Перегляд вихідного коду сторінки Ромботриаконтаедр

{{Поліедр
| name          = Ромботриаконтаедр
| image         = Rhombictriacontahedron.svg
| caption       = <!--підпис зображення-->
| type          = [[Каталанові тіла|каталанове тіло]]
| euler         = <!--характеристика Ейлера-->
| faces         = 30
| edges         = 60
| vertices      = 32
| cell          = <!--кількість стільників (комірок)-->
| vertex_config = V3.5.3.5
| schläfli      = <!--символ Шлефлі-->
| wythoff       = <!--символ Витофа-->
| coxeter       = {{CDD|node|5|node_f1|3|node}}
| symmetry      = I<sub>h</sub>, H<sub>3</sub>, [5,3], (*532)
| surface_area  = <math>S = 12\sqrt{5}\,a^2</math>
| volume        = <math>V = 4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,a^3</math>
| angle         = 144°
| dual          = [[ікосододекаедр]]
| properties    = [[Ізоедричне тіло|ізоедричний]], [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]], [[зоноедр]]
| vertex_figure = <!--тільки назву зображення-->
| net           = Rhombictriacontahedron net.svg
}}
[[Файл:Rhombic_triacontahedron.stl|міні| Тривимірна модель ромботриаконтаедра]]
У [[Геометрія|геометрії]] '''ромботриаконтаедр''' або '''ромбічний триаконтаедр''', який іноді називають просто '''триаконтаедром''' (від {{Lang-el|[[wikt:ru:τριάκοντα|τριάκοντα]]}} ({{Lang-el|[[wikt:ru:τριάντα|τριάντα]]}})&nbsp;— «тридцять» і {{Lang-el2|εδρον}}&nbsp;— «грань»), оскільки це найпоширеніший тридцятигранний [[многогранник]]&nbsp;— [[Опуклий політоп|опуклий многогранник]] із 30 [[ромб]]ічними [[Грань (геометрія)|гранями]]. Має 60 [[Ребро (геометрія)|ребер]] і 32 [[Вершина (геометрія)|вершини]] двох типів: 12 розташовані при гострих кутах 5 ромбів, решта 20&nbsp;— при тупих кутах 3 ромбів. [[Напівправильний многогранник#Каталанові тіла|Каталанове тіло]] та [[Дуальний многогранник|двоїстий многогранник]] до [[ікосододекаедр]]а. [[Зоноедр]].
[[Файл:GoldenRhombus.svg|міні|Грань ромботриаконтаедра. Довжини діагоналей утворюють [[золотий перетин]]]]
[[Файл:Cube-R30.gif|міні| Анімація показує перетворення [[куб]]а в ромботриаконтаедр шляхом поділу квадратних граней на 4 квадрати та поділу середніх ребер на нові ромбічні грані.]]
Відношення довгої діагоналі до короткої діагоналі кожної грані точно дорівнює [[Золотий перетин|золотому перетину]], {{Mvar|φ}}, так що [[Кут|гострі кути]] на кожній грані дорівнюють {{Math|2 tan{{sup|−1}}({{sfrac|1|''φ''}}) {{=}} tan{{sup|−1}}(2)}} або приблизно 63,43°. Такий ромб називають [[Золотий ромб|золотим]].

Як двоїстий до [[Архімедове тіло|архімедового тіла]], є ''[[Ізоедральне тіло|гране-транзитивним]]'', тобто [[Групи симетрії|група симетрії]] тіла [[Дія групи|діє транзитивно]] на множині граней. Це означає, що для будь-яких двох граней {{Mvar|A}} і {{Mvar|B}}, є [[Обертання|поворот]] або [[Відбиття (геометрія)|відбиття]], яке переводить грань {{Mvar|A}} в грань {{Mvar|B}}, після якого тіло займає ту саму ділянку простору.

Один із дев'яти [[Ізотоксальна фігура|реберно-транзитивних]] опуклих многогранників, а інші&nbsp;— це п'ять [[Правильний многогранник|платонових тіл]], [[кубооктаедр]], [[ікосододекаедр]] і [[ромбододекаедр]].

