Перегляд вихідного коду сторінки Ряд Фур'є

'''Ряд Фур'є''' — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції. Здебільшого як найпростіші використовуються тригонометричні функції [[синус]]а і [[косинус]]а. В цьому випадку ряд Фур'є називається ''тригонометричним'', а обчислення такого ряду часто називають ''розкладом на [[гармоніки]]''. 

Ряди названі на честь французького математика [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Жана Батиста Жозефа Фур'є]].

== Визначення ==
=== Класичне визначення ===
''Тригонометричним рядом Фур'є'' називають функціональний [[ряд (математика)|ряд]] виду
: <math>\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \big[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big]</math>

Якщо ряд [[Границя|збігається]], то його сума дорівнює [[періодична функція|періодичній функції]] <math>\ f(x)</math> з періодом <math>\ 2\pi</math>, оскільки <math>\ \sin nx</math> та <math>\ \cos nx</math> є періодичними з періодом <math>\ 2\pi</math>.

Сталі числа <math>\ a_0, a_n, b_n \;\; (n \in \mathbb{N})</math> називаються ''коефіцієнтами тригонометричного ряду'':
: <math>a_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx, \qquad b_n= \frac1{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx.</math>

=== Загальне визначення ===
Нехай дано [[ортонормований базис]] <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> у [[Гільбертів простір|Гільбертовому просторі]] <math>R</math>
та <math>\ f</math>&nbsp;— довільний елемент з <math>R</math>. Послідовність чисел

: <math>c_k =\frac{\langle f, \varphi_k \rangle}{||\varphi_k||^2}</math>

називається ''координатами'', або ''коефіцієнтами Фур'є'' елемента <math>f</math> по системі <math>\{\varphi_k\}</math>, а ряд
: <math>\sum_k c_k \varphi_k</math>

називається '''рядом Фур'є''' елемента <math>\ f</math> по ортогональній системі <math>\{\varphi_k\}</math>.

Справедлива так звана ''[[нерівність Бесселя]]'':
: <math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2.</math>

Якщо виконується ''[[рівність Парсеваля]]''
: <math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2</math>,
то нормована система <math>\{\varphi_k\}</math> називається ''замкненою''.

Справедливе твердження: в [[сепарабельний простір|сепарабельному]] [[евклідів простір|евклідовому просторі]] <math>R</math> будь-яка повна ортогональна нормована система є замкненою і навпаки.

== Збіжність ряду Фур'є ==
{{main|Ознака Діні}}
[[Файл:Periodic identity function.gif|thumb|400px|Збіжність ряду Фур'є]]
Теорема:
{{Початок цитати}}
Якщо періодична функція <math>f(x)\!</math> з періодом <math>2\pi\!</math> — кусково-монотонна<ref>Функція називається кусково-монотонною на певному відрізку, якщо цей відрізок може бути розбитий на скінченне число інтервалів так, що на кожному інтервалі функція буде неспадною або незростаючою (тобто монотонною).</ref> і обмежена на відрізку <math>[-\pi, \pi]\!</math>, то тригонометричний ряд Фур'є, побудований для цієї функції, збігається у всіх точках. Сума одержаного ряду <math>s(x)\!</math> дорівнює значенню функції <math>f(x)\!</math> в точках її неперервності. В точках розриву <math>f(x)\!</math> сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції <math>f(x)\!</math> справа і зліва.
{{Кінець цитати}}

З цієї теореми випливає, що тригонометричні ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

== Достатні ознаки розкладу функції в ряд Фур'є ==
'''Теорема Діріхле'''. Якщо <math>f(x)\!</math> періодична з періодом <math>2\pi\!</math>, функція неперервна або має скінченну кількість [[точка розриву|точок розриву]] першого роду на відрізку <math>[-\pi, \pi]\!</math> і цей відрізок можна розбити на скінченну кількість частин, в кожній з яких <math>f(x)\!</math> монотонна, то ряд Фур'є відносно функції збігається до <math>f(x)\!</math> в точках неперервності і до середнього арифметичного односторонніх границь в точках розриву першого роду.

