Перегляд вихідного коду сторінки Рівнобедрений трикутник

[[Файл:Рівнобедрений трикутник.png|міні|200пкс|Рівнобедрений трикутник]]
'''Рівнобе́дрений трику́тник''', також '''рівнораме́нний трику́тник'''<ref>{{Cite web|url=https://r2u.org.ua/s?w=равнобедренный&scope=all&dicts=all&highlight=on|title=Пошук {{!}} Російсько-українські словники|website=r2u.org.ua|access-date=2024-04-03}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|url=https://e2u.org.ua/s?w=isosceles&dicts=all&highlight=on&filter_lines=on|title=e2u}}</ref> або '''рівнопле́чий трику́тник'''<ref name=":0" />&nbsp;— [[трикутник]], у якого дві сторони рівні<ref>{{Cite book
|title=Геометрія. 7 клас |author1=А.Г. Мерзляк
|author2=В.Б. Полонський
|author3=М.С. Якір
|year=2020
|publisher=Гімназія
|location=Х
|page=77
|pages=240
|language=українська
|url=https://uroky.com.ua/wp-content/uploads/2021/04/7-klas-heometriia-merzliak-2020.pdf
|isbn=978-966-474-342-3
}}</ref>.

Рівні сторони називають бічними сторонами, а третю сторону&nbsp;— основою рівнобедреного трикутника.

Рівнобедрені трикутники є гранями [[Піраміда (геометрія)|правильних пірамід]], [[Біпіраміда|біпірамід]], деяких [[Напівправильний многогранник|тіл Каталана]] ([[триакістетраедр]], [[триакісоктаедр]], [[тетракісгексаедр]], [[пентакісдодекаедр]], [[триакісікосаедр]]), прямих [[Клин (геометрія)|клинів]] тощо.

== Окремі випадки ==
До рівнобедрених трикутників належать такі трикутники:

* [[Правильний трикутник]];

Кожен правильний трикутник є рівнобедреним (за означенням), але [[Обернення (логіка)|обернене]] твердження не є правильним.
[[Файл:Triangle-45-45-90.svg|міні|200пкс|Рівнобедрений [[прямокутний трикутник]]]]
* Рівнобедрений [[прямокутний трикутник]];

Має кути: 45, 45° та 90°. Є половиною [[квадрат]]а.

З усіх [[Прямокутний трикутник|прямокутних трикутників]], рівнобедрені прямокутні трикутники мають найменше відношення [[Гіпотенуза|гіпотенузи]] до суми [[катет]]ів, а саме {{sfrac|{{sqrt|2}}|2}}.<ref name="PL">Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. ''The Secrets of Triangles''. Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|стор.282,стор.358}} та найбільше відношення висоти, проведеної до гіпотенузи до суми катетів, а саме {{sfrac|{{sqrt|2}}|4}}.<ref name="PL" />{{rp|стор.282}}

* "[[Золотий трикутник (геометрія)|Золотий трикутник]];
* {{Не перекладено|Трикутник Калабі|Трикутник Калабі|en|Calabi triangle}}.

== Властивості рівнобедреного трикутника ==
[[Файл:Властивості рівнобедреного трикутника.png|міні|200пкс|Властивості рівнобедреного трикутника]]
* Кути, протилежні бічним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні.
* [[Бісектриса]], [[медіана трикутника|медіана]], [[Висота трикутника|висота]] і [[серединний перпендикуляр]] рівнобедреного трикутника, проведені до основи, збігаються.
* Бісектриси, проведені з вершин кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівні.
* Медіани, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
* Висоти, проведені до бічних сторін рівнобедреного трикутника, рівні.
* Центри вписаного та описаного кіл рівнобедреного трикутника лежать на прямій, що містить висоту, медіану та бісектрису, проведені до основи.
* Кути, протилежні рівним сторонам, завжди гострі (випливає з їхньої рівності та того, що сума кутів трикутника 180°).
* Має вісь симетрії, що проходить через вершину та середину основи рівнобедреного трикутника; на ній лежать [[Висота трикутника|висота]] ([[Медіана трикутника|медіана]], [[бісектриса]], [[серединний перпендикуляр]]), проведені до основи трикутника.

==== Цікава інформація про доведення властивості кутів при основі рівнобедреного трикутника ====
Основна властивість рівнобедреного трикутника «кути при його основі рівні» була сформульована в одній із перших теорем [[Начала Евкліда|«Начал» Евкліда]].