Вершини належать чотирьом платоновим тілам. Містить десять [[Чотиригранник|тетраедрів]], п'ять [[куб]]ів, [[ікосаедр]] і [[Дванадцятигранник|додекаедр]]. Центри граней утворюють п'ять [[октаедр]]ів.

Ромботриаконтаедр можна скласти зі [[Зрізаний октаедр|зрізаного октаедра]], розділивши шестикутні грані на 3 ромби:
[[Файл:Rhombic_triacontahedron_in_truncated_octahedron.png|міні| Топологічний ромботриаконтаедр у [[Зрізаний октаедр|зрізаному октаедрі]]]]

== Декартові координати ==
Нехай <math>\phi</math>&nbsp;— [[Золотий перетин|золота пропорція]]. 12 точок, а саме <math>(0, \pm 1, \pm \phi)</math> та з циклічними перестановками цих координат, є вершинами [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]]. Двоїстий до нього [[правильний додекаедр]], ребра якого перетинають ребра ікосаедра під прямим кутом, має вершинами 8 точок <math>(\pm 1, \pm 1, \pm 1)</math>, а також 12 точок із координатами <math>(0, \pm\phi, \pm 1/\phi)</math> та їх циклічними перестановками. Усі 32 точки разом є вершинами ромботриаконтаедра з центром у початку координат. Довжина його ребер становить <math>\sqrt{3-\phi}\approx 1.175\,570\,504\,58</math>. Його грані мають діагоналі з довжинами <math>2</math> і <math>2/\phi</math>.

== Розміри ==
Якщо довжина ребра ромботриаконтаедра дорівнює <math>a</math>, площа поверхні, об'єм, [[радіус]] <math>r_i</math> [[Вписана сфера|вписаної сфери]] ([[Дотична|дотичної]] до кожної з граней ромбічного триаконтаедра) і радіус <math>r_m</math> [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]] (дотичної до середини кожного ребра), дорівнюють:<ref>[[Stephen Wolfram]], "" from [[Wolfram Alpha]]. Retrieved 7 January 2013.</ref>

: <math>\begin{align}
S &= 12\sqrt{5}\,a^2 &&\approx 26.8328 a^2 \\
V &= 4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,a^3 &&\approx 12.3107 a^3 \\
r_\mathrm{i} &= \frac{\varphi^2}{\sqrt{1 + \varphi^2}}\,a = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}\,a &&\approx 1.37638 a \\
r_\mathrm{m} &= \left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\,a &&\approx 1.44721 a
\end{align}</math>

де ''φ''&nbsp;— [[золотий перетин]].

[[Вписана сфера]] дотикається до граней у їхніх [[центроїд]]ах. Короткі діагоналі належать тільки ребрам вписаного правильного додекаедра, а довгі&nbsp;— тільки ребрам вписаного ікосаедра.

== Розтин ==
Ромботриаконтаедр можна розділити на 20 {{Нп|Трикутний трапецоедр|золотих ромбоедрів|en|Trigonal trapezohedron}}: 10 гострих і 10 тупих<ref>{{Cite web|url=http://www.cutoutfoldup.com/979-golden-rhombohedra.php|title=How to make golden rhombohedra out of paper}}</ref><ref>[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dissection-rt.html Dissection of the rhombic triacontahedron]</ref>.
{| class="wikitable"
!10
! 10
|- align="center"
|[[Файл:Acute_golden_rhombohedron.png|105x105пкс]]<br/>Гостра форма
|[[Файл:Flat_golden_rhombohedron.png|120x120пкс]]
Тупа форма
|}

== Ортогональні проєкції ==
Ромботриаконтаедр має чотири симетричні поєкції: дві з центрами у вершинах, одну&nbsp;— в центрі грані та одну&nbsp;— посередині ребра. У проекція «10» містить «товстий» і «худий» ромби, які разом утворюють неперіодичну мозаїку, звану [[Мозаїка Пенроуза|мозаїкою Пенроуза]].
{| class="wikitable"
|+Ортогональні проєкції
! Проєктивна симетрія
| [2]
| [2]
| [6]
| [10]
|-
! Зображення
|[[Файл:Dual_dodecahedron_t1_v.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dual_dodecahedron_t1_e.png|136x136пкс]]
|[[Файл:Dual_dodecahedron_t1_A2.png|133x133пкс]]
|[[Файл:Dual_dodecahedron_t1_H3.png|120x120пкс]]
|-
! Двоїсте<br/>зображення
|[[Файл:Dodecahedron_t1_v.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_t1_e.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_t1_A2.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_t1_H3.png|120x120пкс]]
|}

