] \right )+ \left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right)^2 && \operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta] = \text{const.} \\
&= \operatorname{E}_{\theta}\left[\left(\hat{\theta}-\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]\right)^2\right]+\left(\operatorname{E}_{\theta}[\hat\theta]-\theta\right)^2\\ 
&= \operatorname{Var}_{\theta}(\hat\theta)+ \operatorname{Bias}_{\theta}(\hat\theta,\theta)^2
\end{align}</math>

Як альтернативний варіант, маємо

: <math>\begin{aligned}
\mathbb{E}(\theta-\hat{\theta})^2
&= \mathbb{E}(\hat{\theta}^2) + \mathbb{E}(\theta^2) - 2\theta\mathbb{E}(\hat{\theta})\\
&= \operatorname{Var}(\hat{\theta}) +(\mathbb{E}\hat{\theta})^2 +\theta^2-2\theta\mathbb{E}(\hat{\theta}) \\
&= \operatorname{Var}(\hat{\theta})+(\mathbb{E}\hat{\theta}-\theta)^2\\
&= \operatorname{Var}(\hat{\theta})+\operatorname{Bias}^2(\hat{\theta}) 
\end{aligned}</math>

Але у випадку реального моделювання, СКП можливо описувати як суму дисперсії моделі, зміщення моделі, та незвідної невизначеності{{джерело|дата=липень 2021}}{{прояснити|comment=Що тут є невизначеністю? І чому вона є звідною? Думаю, це речення вимагає більшої деталізації та посилання на джерело|дата=липень 2021}}. Відповідно до цього взаємозв'язку, СКП оцінювачів можливо просто використовувати для порівнювання {{нп|ефективність (статистика)|ефективності||Efficiency (statistics)}}, що враховує інформацію про дисперсію та зміщення оцінювача. Це називають критерієм СКП ({{lang-en|MSE criterion}}).

== У регресії ==
{{Докладніше1|{{нп|Зменшена статистика хі-квадрат|||Reduced chi-squared statistic}}}}

В [[регресійний аналіз|регресійному аналізі]] природнішим способом перегляду загальної тенденції даних у цілому є побудова графіків. Середнє значення відстані від кожної з точок до передбачуваної регресійної моделі можливо обчислювати й показувати як середньоквадратичну похибку. Піднесення до квадрату має вирішальне значення для подолання складності з від'ємними знаками. Для мінімізування СКП модель може бути точнішою, що означатиме, що модель є ближчою до фактичних даних. Одним із прикладів лінійної регресії з використанням цього методу є [[метод найменших квадратів]], який оцінює адекватність моделі лінійної регресії для моделювання {{нп|Двовимірні дані|двовимірного набору даних||Bivariate data}},<ref>{{Cite book
|title=A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how
|url=https://archive.org/details/modernintroducti0000unse_h6a1
|date=2005
|publisher=Springer
|location=London
|isbn=978-1-85233-896-1
|oclc=262680588
}} {{ref-en}}</ref> але обмеження якого пов'язане з відомим розподілом цих даних.

Термін ''середньоквадратична похибка'' іноді використовують як позначення незміщеної оцінки дисперсії похибок: {{нп|залишкова сума квадратів|за́лишкової суми квадратів||Residual sum of squares}}, поділеної на кількість [[ступені вільності (статистика)|ступенів вільності]]. Це визначення для відомої, обчислюваної величини відрізняється від наведеного вище визначення для обчислюваної СКП передбачувача використанням іншого знаменника. Цим знаменником є розмір вибірки, зменшений на кількість параметрів моделі, оцінюваних з тих самих даних, (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''p'') для ''p'' [[регресор]]ів, або (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1), якщо використовують {{нп|y-відтин|відтин||y-intercept}} (докладніше див. [[похибки та залишки у статистиці]]).<ref>Steel, R.G.D, and Torrie, J. H., ''Principles and Procedures of Statistics with Special Reference to the Biological Sciences.'', {{нп|McGraw Hill}}, 1960, page 288. {{ref-en}}</ref> Незважаючи на те, що СКП (визначене як у цій статті) не є незміщеним оцінювачем дисперсії похибок, вона є [[слушний оцінювач|слушним оцінювачем]] за умови слушності передбачувача.