Доведення цієї теореми приписують [[Фалес]]у Мілетському, який жив за два століття до Євкліда. Пізніше цю теорему назвали ''Pons asinorum'', що на латинській означає «міст віслюків». Пояснюють цю назву, з одного боку, тим, що креслення, використане Евклідом для її доведення, нагадує міст, а з іншого боку&nbsp;— думкою, що тільки віслюки не можуть цей міст перейти.<ref>{{Cite book
|title=Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл. }}</ref>

== Ознаки рівнобедреного трикутника ==

* Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений.
* Якщо бісектриса, медіана і висота, проведені до однієї сторони трикутника, збігаються, то він рівнобедрений.
* Якщо дві медіани трикутника рівні, то він рівнобедрений.
* Якщо дві висоти трикутника рівні, то він рівнобедрений.
* Якщо дві бісектриси трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Доведення цієї ознаки виявилося доволі важким. Це [[Теорема Штейнера — Лемуса|теорема Штейнера-Лемуса]].)

== Деякі формули для знаходження елементів рівнобедреного трикутника ==
Нехай <math>a</math>&nbsp;— довжина двох рівних сторін рівнобедреного трикутника, <math>b</math>&nbsp;— довжина третьої сторони, <math>\alpha</math> і <math>\beta</math>&nbsp;— відповідні кути, <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] описаного кола, <math>r</math>&nbsp;— радіус вписаного кола.[[Файл:Triangle.Isosceles.Labels.svg|thumb|right|230px|Рівнобедрений трикутник]]

'''Сторони''' можна знайти так:

<math>a = 2 R \sin \alpha, b = 2 R \sin \beta</math> ([[теорема синусів]]);

<math>a = \frac b {2 \cos \alpha}</math> (наслідок [[Теорема косинусів|теореми косинусів]]);

<math>b = a \sqrt {2 (1 - \cos \beta)}</math> (наслідок теореми косинусів);

<math>b = 2a \sin \frac \beta 2</math> ;

<math>b = 2 a \cos \alpha</math> ([[теорема про проєкції]]).

'''Кути''' можна виразити так:

<math>\alpha = \frac {\pi - \beta} 2</math>;

<math>\beta = \pi - 2 \alpha</math>;

<math>\alpha = \arcsin \frac a {2R}, \beta = \arcsin \frac b {2R}</math> (теорема синусів).

'''Периметр''' рівнобедреного трикутника можна обчислити будь-яким з наступних способів:

<math>P = 2 a + b</math> (за означенням);

<math>P = 2 R (2\sin \alpha + \sin \beta)</math> (наслідок теореми синусів).

'''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''' можна визначити за формулою:

<math>R=\frac{a^2}{2h} = \frac{b^2}{8h} + \frac{h}{2} = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2-b^2}}</math>

'''Радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]''' можна визначити за формулою:

<math>r=\frac{2ab-b^2}{4h} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}</math>

де h&nbsp;— висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника.

Центри вписаного та описаного кіл лежать на осі симетрії трикутника.

'''Площу''' трикутника можна обчислити за формулами:

<math>S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b</math>, де <math>h_a</math> та <math>h_b</math>&nbsp;— висоти, опущені на сторони <math>a</math> та <math>b</math> відповідно;

<math> S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac {b^2}{4 \mathrm{tg}\, \frac \beta 2} </math>;

<math> S = \frac 1 2 b \sqrt {\left( a + \frac 1 2 b \right) \left( a - \frac 1 2 b \right)} </math> (наслідок з [[Формула Герона|формули Герона]]).

