Перегляд вихідного коду сторінки Рулета

У [[Диференціальна геометрія кривих|диференціальній геометрії кривих]] '''рулета'''&nbsp;— різновид [[Крива|кривої]], що узагальнює [[Циклоїда|циклоїди]], [[Епіциклоїда|епіциклоїди]], [[Гіпоциклоїда|гіпоциклоїди]], [[Трохоїда|трохоїди]], [[Епітрохоїда|епітрохоїди]], [[Гіпотрохоїда|гіпотрохоїди]] та [[Евольвента|евольвенти]]. Загалом, це лінія, прокреслена точкою кривої під час котіння без ковзання по іншій кривій.

== Визначення ==

=== Неформальне визначення ===
[[Файл:RouletteAnim.gif|праворуч|обрамити| Зелена [[парабола]] котиться вздовж рівної їй синьої параболи, яка залишається нерухомою. Твірною точкою є вершина рухомої параболи, вона описує рулету, показану червоним. У цьому випадку рулета&nbsp;— [[цисоїда Діокла]].<ref name="2dcurves_cubicc">[http://www.2dcurves.com/cubic/cubicc.html «Cissoid» on www.2dcurves.com]</ref>]]
Грубо кажучи, '''рулета'''&nbsp;— це лінія, яку описує точка (звана ''твірною точкою'', ''генератором''{{Уточнити}} або ''полюсом''{{Уточнити}}), яка лежить на заданій кривій, коли ця крива котиться без ковзання уздовж іншої, нерухомої, заданої кривої. Точніше, задану криву прикріплено до площини, яка рухається так, що крива котиться, не ковзаючи, вздовж іншої заданої кривої, прикріпленої до нерухомої площини, яка займає той самий простір, при цьому точка рухомої площини описує у фіксованій площині криву, яку називають '''рулетою'''.

=== Особливі випадки та пов'язані з ними поняття ===
У випадку, коли рухома крива є [[Пряма|прямою]], а твірною є точка на ній, рулету називають [[Евольвента|''евольвентою'']] нерухомої кривої. Якщо рухома крива є колом, а фіксована крива&nbsp;— прямою, то рулету називають [[Трохоїда|трохоїдою]]. Якщо в цьому випадку точка лежить на колі, то рулета є [[Циклоїда|циклоїдою]].

Спорідненим поняттям є {{Нп|крива ковзання|3=en|4=Glissette}}&nbsp;— лінія, яку описує точка кривої, коли вона ковзає вздовж двох (або більше) заданих кривих.

=== Формальне визначення ===
Формально кажучи, криві повинні бути [[Диференційовна функція|диференційовними]] на [[Площина|евклідовій площині]]. ''Нерухома крива'' залишається незмінною; ''рухома крива'' зазнає такого [[Неперервна функція|неперервного]] [[Конгруентність (геометрія)|конгруентного]] перетворення, що в будь-який момент криві є [[Дотична|дотичними]] в точці контакту, яка рухається з однаковою швидкістю вздовж кожної з них (іншим способом вираження цього обмеження є те, що точка контакту двох кривих є [[Миттєвий центр швидкостей|миттєвим центром обертання]] перетворення конгруентності). Рулета формується як [[Геометричне місце точок|геометричне місце]] твірної точки, яка зазнає такого ж набору перетворень конгруентності.

Моделюючи початкові криві як криві в [[Комплексна площина|комплексній площині]], нехай <math>r,f:\mathbb R\to\Complex</math>&nbsp;— дві [[Диференціальна геометрія кривих|природні параметризації]] рухомої ({{Nobr|<math>r</math>)}} та нерухомої {{Nobr|(<math>f</math>)}} кривих, таких, що <math>r(0)=f(0)</math>, <math>r'(0) = f'(0)</math> і для всіх <math>t</math> <math>|r'(t)| = |f'(t)| \neq 0</math>. Тоді рулета для твірної точки <math>p\in\Complex</math>, коли <math>r</math> котиться по <math>f</math> задається відображенням:

: <math>t\mapsto f(t)+(p-r(t)) {f'(t)\over r'(t)}.</math>

== Узагальнення ==
Якщо замість однієї точки, прикріпленої до рухомої кривої, уздовж рухомої площини переноситься інша задана крива, утворюється сімейство конгруентних кривих. Обвідну цього сімейства також можна назвати рулетою.

Звичайно, можна уявити рулети у вищих вимірах, але при цьому доведеться зважати не лише на дотикання.

== Приклад ==
Якщо нерухома крива&nbsp;— [[ланцюгова лінія]], а рухома крива&nbsp;— [[пряма]], маємо:

: <math>f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)</math>

: <math>f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).</math>

Параметризацію лінії вибирають так, щоб

: <math>|f'(t)| = \sqrt{1^2+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = |r'(t)|. </math>

Застосовуючи наведену вище формулу, маємо:

: <math>f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}
=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)}
=t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.</math>

Якщо ''p''&nbsp;=&nbsp;−''i,'' то вираз має сталу [[Уявне число|уявну]] частину (а саме −''i''), а рулета є горизонтальною лінією. Цікавим застосуванням цього є те, що [[квадратне колесо]] може котитися, не підстрибуючи, дорогою, яку утворено серією ланцюгових ліній.