У регресійнім аналізі «середньоквадратична похибка», яку часто називають {{нп|середньоквадратична похибка передбачування|середньоквадратичною похибкою передбачування||Mean squared prediction error}} або «позави́бірковою середньоквадратичною похибкою» ({{lang-en|out-of-sample mean squared error}}), може також позначувати середнє значення {{нп|квадрати відхилень|квадратів відхилень||Squared deviations}} передбачень від істинних значень на позавибірковому [[випробувальний набір даних|випробувальному просторі]], породженому моделлю, оціненою за [[тренувальний набір даних|певним ви́бірковим простором]]. Вона також є відомою, обчислюваною величиною, і вона різниться залежно від вибірки та позавибіркового випробувального простору.

== Приклади ==

=== Середнє значення ===
Нехай є випадкова вибірка розміру <math>n</math> з генеральної сукупності, <math>X_1,\dots,X_n</math>. Нехай зразки вибірки було вибрано {{нп|вибирання з вертанням|з вертанням||Sampling with replacement}}. Тобто, <math>n</math> зразків вибирають по одному, і раніше вибрані зразки все одно мають право бути вибраними для всіх <math>n</math> витягувань. Звичайним оцінювачем для <math>\mu</math> є ви́біркове середнє<ref name=":0"/>

: <math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i </math>

яке має математичне сподівання, що дорівнює істинному середньому <math>\mu</math> (тож воно є незміщеним), і середньоквадратичну похибку

: <math>\operatorname{MSE}\left(\overline{X}\right)=\operatorname{E}\left[\left(\overline{X}-\mu\right)^2\right]=\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2= \frac{\sigma^2}{n}</math>

де <math>\sigma^2</math> є [[дисперсія сукупності|дисперсією сукупності]].

Це є {{нп|найкращий незміщений оцінювач|найкращим незміщеним оцінювачем||Best unbiased estimator}} (тобто тим, що має найнижчу СКП серед усіх незміщених оцінювачів) для [[гауссів розподіл|гауссового розподілу]], але не для, скажімо, [[неперервний рівномірний розподіл|рівномірного розподілу]].

=== Дисперсія ===
{{further|Дисперсія вибірки}}

Звичайним оцінювачем дисперсії є ''[[виправлена дисперсія вибірки]]:''

: <math>S^2_{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X} \right)^2 =\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2-n\overline{X}^2\right).</math>

Він є незміщеним (його математичним сподіванням є <math>\sigma^2</math>), й відтак його також називають ''незміщеною дисперсією вибірки,'' а його СКП становить<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/introductiontoth00mood_706
|title=Introduction to the Theory of Statistics
|last=Mood
|first=A.
|last2=Graybill
|first2=F.
|last3=Boes
|first3=D.
|year=1974
|publisher=McGraw-Hill
|edition=3rd
|page=[https://archive.org/details/introductiontoth00mood_706/page/n241 229]
}} {{ref-en}}</ref>

: <math>\operatorname{MSE}(S^2_{n-1})= \frac{1}{n} \left(\mu_4-\frac{n-3}{n-1}\sigma^4\right) =\frac{1}{n} \left(\gamma_2+\frac{2n}{n-1}\right)\sigma^4,</math>

де <math>\mu_4</math> є четвертим [[центральний момент|центральним моментом]] розподілу або сукупності, а <math>\gamma_2=\mu_4/\sigma^4-3</math> є [[коефіцієнт ексцесу|коефіцієнтом ексцесу]].

Проте можливо використовувати й інші оцінювачі для <math>\sigma^2</math>, пропорційні <math>S^2_{n-1}</math>, і належний вибір може завжди давати нижчу середньоквадратичну похибку. Якщо ми визначимо

: <math>S^2_a = \frac{n-1}{a}S^2_{n-1}= \frac{1}{a}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2</math>

тоді обчислюємо:

: <math>\begin{align}
\operatorname{MSE}(S^2_a)
&=\operatorname{E}\left[\left(\frac{n-1}{a} S^2_{n-1}-\sigma^2\right)^2 \right] \\
&= \operatorname{E}\left[ \frac{(n-1)^2}{a^2} S^4_{n-1} -2 \left ( \frac{n-1}{a} S^2_{n-1} \right ) \sigma^2 + \sigma^4 \right ] \\
&= \frac{(n-1)^2}{a^2} \operatorname{E}\left[ S^4_{n-1} \right ] - 2 \left ( \frac{n-1}{a}\right ) \operatorname{E}\left[ S^2_{n-1} \right ] \sigma^2 + \sigma^4 \\
&= \frac{(n-1)^2}{a^2} \operatorname{E}\left[ S^4_{n-1} \right ] - 2 \left ( \frac{n-1}{a}\right ) \sigma^4 + \sigma^4 && \operatorname{E}\left[ S^2_{n-1} \right ] = \sigma^2 \\
&= \frac{(n-1)^2}{a^2} \left ( \frac{\gamma_2}{n} + \frac{n+1}{n-1} \right ) \sigma^4- 2 \left ( \frac{n-1}{a}\right ) \sigma^4+\sigma^4 && \operatorname{E}\left[ S^4_{n-1} \right ] = \operatorname{MSE}(S^2_{n-1}) + \sigma^4 \\
&=\frac{n-1}{n a^2} \left ((n-1)\gamma_2+n^2+n \right ) \sigma^4- 2 \left ( \frac{n-1}{a}\right ) \sigma^4+\sigma^4  
\end{align}</math>

Це мінімізується, коли

: <math>a=\frac{(n-1)\gamma_2+n^2+n}{n} = n+1+\frac{n-1}{n}\gamma_2.</math>

Для [[гауссів розподіл|гауссового розподілу]], де <math>\gamma_2=0</math>, це означає, що СКП зводиться до мінімуму при діленні суми на <math>a=n+1</math> . Мінімальний коефіцієнт ексцесу становить <math>\gamma_2=-2</math>,{{Efn|1=Це можливо довести за допомогою [[нерівність Єнсена|нерівності Єнсена]] наступним чином. Четвертий [[центральний момент]] є верхньою межею для квадрату дисперсії, тож найменшим значенням для їхнього відношення є одиниця, відтак, найменшим значенням для [[коефіцієнт ексцесу|коефіцієнта ексцесу]] є &minus;2, отримуваним, наприклад, Бернуллі з ''p''&nbsp;=&nbsp;1/2.}} що досягається [[розподіл Бернуллі|розподілом Бернуллі]] з ''p''&nbsp;=&nbsp;1/2 (підкидання монети), й СКП зводиться до мінімуму при <math>a=n-1+\tfrac{2}{n}.</math> Отже, незалежно від коефіцієнту ексцесу, ми отримуємо «кращу» оцінку (в сенсі нижчої СКП), трохи зменшивши незміщений оцінювач. Це є простим прикладом {{нп|Стискальний оцінювач|стискального оцінювача||Shrinkage estimator}}: оцінювач «стискають» у бік нуля (зменшують незміщений оцінювач).

Далі, хоч виправлена дисперсія вибірки і є {{нп|найкращий незміщений оцінювач|найкращим незміщеним оцінювачем||Best unbiased estimator}} (мінімальна середньоквадратична похибка серед незміщених оцінювачів) дисперсії для гауссових розподілів, якщо розподіл не є гауссовим, то навіть серед незміщених оцінювачів <math>S^2_{n-1}</math> найкращим незміщеним оцінювачем дисперсії бути не може.