== Ззірчення ==
[[Файл:Rhombic_hexecontahedron.png|міні|100x100пкс| Ромбічний шестиконтаедр]]
[[Файл:Construction_of_Rhombic_hexecontahedron_from_Rhombic_Triacontahedron.gif|міні| Приклад ззірчень ромботриаконтаедра.]]
Ромботриаконтаедр має 227 [[Ззірчення#Ззірчення_багатогранників|повністю витриманих ззірчень]]<ref>{{Cite journal|last=Pawley|first=G. S.|date=1975|title=The 227 triacontahedra|journal=Geometriae Dedicata|publisher=Kluwer Academic Publishers|volume=4|issue=2–4|pages=221–232|doi=10.1007/BF00148756|issn=1572-9168}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Messer|first=P. W.|date=1995|title=Stellations of the rhombic triacontahedron and Beyond|journal=Structural Topology|volume=21|pages=25–46}}</ref>. Ще одним ззірченям ромботриаконтаедра є {{Нп|з'єднання п'яти кубів|3=en|4=Compound of five cubes}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Compound of five cubes]] (→ [[:en:Cube#Compound of cubes]]) перекладена як [[Куб]], хоча хотіли [[з'єднання п'яти кубів]] (SashkoR0B0T)-->. Загальна кількість зірок ромбічного триаконтаедра становить 358 833 097.

== Споріднені многогранники ==
{{Ікосаедричні зрізи}}
Цей многогранник є частиною послідовності [[Ромбічний многогранник|ромбічних многогранників]] і мозаїк із [''n'',3] симетрією [[Група Коксетера|групи Коксетера]]. Куб можна розглядати як ромбічний шестигранник, де ромби також є прямокутниками.

<gallery widths="200px" heights="200px">
File:Spherical rhombic triacontahedron.png|Сферичний ромботриаконтаедр
File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.png|Ромботриаконтаедр зі вписаним тетраедром (червоний) і кубом (жовтий).<br />[[:File:Rhombic tricontahedron cube tetrahedron.gif|(Натисніть тут, щоб переглянути обертову модель)]]
File:Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.png|Ромботриаконтаедр зі вписаними додекаедром (синій) та ікосаедром (фіолетовий).<br />[[:File:Rhombic tricontahedron icosahedron dodecahedron.gif|(Натисніть тут, щоб переглянути обертову модель)]]
File:StellaTruncRhombicTriaconta.png|Повністю зрізаний ромботриаконтаедр
</gallery>

=== 6-куб ===
Ромботриаконтаедр утворює [[Опукла оболонка|опуклу оболонку]] з 32 вершин однієї з проєкцій [[Хексеракт|6-куба]] на три виміри.
{| class="wikitable" width="480"
|[[Файл:6Cube-QuasiCrystal.png|240x240пкс]]Тривимірні базисні вектори [u, v,w]:

: u = (1, ''φ'', 0, -1, ''φ'', 0): v = (''φ'', 0, 1, ''φ'', 0, -1): w = (0, 1, ''φ'', 0, -1, ''φ'')
|[[Файл:RhombicTricontrahedron.png|240x240пкс]] Показано з прихованими внутрішніми краями.
20 із 32 внутрішніх вершин утворюють [[Правильний додекаедр|додекаедр]], а решта 12 утворюють [[Правильний ікосаедр|ікосаедр]].
|}

== Використання ==
[[Файл:IQ-light._Design_by_Holger_Strøm.jpg|міні| Світильник у формі ромботриаконтаедра]]
Датський дизайнер Гольґер Стрьом використав ромбічнотриаконтаедр як основу для дизайну своєї збірної лампи IQ-light (IQ означає «взаємопереплетені чотирикутники»).
[[Файл:Rhombic_triacontahedron_box.stl|міні| [[STL (формат файлу)|STL-модель]] ромботриконтаедричної коробки з шести панелей навколо кубічної порожнини&nbsp;— збільште модель, щоб побачити порожнину зсередини]]
Майстер по дереву Джейн Костік виготовляє скриньки у формі ромботриаконтаедра<ref>[http://kosticks.com/triacontahedron-box.html triacontahedron box&nbsp;— KO Sticks LLC]</ref>. Проста конструкція базується не дуже очевидному зв'язку між ромботриаконтаедром і кубом.