== Застосування ==

=== В архітектурі та дизайні ===
{{multiple image
| total_width       = 480
| image1            = Pantheon Rome exterior 2015.JPG
| caption1          = Тупокутий рівнобедрений фронтон [[Пантеон]]а у [[Рим]]і
| image2            = Cathédrale Notre-Dame - Portail du transept sud, dit portail Saint-Etienne, Gables, côté droit - Paris 04 - Médiathèque de l'architecture et du patrimoine - APMH00021092.jpg
| caption2          = Гостокутний рівнобедрений фронтон над порталом Святого Етьєна, [[Собор Паризької Богоматері]]
}}
Рівнобедрені трикутники часто зустрічаються в [[Архітектура|архітектурі]] як форми [[Фронтон|фронтонів]] та [[Педимент|педиментів]]. У [[Давньогрецька архітектура|давньогрецькій архітектурі]] та її подальших імітаціях використовувався тупокутий рівнобедрений трикутник; у [[Готична архітектура|готичній архітектурі]] він був замінений гостокутим рівнобедреним трикутником.{{sfnp|Lardner|1840|page=46}} У [[Середньовічна архітектура|архітектурі Середніх віків]] популярності набула ще одна форма рівнобедреного трикутника: єгипетський рівнобедрений трикутник. Це рівнобедрений трикутник, який є гостокутим, але менш гостим, ніж рівносторонній; його висота дорівнює 5/8 основи.{{sfnp|Lavedan|1947}} Єгипетський рівнобедрений трикутник повернув у використання в сучасній архітектурі голландський архітектор [[Гендрік Петрюс Берлаге|Гендрік Петрус Берлаге]].{{sfnp|Padovan|2002}}
[[Файл:DETAIL_VIEW_OF_MODIFIED_WARREN_TRUSS_WITH_VERTICALS._-_Union_Station_Viaduct,_Spanning_Gaspee,_Francis,_Promenade_and_Canal_Streets,_Providence,_Providence_County,_RI_HAER_RI,4-PROV,179-12.tif|міні|Детальний вигляд модифікованої [[Ферма Уоррена|ферми Уоррена]] з вертикальними елементами]]
Конструкції [[Ферма Уоррена|ферм Воррена]], такі як мости, зазвичай розташовані у вигляді рівнобедрених трикутників, хоча інколи додаються вертикальні балки для додаткової міцності.{{sfnp|Ketchum|1920}} Поверхні, [[Теселяція|тесельовані]] тупокутими рівнобедреними трикутниками, можуть використовуватися для створення [[Розкладна конструкція|розкладних конструкцій]], що мають два стабільні стани: розгорнутий стан, у якому поверхня розширюється до циліндричного стовпа, та складений стан, у якому вона складається в більш компактну призматичну форму, яку легше транспортувати.{{sfnp|Pellegrino|2002}} Той самий шаблон теселяції утворює основу [[Ефект Йошимури|ефекту Йошимури]], паттерн, що виникає при осьовому стисненні циліндричних поверхонь,{{sfnp|Yoshimura|1955}} та [[Ліхтар Шварца]], приклад, що використовується в математиці для демонстрації того, що площа гладкої поверхні не завжди може бути точно наближена поліедрами, що збігаються до поверхні.{{sfnp|Schwarz|1890}}
{{multiple image
| total_width       = 360
| image1            = Flag of Guyana.svg
| caption1          = [[Прапор Гаяни]]
| image2            = Flag of Saint Lucia.svg
| caption2          = [[Прапор Сент-Люсії]]
}}

У [[Графічний дизайн|графічному дизайні]] та [[Декоративне мистецтво|декоративних мистецтвах]] рівнобедрені трикутники були частим елементом дизайну в культурах по всьому світу щонайменше з [[Ранній неоліт|раннього неоліту]]{{sfnp|Washburn|1984}} до сучасності.{{sfnp|Jakway|1922}} Вони є поширеним елементом дизайну на [[Прапор|прапорах]] та в [[Геральдика|геральдиці]], з'являючись виразно з вертикальною основою, наприклад, на [[Прапор Гаяни|прапорі Гаяни]], або з горизонтальною основою на [[Прапор Сент-Люсії|прапорі Сент-Люсії]], де вони формують стилізоване зображення гірського острова.{{sfnp|Smith|2014}} Вони також використовувалися в дизайнах з релігійним або містичним значенням, наприклад, у [[Шрі Янтра|Шрі Янтрі]] [[Тантра|індуїстської медитативної практики]].{{sfnp|Bolton|Nicol|Macleod|1977}}

== Історія та помилки ==
Задовго до того, як рівнобедрені трикутники були вивчені [[Давньогрецька математика|давньогрецькими математиками]], практики [[Математика в Стародавньому Єгипті|стародавньої єгипетської]] та [[Вавилонська математика|вавилонської математики]] знали, як обчислювати їхню площу. Завдання такого типу включені у [[Московський математичний папірус]] та [[Папірус Рінда]].<ref>{{harvtxt|Høyrup|2008}}. Хоча "багато ранніх єгиптологів" вважали, що єгиптяни використовували неточну формулу площі - половину добутку основи та сторони, [[Василь Васильович Струве]] відстоював думку, що вони використовували правильну формулу - половину добутку основи та висоти {{harv|Clagett|1989}}. Це питання залежить від перекладу одного зі слів у папірусі Рінда, і якщо це слово перекладається як висота (або точніше як співвідношення висоти до основи), формула є правильною {{harv|Gunn|Peet|1929|pages=173–174}}.</ref> 