=== Гауссів розподіл ===
В наступній таблиці наведено декілька оцінювачів істинних параметрів сукупності, μ та σ<sup>2</sup>, для гауссового випадку.<ref>{{Cite book
|title=Probability and Statistics
|last=DeGroot
|first=Morris H.
|authorlink1=Морріс ДеҐрут
|year=1980
|publisher=Addison-Wesley
|edition=2nd
|ref=degroot
}} {{ref-en}}</ref>
{| class="wikitable"
!Істинне значення
! Оцінювач
! Середньоквадратична похибка
|-
| <math>\theta=\mu</math>
| <math>\hat{\theta}</math> = незміщений оцінювач [[середнє значення сукупності|середнього значення сукупності]], <math>\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i)</math>
| <math>\operatorname{MSE}(\overline{X})=\operatorname{E}((\overline{X}-\mu)^2)=\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)^2</math>
|-
| <math>\theta=\sigma^2</math>
| <math>\hat{\theta}</math> = незміщений оцінювач [[дисперсія сукупності|дисперсії сукупності]], <math>S^2_{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2</math>
| <math>\operatorname{MSE}(S^2_{n-1})=\operatorname{E}((S^2_{n-1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n - 1}\sigma^4</math>
|-
| <math>\theta=\sigma^2</math>
| <math>\hat{\theta}</math> = зміщений оцінювач [[дисперсія сукупності|дисперсії сукупності]], <math>S^2_{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2</math>
| <math>\operatorname{MSE}(S^2_{n})=\operatorname{E}((S^2_{n}-\sigma^2)^2)=\frac{2n - 1}{n^2}\sigma^4</math>
|-
| <math>\theta=\sigma^2</math>
| <math>\hat{\theta}</math> = зміщений оцінювач [[дисперсія сукупності|дисперсії сукупності]], <math>S^2_{n+1} = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2</math>
| <math>\operatorname{MSE}(S^2_{n+1})=\operatorname{E}((S^2_{n+1}-\sigma^2)^2)=\frac{2}{n + 1}\sigma^4</math>
|}

== Інтерпретація ==
Нульова СКП, що означає, що оцінювач <math>\hat{\theta}</math> передбачує спостереження параметру <math>\theta</math> з бездоганною точністю, є ідеальною (але зазвичай неможливою).

Значення СКП можна використовувати з метою порівнювання. Дві або більше [[статистична модель|статистичних моделей]] можна порівнювати, використовуючи їхні СКП&nbsp;— як міру того, наскільки добре вони пояснюють заданий набір спостережень: незміщений оцінювач (оцінений зі статистичної моделі) з найменшою дисперсією серед усіх незміщених оцінювачів є {{нп|найкращий незміщений оцінювач|найкращим незміщеним оцінювачем||Best unbiased estimator}}, або {{lang-en|MVUE (Minimum Variance Unbiased Estimator)}}.

Як методика [[лінійна регресія|лінійної регресії]], так і методика [[дисперсійний аналіз|дисперсійного аналізу]] оцінюють СКП як частину аналізу й використовують оцінену СКП, щоби визначати [[статистична значущість|статистичну значущість]] досліджуваних чинників або предикторів. Метою [[планування експерименту|планування експериментів]] є побудова експериментів таким чином, щоби при аналізі спостережень СКП була близькою до нуля відносно величини щонайменше одного з оцінюваних впливів експерименту.

В [[однофакторний дисперсійний аналіз|однофакторнім дисперсійнім аналізі]] СКП можливо обчислювати шляхом ділення суми квадратів похибок на ступінь вільності. Також, ''F''-значення є відношенням середньоквадратичного впливу до СКП.

СКП також використовують у декількох методиках {{нп|покрокова регресія|покрокової регресії||Stepwise regression}} як частину визначання того, скільки предикторів з набору кандидатів включити до моделі для заданого набору спостережень.

== Застосування ==
{{Проза|розділ|дата=липень 2021}}

* Зведення СКП до мінімуму є ключовим критерієм обирання оцінювачів, див. {{нп|мінімальна середньоквадратична похибка|мінімальну середньоквадратичну похибку||Minimum mean square error}}. Серед незміщених оцінювачів зведення СКП до мінімуму еквівалентне зведенню до мінімуму дисперсії, а оцінювач, який робить це, є {{нп|мінімально-дисперсійний незміщений оцінювач|мінімально-дисперсійним незміщеним оцінювачем||Minimum-variance unbiased estimator}}. Проте зміщений оцінювач може мати нижчу СКП, див. [[зміщення оцінювача]].
* У [[статистичне моделювання|статистичному моделюванні]] СКП може подавати різницю між фактичними спостереженнями та значеннями спостережень, передбаченими моделлю. У цьому контексті її використовують для того, щоб визначати, наскільки модель допасовано до даних, а також чи можливо вилучити деякі пояснювальні змінні без значної шкоди для передбачувальної здатності моделі.
* {{нп|Оцінка Браєра|||Brier score}} у [[прогнозування|прогнозуванні]] та [[передбачування|передбачуванні]] є мірою {{нп|справджуваність прогнозу|справджуваності прогнозу||Forecast skill}}, що ґрунтується на СКП.

