Перегляд вихідного коду сторінки Ріманова геометрія

{{Геометрія}}
'''Ріманова геометрія''' є розділом диференціальної геометрії, який вивчає [[Ріманів многовид|ріманові многовиди]], [[Многовид|гладкі многовиди]] з ''[[Метричний тензор|рімановою метрикою]]'', тобто зі [[Скалярний добуток|скалярним добутком]] на [[Дотичний простір|дотичному просторі]] в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це зокрема, дозволяє ввести локальні поняття [[кут]]а, [[Довжина кривої|довжини кривої]], [[Площа поверхні|площі поверхні]] та [[об'єм]]у. З цих локальних глобальні величини можуть бути отримані шляхом [[Інтеграл|інтегрування]] локальних складових.

Ріманова геометрія виникла з бачення [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]], викладеного в його інавгураційній лекції ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen]''<!--Old link: http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf--> (''Про гіпотези, що лежать в основі геометрії''). Це дуже широке і абстрактне узагальнення [[Диференціальна геометрія поверхонь|диференціальної геометрії поверхонь]] в '''R'''<sup>3</sup>. Розвиток ріманової геометрії є результатом синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінки [[Геодезична лінія|геодезичних ліній]] на них, з методами, які можуть бути застосовані для вивчення [[Диференційовний многовид|диференційовних многовидів]] вищих розмірностей. Це уможливило [[Загальна теорія відносності|загальну теорію відносності]] [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейна]], яка глибоко вплинула на [[Теорія груп|теорію груп]] і [[Теорія представлень|теорію представлень]], так само як і на {{нп5|Глобальна аналітична функція|аналіз|en|Global analytic function}}, і стимулювала розвиток [[Алгебрична топологія|алгебричної]] і [[Диференціальна топологія|диференціальної топології]].

== Введення ==
[[Файл:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|[[Бернгард Ріман]]]]
Ріманову геометрію вперше винесено на загал [[Бернгард Ріман|Бернгардом Ріманом]] у XIX столітті. Вона має справу з широким спектром геометрій, метричні властивості яких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів [[Неевклідова геометрія|неевклідової геометрії]].

На будь-якому гладкому многовиді можна ввести [[Метричний тензор|ріманову метрику]], яка часто допомагає вирішити проблеми [[Диференціальна топологія|диференціальної топології]]. Вона також слугує початковим рівнем для більш складної структури&nbsp;— [[Псевдоріманів многовид|псевдоріманових многовидів]], які (в чотирьох вимірах) є основними [[Математичне формулювання загальної теорії відносності|об'єктами загальної теорії відносності]]. Інші узагальнення ріманової геометрії включають [[Фінслерова геометрія|фінслерову геометрію]].

Існує близька аналогія диференціальної геометрії з математичними структурами дефектів у звичайних кристалах. [[Дислокація (кристалографія)|Дислокації]] та [[Дисклінація|дисклінації]] породжують [[Кривина (математика)|кривину]] і [[Скрут кривої|скрут]].<ref>
{{Стаття
| назва =  Gauge Fields in Condensed Matter Vol II
| прізвище =  Кляйнерт
| ім'я = Хаген
| посилання на автора = {{нп|Кляйнерт Хаген|Кляйнерт Хаген|en|Hagen Kleinert}}
| сторінки = 743—1440
| рік = 1989
| url = http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents2.html
}}</ref><ref>
{{Стаття
| назва =  Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation
| прізвище =  Кляйнерт
| ім'я = Хаген
| посилання на автора = {{нп|Кляйнерт Хаген|Кляйнерт Хаген|en|Hagen Kleinert}}
| сторінки = 1-496
| рік = 2008
| url = http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b11/psfiles/mvf.pdf
}}</ref>

Наступні статті містять корисний вступний матеріал до ріманової геометрії:
* [[Метричний тензор]]
* [[Ріманів многовид]]
* [[Кривина (математика)]]
* [[Тензор кривини]]

== Класичні теореми в рімановій геометрії ==
Далі наведено неповний список найбільш класичних теорем в рімановій геометрії. Вибір зроблений залежно від її важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії [[Джефф Чігер|Джеффа Чігера]] і Д. Ебіна (див. нижче).

Наведені формулювання далеко не самі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, кому відомі основні визначення і хоче знати, про що ці визначення.