Теорема про те, що кути при основі рівнобедреного трикутника є рівними, з'являється як Proposition I.5 у Евкліда.{{sfnp|Heath|1926|loc=[https://hdl.handle.net/2027/uva.x001426155?urlappend=%3Bseq=271 p. 251]}} Цей результат отримав назву ''[[pons asinorum]]'' (міст осла) або теорема про рівнобедрений трикутник. Конкуруючі пояснення цієї назви включають теорію про те, що це тому, що діаграма, використана Евклідом у його демонстрації результату, нагадує міст, або тому, що це перший складний результат у Евкліда, який розділяє тих, хто може зрозуміти його геометрію, від тих, хто не може.{{sfnp|Venema|2006|loc=p. 89}} 

Добре відома [[Математичні хиби#Геометрія|хиба]] - фальшиве доведення твердження, що ''всі трикутники є рівнобедреними'', вперше опубліковане [[В. В. Роуз Болл|В. В. Роуз Боллом]] у 1892 році,{{sfnp|Ball|Coxeter|1987}} пізніше передруковане у посмертній книзі [[Льюїс Керрол|Льюїса Керрола]] ''Книга картинок Льюїса Керрола''.<ref>{{harvtxt|Carroll|1899}}. Див. також {{harvtxt|Wilson|2008}}.</ref> Ця хиба коренується у відсутності у Евкліда визнання концепції ''проміжності'' та пов'язаної з цим двозначності понять ''всередині'' та ''зовні'' фігур.{{sfnp|Specht|Jones|Calkins|Rhoads|2015}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==

* Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Голов. ред. М.&nbsp;Д.&nbsp;Аксьонова.&nbsp;— М: Аванта +, 2001.&nbsp;— 688 c.: іл.
* Геометрія: підруч. для 7 кл. закладів заг. серед. освіти / А.&nbsp;Г.&nbsp;Мерзляк, В.&nbsp;Б.&nbsp;Полонський, М.&nbsp;С.&nbsp;Якір.&nbsp;— Х. : Гімназія, 2020.&nbsp;— 240 с. : іл.
* [https://www.mathros.net.ua/isosceles-triangle-definition.html Рівнобедрений трикутник: означення, властивості, приклади]
{{refbegin}}
*{{citation
 | last = Lardner
 | first = Dionysius
 | author-link = Dionysius Lardner
 | location = London
 | series = The Cabinet Cyclopædia
 | title = A Treatise on Geometry and Its Application in the Arts
 | url = https://archive.org/details/atreatiseongeom00lardgoog
 | year = 1840
 }}
*{{citation
 | last = Lavedan
 | first = Pierre
 | page = 44
 | publisher = Penguin Books
 | title = French Architecture
 | url = https://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.125578/2015.125578.French-Architecture#page/n41/mode/2up
 | year = 1947
 }}
*{{citation
 | last = Loeb
 | first = Arthur
 | author-link = Arthur Lee Loeb
 | isbn = 0-8176-3620-X
 | location = Boston
 | page = 180
 | publisher = Birkhäuser Boston
 | title = Concepts and Images: Visual Mathematics
 | url = https://books.google.com/books?id=3PEGCAAAQBAJ&pg=PA180
 | year = 1992
 }}
*{{citation
 | last = Padovan
 | first = Richard
 | author-link = Richard Padovan
 | isbn = 9780415259620
 | page = 128
 | publisher = Psychology Press
 | title = Towards Universality: Le Corbusier, Mies, and De Stijl
 | url = https://books.google.com/books?id=it3rZrdqPUoC&pg=PA128
 | year = 2002
 }}
*{{citation
 | last = Pellegrino
 | first = S.
 | isbn = 9783211836859
 | pages = 99–100
 | publisher = Springer
 | series = CISM International Centre for Mechanical Sciences
 | title = Deployable Structures
 | url = https://books.google.com/books?id=tolqCQAAQBAJ&pg=PA99
 | volume = 412
 | year = 2002
 }}
*{{citation
 | last = Ketchum
 | first = Milo Smith
 | location = New York
 | page = 107
 | publisher = McGraw-Hill
 | title = The Design of Highway Bridges of Steel, Timber and Concrete
 | url = https://archive.org/stream/designhighwaybr02ketcgoog#page/n127/mode/2up/search/isosceles
 | year = 1920
 }}
*{{citation |last=Schwarz|first=H. A.|authorlink=Hermann Schwarz |title=Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz |year=1890|publisher=Verlag von Julius Springer|pages=309–311}}
*{{citation|first=Whitney|last=Smith|title=Encyclopædia Britannica|contribution=Flag of Saint Lucia|contribution-url=https://www.britannica.com/topic/flag-of-Saint-Lucia|date=26 червня 2014|access-date=2018-09-12}}
*{{citation | last = Yoshimura | first = Yoshimaru | date = July 1955 | publisher = National Advisory Committee for Aeronautics | series = Technical Memorandum 1390 | title = On the mechanism of buckling of a circular cylindrical shell under axial compression | url = https://ntrs.nasa.gov/citations/19930093840 }}
*{{citation|title=Trigonometry|first=Cynthia Y.|last=Young|author-link=Cynthia Y. Young|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=9780470648025|url=https://books.google.com/books?id=IN5u3XZ92S8C}}
*{{citation
 | last = Washburn | first = Dorothy K.
 | date = July 1984
 | doi = 10.2307/504554
 | issue = 3
 | journal = American Journal of Archaeology
 | title = A study of the red on cream and cream on red designs on Early Neolithic ceramics from Nea Nikomedeia
 | volume = 88| pages = 305–324
 | jstor = 504554
 | s2cid = 191374019
 }}
*{{citation|title=The Principles of Interior Decoration|first=Bernard C.|last=Jakway|publisher=Macmillan|year=1922|page=48|url=https://books.google.com/books?id=gUJIAAAAIAAJ&pg=PA48}}
*{{citation
 | last1 = Bolton | first1 = Nicholas J
 | last2 = Nicol | first2 = D.
 | last3 = Macleod | first3 = G.
 | date = March 1977
 | doi = 10.1016/0048-721x(77)90008-2
 | issue = 1
 | journal = Religion
 | pages = 66–85
 | title = The geometry of the Śrī-yantra
 | volume = 7}}
*{{citation
 | last1 = Gunn
 | first1 = Battiscombe
 | last2 = Peet
 | first2 = T. Eric
 | date = May 1929
 | doi = 10.1177/030751332901500130
 | issue = 1
 | journal = The Journal of Egyptian Archaeology
 | jstor = 3854111
 | pages = 167–185
 | title = Four geometrical problems from the Moscow Mathematical Papyrus
 | url = https://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.70988/2015.70988.Journal-Of-Egyptian-Archaeology-Vol15#page/n247/mode/2up
 | volume = 15
 | s2cid = 192278129
 }}
*{{citation|title=Lessons in Geometry: Plane geometry|first=Jacques|last=Hadamard|author-link=Jacques Hadamard|publisher=American Mathematical Society|year=2008|isbn=9780821843673|url=https://books.google.com/books?id=SaZwAAAAQBAJ|translator-first=Mark|translator-last=Saul}}
*{{citation
 | last1 = Harris