«Ball of Whacks» {{Нп|Роджер фон Оех|Роджера фон Оеха|en|Roger von Oech}} складається з 30 пластмасових [[Піраміда (геометрія)|пірамідальних]] деталей, які містять магніти, ромбічні основи яких у зібраному вигляді головоломки є гранями ромботриаконтаедра, а вершини пірамід збігаються в його центрі.

Ромбічний триаконтаедр використовують як «[[Гральні кісточки|d30]]» (тридцятигранний кубик) у деяких рольових іграх тощо.

Крістофер Берд, співавтор {{Нп|Таємне життя рослин|«Таємного життя рослин»|en|The Secret Life of Plants}}, у травні 1975 року написав статтю для {{Нп|Whole Living|New Age Journal|en}}, де популяризує подвійний ікосаедр і додекаедр як «кристалічну структуру Землі», модель «земної (телуричної) енергетичної сітки». Глобус EarthStar Білла Беккера та Бете А. Гаґенс має на меті показати «природну геометрію Землі та геометричний зв'язок між священними місцями, такими як Велика піраміда, Бермудський трикутник та острів Пасхи». Він надрукований у вигляді ромботриаконтаедра на 30 діамантах і складається у вигляді глобуса<ref>{{Cite web|url=http://www.vortexmaps.com/grid-history.php|title=History of the World Grid Theory}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Золотий ромб]]
* [[Ромбічна мозаїка]]<sup>[en]</sup>
* [[Зрізаний ромботриаконтаедр]]<sup>[en]</sup>

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
* {{Нп|Роберт Вільямс (геометр)|Williams, Robert|en|Robert Williams (geometer)}} (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
* {{Citation|last=Wenninger|first=Magnus|author-link=Маґнус Веннінґер|title=Dual Models|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-54325-5|mr=730208|year=1983|doi=10.1017/CBO9780511569371}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, p.&nbsp;22, Rhombic triacontahedron)
* ''The Symmetries of Things'' 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p.&nbsp;285, Rhombic triacontahedron)

== Посилання ==
* {{Mathworld|urlname=RhombicTriacontahedron|title=Ромботриаконтаедр}}
* [https://web.archive.org/web/20070701185550/http://polyhedra.org/poly/show/39/rhombic_triacontahedron Rhombic Triacontrahedron]&nbsp;— Interactive Polyhedron Model
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra]&nbsp;— The Encyclopedia of Polyhedra
* [http://bulatov.org/polyhedra/rtc/ Stellations of Rhombic Triacontahedron]
* [http://www.vortexmaps.com/ EarthStar globe&nbsp;— Rhombic Triacontahedral map projection]
* [http://www.iqlight.com/ IQ-light]—Danish designer Holger Strøm's lamp
* [http://www.instructables.com/id/E7P30WYB6IEVYDYWFG/ Make your own] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070717022841/http://www.instructables.com/id/E7P30WYB6IEVYDYWFG/|date=17 липня 2007}}
* [http://www.kosticks.com/triacontahedron-box.html Дерев'яна конструкція коробки у формі ромботриаконтаедра]&nbsp;— художник по дереву Джейн Костік
* ''[http://demonstrations.wolfram.com/120RhombicTriacontahedra/ 120 Rhombic Triacontahedra]'', [http://demonstrations.wolfram.com/3012RhombicTriacontahedra/ 30+12 Rhombic Triacontahedra], і [http://demonstrations.wolfram.com/12RhombicTriacontahedra/ 12 Rhombic Triacontahedra] від Шандора Кабаї, {{Нп|The Wolfram Demonstrations Project|3=en}}
* [https://web.archive.org/web/20071219100912/http://www.pythagoras.nu/gallery/Escher98/selection/b0089.jpg A viper drawn on a rhombic triacontahedron].
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Золотий перетин]]
[[Категорія:Каталанові тіла]]
[[Категорія:Зоноедри]]