== Список рулет ==
{| class="wikitable sortable"
!Нерухома крива
!Рухома крива
!Твірна точка
!Рулета
|-
|''Будь-яка крива''
|[[Пряма]]
|Точка прямої
|[[Евольвента]] кривої
|-
|[[Пряма]]
|''Будь-яка''
|''Будь-яка''
|[[Циклогон]]
|-
|[[Пряма]]
|[[Коло]]
|''Будь-яка''
|[[Трохоїда]]
|-
|[[Пряма]]
|[[Коло]]
|Точка кола
|[[Циклоїда]]
|-
|[[Пряма]]
|[[Конічні перетини|Конічний перетин]]
|Центр коніки
|'''Рулета [[Жак Шарль Франсуа Штурм|Штурма]]'''<ref name="sturm">[http://www.mathcurve.com/courbes2d/sturm/sturm.shtml "Sturm's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
|-
|[[Пряма]]
|[[Конічні перетини|Конічний перетин]]
|[[Фокус (математика)|Фокус]] коніки
|'''Рулета [[Шарль Ежен Делоне|Делоне]]'''<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/delaunay/delaunay.shtml "Delaunay's roulette" on www.mathcurve.com]</ref>
|-
|[[Пряма]]
|[[Парабола]]
|[[Фокус (математика)|Фокус]] параболи
|[[Ланцюгова лінія]]<ref name="2dcurves_roulettede">[http://www.2dcurves.com/roulette/roulettede.html "Delaunay's roulette" on www.2dcurves.com]</ref>
|-
|[[Пряма]]
|[[Еліпс]]
|[[Фокус (математика)|Фокус]] еліпса
|'''Еліптична ланцюгова лінія'''<ref name="2dcurves_roulettede" />
|-
|[[Пряма]]
|[[Гіпербола (математика)|Гіпербола]]
|[[Фокус (математика)|Фокус]] гіперболи
|'''Гіперболічна ланцюгова лінія'''<ref name="2dcurves_roulettede" />
|-
|[[Пряма]]
|[[Гіпербола (математика)|Рівнобічна гіпербола]]
|[[Гіпербола (математика)#Властивості|Центр гіперболи]]
|'''Рівнобічна крива пружного деформування'''<ref>{{Cite book
|url=https://archive.org/details/applicationselli00greerich/page/n103
|title=The applications of elliptic functions
|last=Greenhill
|first=G.
|authorlink1=Джордж Ґрінгілл
|year=1892
|publisher=Macmillan
|page=88
}}</ref>
|-
|[[Пряма]]
|{{Нп|Циклоциклоїда|3=en|4=Cyclocycloid}}
|Центр
|[[Еліпс]]<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/roulette/roulette.shtml "Roulette with straight fixed curve" on www.mathcurve.com]</ref> 
|-
|[[Коло]]
|[[Коло]]
|''Будь-яка''
|{{Нп|Центрована трохоїда|3=en|4=Centered trochoid}}<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/trochoid/trochoidacentre.shtml "Centered trochoid" on mathcurve.com]</ref>
|-
|Зовнішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]]
|''Будь-яка''
|[[Епітрохоїда]]
|-
|Зовнішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]]
|Точка кола
|[[Епіциклоїда]]
|-
|Зовнішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]] такого ж [[радіус]]а
|''Будь-яка''
|[[Равлик Паскаля]]
|-
|Зовнішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]] такого ж [[радіус]]а
|Точка кола
|[[Кардіоїда]]
|-
|Зовнішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]] половинного [[радіус]]а
|Точка кола
|{{Нп|Нефроїда|3=en|4=Nephroid}}
|-
|Внутрішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]]
|''Будь-яка''
|[[Гіпотрохоїда]]
|-
|Внутрішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]]
|Точка кола
|[[Гіпоциклоїда]]
|-
|Внутрішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]] втричі меншого [[радіус]]а
|Точка кола
|[[Дельтоїда]]
|-
|Внутрішній бік [[Коло|кола]]
|[[Коло]] вчетверо меншого [[радіус]]а
|Точка кола
|[[Астроїда]]
|-
|[[Парабола]]
|Рівна парабола, параметризована в протилежному напрямку
|[[Вершина кривої|Вершина]] параболи
|[[Цисоїда Діокла]]<ref name="2dcurves_cubicc"/>
|-
|[[Ланцюгова лінія]]
|[[Пряма]]
|''Див. [[Рулета#Приклад|приклад]] вище''
|Пряма
|}

== Див. також ==
* [[Зубчасте колесо]]
* [[Геометричне місце точок]]
* [[Принцип суперпозиції]]
* [[Спірограф]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{Нп|Вільям Генрі Безант|В. Г. Безант|en|W. H. Besant}} (1890) ''[http://hdl.handle.net/2027/coo.31924059413827 «Примітки про рулети та ковзові криві»]'' з історичних математичних монографій [[Корнелльський університет|Корнелльського університету]], спочатку опублікованих Deighton, Bell & Co.
* {{MathWorld|urlname=Roulette|title=Рулета}}
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulette.html Рулета на 2dcurves.com]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/base/base.shtml Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan] {{In lang|fr}}
* [http://www.tfh-berlin.de/~schwenk/Lehrgebiete/AUST/Welcome.html Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen] {{In lang|de}}
{{Бібліоінформація}}
{{Криві}}

[[Категорія:Рулети (криві)|*]]