=== Загальні теореми ===
# '''[[Формула Гауса — Бонне|Теорема Гауса&nbsp;— Бонне]]'''&nbsp;— інтеграл від Гаусової кривини на компактному 2-вимірному рімановому многовиді ''M'' дорівнює 2πχ(''M'') де χ(''M'') позначає [[Характеристика Ейлера|Ейлерову характеристику]] ''M''. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компактному парномірному рімановому мновиді, див. {{нп|Узагальнена теорема Гауса-Бонне|узагальнену теорему Гауса-Бонне||Chern-Gauss-Bonnet Theorem}}.
# '''{{нп|Теорема Неша про регулярні вкладення|||Nash embedding theorem}}''', також її називають {{нп|Фундаментальна теорема геометрії Рімана|фундаментальною теоремою геометрії Рімана|en|Fundamental theorem of Riemannian geometry}}. Вона стверджує, що кожен [[Ріманів многовид]] можна ізометрично [[вкладення|вкласти]] в [[Евклідів простір]] '''R'''<sup>''n''</sup>.

=== Геометрія в цілому ===
У всіх наступних теоремах ми припускаємо деяку локальну поведінку простору (зазвичай сформульовані припущенням про кривину), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь-яку інформацію про топологічний тип многовиду або про поведінку точок на «достатньо великих» відстанях.

==== Затиснена секційна кривина ====
# '''[[Теорема про сферу (диференціальна геометрія)|Теорема про сферу]].''' Якщо ''M'' є компактний [[Однозв'язна область|однозв'язний]] ''n''-вимірний ріманів многовид з секційною кривиною затиснутою між 1/4 і 1, то ''M'' [[Дифеоморфізм|дифеоморфний]] сфері.
# '''Теорема скінченності Чігера.''' Для заданих констант ''C'', ''D'' і ''V'', існує скінченне число (з точністю до дифеоморфізмів)&nbsp;— компактних ''n''-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною |''K''| ≤ ''C'', діаметром ≤ ''D'' та об'ємом ≥ ''V''.
# '''{{нп|Майже плоскі многовиди|Майже плоскі многовиди Громова|en|Almost flat manifold}}.''' Існує ε<sub>''n''</sub> >0 таке, що якщо ''n''-вимірний ріманів многовид має метрику з секційною кривиною |''K''| ≤ ε<sub>''n''</sub> та діаметр ≤ 1, то його скінченне покриття дифеоморфне [[нільмноговид]]у.

==== Секційні кривини обмежені знизу ====
# '''Теорема {{нп|Душа (диференціальна геометрія)|душі||Soul theorem}} Чігера-Громолла.''' Якщо ''M'' є некомпактний повний ''n''-вимірний ріманів многовид невід'ємної кривини, то ''M'' містить компактний, цілком геодезичний підмноговид ''S'' такий, що ''M'' дифеоморфне нормальному шаруванню ''S'' (''S'' називається '''душею''' ''M''.) Зокрема, якщо ''M'' має строго додатну кривину всюди, то воно [[Дифеоморфізм|дифеоморфне]] '''R'''<sup>''n''</sup>. [[Перельман Григорій Якович|Г. Перельман]] в 1994 році дав дивно елегантний/короткий доказ гіпотези: ''M'' дифеоморфне '''R'''<sup>''n''</sup> якщо воно має додатну кривину хоча б в одній точці.
# '''Теорема Громова про число Бетті.''' Існує константа ''C'' = ''C''(''n'') така, що якщо ''M'' є компактним зв'язним ''n''-вимірним рімановим многовидом з додатною секційною кривиною, то сума його [[Числа Бетті|чисел Бетті]] максимально ''C''.
# '''Теорема обмеженості Грува-Петерсена.''' Для заданих констант ''C'', ''D'' і ''V'', існує скінченне число гомотопних типів компактних ''n''-вимірних ріманових многовидів з секційною кривиною ''K'' ≥ ''C'', діаметром ≤ ''D'' та об'ємом ≥ ''V''.

==== Секційні кривини обмежені зверху ====
# '''[[Теорема Адамара — Картана]]''' стверджує, що повний [[Однозв'язна область|однозв'язний]] Ріманів многовид ''M'' з від'ємною секційною кривиною дифеоморфний [[Евклідів простір|Евклідовому простору]] '''R'''<sup>''n''</sup> з ''n'' = dim ''M'' за допомогою [[Експоненційне відображення|експоненціального відображення]] в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних повних ріманових многовидів з від'ємною секційною кривиною з'єднані єдиною [[Геодезична лінія|геодезичною кривою]].
# [[Геодезична лінія|Геодезичний потік]] будь-якого компактного ріманового многовиду з від'ємною секційною кривиною [[Ергодичність|ергодичний]].
# Якщо ''M'' є повним рімановим многовидом з секційною кривиною, обмеженою зверху строго від'ємною константою ''k'' то це {{нп|CAT(k) простір|CAT(''k'') простір|en|CAT(k) space}}. Тому, його [[фундаментальна група]] ''Γ'' = π<sub>1</sub>(''M'') є [[Гіперболічна група|гіперболічною групою Громова]]. Це має багато наслідків для структури фундаментальної групи:
::* вона [[Задання групи|скінченно представлена]];
::* {{нп|Проблема тотожності|проблема тотожності|en|Word problem for groups}} для ''&Gamma;'' має позитивне рішення;
::* група ''&Gamma;'' має скінченну віртуальну [[Когомологічна розмірність|когомологічну розмірність]];
::* вона містить лише скінченну кількість [[Клас спряженості|класів спряженості]] [[Скрут (алгебра)|елементів скінченного порядку]];
::* [[Абелева група|Абелеві]] підгрупи ''&Gamma;'' є [[Циклічна група|фактично циклічними]], так що вона не містить підгрупу ізоморфічну '''Z'''&times;'''Z'''.