== Функція втрат ==
Втрати квадрату похибки є однією з найширше використовуваних [[функція втрат|функцій втрат]] у статистиці{{джерело|дата=липень 2021}}, хоча її широке використання більше випливає з математичної зручності, ніж з міркувань фактичних втрат у застосуваннях. [[Карл Фрідріх Гаусс]], який запровадив використання середньоквадратичної похибки, усвідомлював її довільність і погоджувався з запереченнями проти неї на цих підставах.<ref name="pointEstimation"/> Математичні переваги середньоквадратичної похибки особливо очевидні при її використанні для аналізу продуктивності [[лінійна регресія|лінійної регресії]], оскільки це дозволяє розділити дисперсію в наборі даних на дисперсію, що пояснюється моделлю, та дисперсію, що пояснюється випадковістю.

=== Критика ===
Беззаперечне використання середньоквадратичної похибки критикував фахівець із [[теорія рішень|теорії рішень]] {{нп|Джеймс Бергер (статистик)|Джеймс Бергер||James Berger (statistician)}}. Середньоквадратична похибка&nbsp;— це мінус математичного сподівання однієї конкретної [[функція корисності|функції корисності]], квадратичної, яка може не бути слушною функцією корисності для використання за заданої сукупності обставин. Проте існують деякі сценарії, за яких середньоквадратична похибка може слугувати добрим наближенням функції втрат, що зустрічається у застосуванні природним чином.<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/statisticaldecis00berg
|title=Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis
|last=Berger
|first=James O.
|authorlink1=Джеймс Бергер (статистик)
|year=1985
|publisher=Springer-Verlag
|edition=2nd
|location=New York
|page=[https://archive.org/details/statisticaldecis00berg/page/n72 60]
|chapter=2.4.2 Certain Standard Loss Functions
|isbn=978-0-387-96098-2
|mr=0804611
}} {{ref-en}}</ref>

Як і [[дисперсія випадкової величини|дисперсія]], середньоквадратична похибка має недолік надавання великої ваги [[викид (статистика)|викидам]].<ref>{{Cite journal|last=Bermejo|first=Sergio|last2=Cabestany|first2=Joan|year=2001|title=Oriented principal component analysis for large margin classifiers|url=https://archive.org/details/sim_neural-networks_2001-12_14_10/page/1447|journal=Neural Networks|volume=14|issue=10|pages=1447–1461|doi=10.1016/S0893-6080(01)00106-X|pmid=11771723}} {{ref-en}}</ref> Це є результатом піднесенням до квадрату кожного члену, через яке більші похибки заважують сильніше за менші. Ця властивість, небажана у багатьох застосуваннях, змусила дослідників використовувати такі альтернативи як {{нп|середня абсолютна похибка|||Mean absolute error}}, або такі, що ґрунтуються на [[медіана (статистика)|медіані]].

== Див. також ==

* {{нп|Зважене середньоквадратичне відхилення|||Mean square weighted deviation}}
* [[Компроміс зміщення та дисперсії]]
* {{нп|Мінімальна середньоквадратична похибка|||Minimum mean square error}}
* {{нп|Оцінювач на основі мінімальної середньоквадратичної похибки|||Minimum mean square error}}
* {{нп|Оцінювач Годжеса|||Hodges' estimator}}
* {{нп|Оцінювач Джеймса — Стайна|||James–Stein estimator}}
* [[Перенавчання]]
* [[Пікове відношення сигналу до шуму]]
* {{нп|Середньоквадратичне зміщення|||Mean squared displacement}}
* {{нп|Середньоквадратична похибка квантування|||Mean square quantization error}}
* {{нп|Середньоквадратична похибка передбачування|||Mean squared prediction error}}
* {{нп|Середня відсоткова похибка|||Mean percentage error}}

== Виноски ==
{{notelist}}

== Примітки ==
{{Примітки}}
 
[[Категорія:Метод найменших квадратів]]
[[Категорія:Продуктивність точкової оцінки]]
[[Категорія:Статистичне відхилення та дисперсія]]
[[Категорія:Функції втрат]]