Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння в повних диференціалах

{{Диференціальні рівняння|Види рівнянь}}
'''Рівняння в повних диференціалах''' ({{lang-en|exact differential equation, total differential equation}})&nbsp;— різновид [[звичайне диференціальне рівняння|звичайного диференціального рівняння]], який широко використовується в [[фізика|фізиці]] і [[Інженерія|інженерії]].

== Визначення ==
Маємо [[Однозв'язна область|однозв'язну область]] і [[Відкрита множина|відкриту]] підмножину ''D'' в '''R'''<sup>2</sup> і дві [[неперервна функція|неперервні]] в ''D'' функції ''I'' та ''J'', тоді неявне [[звичайне диференціальне рівняння]] першого порядку у вигляді

: <math>I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!</math>

називають '''Рівняння в повних диференціалах''', якщо існує [[Гладка функція|неперервно-диференційовна]] функція ''F'', яку звуть '''функція [[Потенціал (фізика)|потенціалу]]''', така що
: <math>\frac{\partial F}{\partial x} = I</math>
і
: <math>\frac{\partial F}{\partial y} = J.</math>

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується [[Повна похідна|повної похідної]] функції. Для функції <math>F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n)</math>, повна похідна щодо <math>x_0</math> така
: <math>\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.</math>

=== Приклад ===
Функція <math>F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}</math> отримується з:

: <math>F(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)+c</math>

І є функцією потенціалу для диференціального рівняння:

: <math>x\,\mathrm{d}x + y\,\mathrm{d}y = 0.\,</math>

== Існування функції потенціалу ==
У фізичних застосуваннях функції ''I'' та ''J'' зазвичай не тільки неперервні, але й [[Гладка функція|неперервно-диференційовні]]. [[Рівність змішаних похідних|Теорема Шварца]] надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему: Диференціальне рівняння у формі:

: <math>I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!</math>

де ''I'' та ''J'' неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині ''D'' в '''R'''<sup>2</sup>, тоді функція потенціалу ''F'' існує тоді і тільки тоді

: <math>\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial J}{\partial x}(x, y).</math>

== Джерела ==
* {{Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння}}
* {{Кривошея.Перестюк.Бурим.Диференціальні та інтегральні рівняння}}
* [http://www.math24.net/exact-equations.html Рівняння в повних диференціалах] на math24.net {{ref-en}}

[[Категорія:Звичайні диференціальні рівняння]]