==== Кривина Річчі обмежена знизу ====
# '''[[Теорема Маєрса]].''' Якщо компактний ріманів многовид має додатну кривину Річчі, то його [[фундаментальна група]] скінченна.
# '''{{нп|Теорема розщеплення||en|Splitting theorem}}.''' Якщо повний ''n''-вимірний ріманів многовид має невід'ємну кривину Річчі і пряму лінію (тобто [[Геодезична лінія|геодезичну]], яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічний прямому добутку числової прямої <math>\mathbb{R}</math> та повного (''n''-1)-вимірного ріманового многовиду, з невід'ємною кривиною Річчі.
# '''[[Нерівність Бішопа — Громова]].''' Об'єм метричної кулі з радіусом ''r'' в повному ''n''-вимірному рімановому многовиді з додатною кривиною Річчі не перевищує об'єм кулі того ж радіуса ''r'' в Евклідовому просторі.
# '''[[Теорема Громова про компактність (ріманова геометрія)|Теорема Громова про компактність]].''' Множина ріманових многовидів з додатними кривинами Річчі, діаметром не більше ''D'' є [[Метричний простір|пред-компактом]] в [[Метрика Громова — Гаусдорфа|метриці Громова — Гаусдорфа]].

==== Від'ємна кривина Річчі ====
# [[Ізометрія (математика)|Ізометрична група]] компактного ріманового многовиду з від'ємною кривиною Річчі є [[Дискретна група|дискретною]].
# На будь-якому гладкому многовиду вимірності ''n''≥3 можна ввести ріманову метрику з від'ємною кривиною Річчі<ref>Йоахім Лоукамп показав (Annals of Mathematics, 1994), що будь-який многовид розмірності, більше двох допускає метрику від'ємної кривини Річчі.</ref> (''Це невірно для поверхонь''.)

==== Додатна скалярна кривина ====
# ''n''-вимірний тор не допускає метрику з додатною [[Скалярна кривина|скалярною кривиною]].
# Якщо [[радіус]] ін'єктивності компактного ''n''-вимірного ріманового многовиду ≥ π тоді середня скалярна кривина не перевищує ''n''(''n''-1).

== Див. також ==
* [[Форма Всесвіту]]
* [[Стала Чіґера]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
*{{ГПР|частина= Математики й містики|сторінки =49-64 }}
* {{citation|last=Берже|first=Марсель|title=Ріманова геометрія протягом другої половини ХХ століття|year=2000|series=Цикл університетських лекцій|volume=17|publisher=Американське математичне товариство|publication-place=Род-Айленд|isbn=0-8218-2052-4|url-access=registration|url=https://archive.org/details/riemanniangeomet0000berg}}. ''(Наводиться історичний огляд, в тому числі сотні посилань.)''
* {{citation|last1=Чігер|first1=Джефф|title=Теореми порівняння в рімановій геометрії|publisher=AMS Chelsea Publishing|publication-place=Провіденс|year=2008}}; Переглянутий передрук оригіналу 1975 року.
* {{citation|last1=Галлот|first1=Сильвестр|last2=Халін|first2=Домінік|last3=Лафонтен|first3=Жак|title=Ріманова геометрія|edition=третє|series=Університетський текст|publisher=Спрінгер-Верлаг|publication-place=Берлін |year=2004}}.
* {{citation|last=Йост|first=Юрген|title=Ріманова геометрія і геометричний аналіз|year=2002 |publisher=Спрінгер-Верлаг|publication-place=Берлін|isbn=3-540-42627-2}}.
* {{citation|last=Петерсен|first= Пітер|title=Ріманова геометрія|year=2006|publication-place=Берлін|publisher=Спрінгер-Верлаг|isbn=0-387-98212-4}}
* {{citation|last1=Брендл|first1=Саймон|last2=Шоен|first2=Річард М.|title=Класифікація многовидів із слабкими 1/4-затисненими кривинами|journal= |year=2007 |arxiv=0705.3963}}

{{Теорія відносності}}
[[Категорія:Ріманова геометрія]]