== Ряди Фур'є для парних і непарних функцій ==

Нехай f(x) - [[парна функція]] з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

<math>a_0=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) dx</math>

<math>a_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx = \frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \cos \frac{\pi nx}{l} dx</math>

<math>b_n=\frac{1}{l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx =0</math>, де <math>n=1,2, . . .</math>

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом <math>2L</math> виглядає так:

<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{\pi nx}{l}</math>

Нехай тепер <math>f(x)</math>&nbsp;— [[непарна функція]] з періодом <math>2L</math>, що задовольняє умові <math>f(-x)=-f(x)</math>.

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

<math>b_n=\frac{2}{l} \int\limits_{0}^{l} f(x) \sin \frac{\pi nx}{l} dx</math>, де <math>n=1,2, . . .</math>

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом <math>2L</math> виглядає так:

<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin \frac{\pi nx}{l}</math>

Якщо функція <math>f(x)</math> розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку <math>[-\pi, \pi]\!</math> то 

<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>, 

де <math>a_0=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx</math>

<math>a_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx</math>

<math>b_n=\frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx</math>

Якщо <math>f(x)</math> розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на <math>[0,L]</math>, то довизначивши задану функцію <math>f(x)</math> відповідним чином на <math>[-L,0]</math>; після чого періодично продовживши на <math>(T=2L)</math>, отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.

Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку <math>[a,b]</math>, треба: довизначити <math>[b,a+2L]</math> і періодично продовжити, або довизначити на <math>[b-2L,a]</math> і періодично продовжити.

== Комплексна форма ряду Фур'є ==

Вираз <math>\sum_{-\infty}^\infty c_n e^\frac{i\pi nx}{l}</math> називається комплексною формою ряду Фур'є функції <math>f(x)</math>, якщо визначається рівністю

<math>c_n=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) e^{-\frac{i\pi nx}{l}} dx</math>, де <math>n=0,\pm1,\pm2,...</math>

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

<math>c_n=\frac{a_n-i b_n}{2}</math>

<math>c_0=\frac{a_0}{2}</math>

<math>\omega=\frac{1}{2l} \int\limits_{-l}^{l} f(x) dx</math>

<math>a_n=2Re c_n</math>

<math>b_n=-2Im c_n</math>

<math>a_0=2 c_0</math>

<math>(n=1,2, . . .)</math>

== Формули дискретного перетворення Фур'є ==

Зворотне перетворення Фур'є 

<math>f(t_k)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} C_k^\blacklozenge e^{i \frac{2\pi k}{T} t_n}</math>

<math>C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{\infty} f(x) e^{-in \frac{2\pi}{T} t_n}</math>,

де <math>n=1,2,... , k=1,2,...</math>

Дискретним перетворенням Фур'є називається N- вимірний вектор <math>(C_0^\blacklozenge, ..., C_{N-1}^\blacklozenge)</math>

<math>C_n^\blacklozenge=\sum_{n=0}^{N-1} f(t_n) e^{\frac{-i2\pi n}{T} t_n}</math>

при цьому, <math>C_n=\frac{C_n}{N}</math>

== Див. також ==
* [[Гармонічний ряд звуків]]
* [[Перетворення Фур'є]]
* [[Ряд (математика)]]
* [[Теорія рядів]]
* [[Тригонометричний многочлен]]
* [[Швидке перетворення Фур'є]]
* [[Теорема Персеваля]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Ряди Фур’є|сторінки=539}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Rudin.Functional Analysis}}
* {{книга
|автор       = Эдвардс Р.
|заголовок   = Ряды Фурье в современном изложении
|рік         = 1985
|видавництво = Мир
|місто       = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок    = 264+400
}}
* {{MathWorld|urlname=FourierSeries}}
* [http://www.falstad.com/fourier/  Java-аплет, що демонструє розклад на гармоніки в інтерактивному режимі]

== Примітки ==
<references/>

{{math-stub}}

{{Послідовності й ряди}}

[[Категорія:Ряди та послідовності]]
[[Категорія:Гармонічний аналіз]]