 | first1 = John W.
 | last2 = Stöcker
 | first2 = Horst
 | author2-link = Horst Stöcker
 | doi = 10.1007/978-1-4612-5317-4
 | isbn = 0-387-94746-9
 | location = New York
 | mr = 1621531
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = Handbook of mathematics and computational science
 | url = https://books.google.com/books?id=DnKLkOb_YfIC
 | year = 1998
 }}
*{{citation
 |last        = Heath
 |first       = Thomas L.
 |author-link = Thomas Little Heath
 |title       = The Thirteen Books of Euclid's Elements
 |volume      = 1
 |year        = 1926
 |edition     = 2nd
 |publisher   = Cambridge University Press
 |url         = https://hdl.handle.net/2027/uva.x001426155
}}; [https://archive.org/details/thirteenbooksofe0001eucl_e2h2 Dover reprint, 1956], {{SBN|486-60088-2}}
*{{citation
 | last = Høyrup | first = Jens
 | contribution = Geometry in Mesopotamia and Egypt
 | doi = 10.1007/978-1-4020-4425-0_8619
 | pages = 1019–1023
 | publisher = Springer Netherlands
 | title = Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures| year = 2008
 | bibcode = 2008ehst.book.....S
 }}
*{{citation
 | last = Ionin
 | first = Yury J.
 | issue = 1
 | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
 | mr = 2577309
 | pages = R141:1–R141:24
 | title = Isosceles sets
 | url = http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i1r141.html
 | volume = 16
 | year = 2009
 | doi = 10.37236/230
 | doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Stahl | first = Saul
 | isbn = 0-13-032927-4
 | publisher = Prentice-Hall
 | title = Geometry from Euclid to Knots
 | year = 2003}}
*{{citation
 | last1 = Usiskin | first1 = Zalman | author1-link = Zalman Usiskin
 | last2 = Griffin | first2 = Jennifer
 | isbn = 9781607526001
 | publisher = Information Age Publishing
 | series = Research in Mathematics Education
 | title = The Classification of Quadrilaterals: A Study in Definition
 | year = 2008}}
*{{citation
 | last = Venema | first = Gerard A.
 | isbn = 0-13-143700-3
 | publisher = Prentice-Hall
 | title = Foundations of Geometry
 | year = 2006}}
*{{citation
 | last1 = Alsina | first1 = Claudi
 | last2 = Nelsen | first2 = Roger B.
 | isbn = 978-0-88385-342-9
 | mr = 2498836
 | publisher = Mathematical Association of America, Washington, DC
 | series = The Dolciani Mathematical Expositions
 | title = When less is more: Visualizing basic inequalities
 | volume = 36
 | year = 2009}}
*{{citation
 | last = Arslanagić
 | first = Šefket
 | contribution = Problem ''&eta;''44
 | url = https://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf
 | page = 151
 | title = Inequalities proposed in Crux Mathematicorum
 }}
*{{citation
 | last1 = Ball | first1 = W. W. Rouse | author1-link = W. W. Rouse Ball
 | last2 = Coxeter | first2 = H. S. M. | author2-link = Harold Scott MacDonald Coxeter
 | edition = 13th
 | isbn = 0-486-25357-0
 | at = footnote, p. 77
 | publisher = Dover
 | title = Mathematical Recreations and Essays
 | year = 1987 | orig-year = 1892}}
*{{citation
 | last = Carroll
 | first = Lewis
 | author-link = Lewis Carroll
 | title = The Lewis Carroll Picture Book
 | editor-last = Collingwood
 | editor-first = Stuart Dodgson
 | location = London
 | publisher = T. Fisher Unwin
 | year = 1899
 | pages = 264–266
 | url = https://archive.org/details/lewiscarrollpict00carruoft/page/264/
 }}
*{{citation
 | last = Clagett | first = Marshall | author-link = Marshall Clagett
 | at = [https://books.google.com/books?id=8c10QYoGa4UC&pg=PA19 Footnote 68, pp. 195–197]
 | isbn = 9780871692320
 | publisher = American Philosophical Society
 | title = Ancient Egyptian Science: Ancient Egyptian mathematics
 | year = 1989}}
*{{citation
 | last1 = Conway
 | first1 = J.H.
 | author1-link = John Horton Conway
 | last2 = Guy
 | first2 = R.K.
 | author2-link = Richard K. Guy
 | contribution = Calabi's Triangle
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA206
 | location = New York
 | page = 206
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = The Book of Numbers
 | year = 1996
 }}
*{{citation|first=Whitney|last=Smith|title=Encyclopædia Britannica|contribution=Flag of Saint Lucia|contribution-url=https://www.britannica.com/topic/flag-of-Saint-Lucia|date=26 червня 2014|access-date=2018-09-12}}
*{{citation
 | last1 = Specht
 | first1 = Edward John
 | last2 = Jones
 | first2 = Harold Trainer
 | last3 = Calkins
 | first3 = Keith G.
 | last4 = Rhoads
 | first4 = Donald H.
 | doi = 10.1007/978-3-319-23775-6
 | isbn = 978-3-319-23774-9
 | mr = 3445044
 | page = 64
 | publisher = Springer, Cham
 | title = Euclidean geometry and its subgeometries
 | url = https://books.google.com/books?id=CrJPCwAAQBAJ&pg=PA64
 | year = 2015
 }}
{{refend}}

{{Трикутник}}

[[Категорія:Геометричні фігури]]
[[Категорія:Геометрія трикутника]]