Перегляд вихідного коду сторінки Ромбоедр

{| class="wikitable mw-collapsible" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="320"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Ромбоедр
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Rhombohedron.png|210x210пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[Призма]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній, [[зоноедр]], паралелоедр
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 6 граней ([[ромб]]и) <br/>12 ребер<br/>8 вершин (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Характеристика Ейлера]]'''||
<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''||{{Не перекладено|Циклічна симетрія|C<sub>''i''</sub>|en|Cyclic symmetry in three dimensions}} , [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], (×), порядок 2
(Циклічна симетрія)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Розгортка]]'''|| [[Файл:Розгортка ромбоедра.png|203x203пкс]]
|}

'''Ромбо́едр''' (від [[ромб]] і {{lang-grc|ἕδρα}}&nbsp;— основа, [[грань]]) (також '''ромбічний гексаедр''')&nbsp;— [[паралелепіпед]], у якого всі грані є ромбами.

Всі ребра ромбоедра мають однакову довжину. В загальному випадку, в якості граней можуть бути ромби трьох типів- по 2 конгруентних ромби на кожну пару протилежних граней.

Будь-які чотири несуміжні вершини ромбоедра, обов'язково є вершинами [[Чотиригранник|ортоцентричного тетраедра]], і всі ортоцентричні тетраедри можуть бути утворені таким чином.<ref>{{citation|last=Court|first=N. A.|author-link=Nathan Altshiller Court|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=[[American Mathematical Monthly]]|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>

{{-}}

== Часткові випадки ==
{| class="wikitable"
!Вид ромбоедра
!Грані
!Зображення
!Симетрія
!Опис
|- align="center"
|'''Куб (правильногранний ромбоедр)'''
|6 квадратів
|[[Файл:Hexahedron.png|80x80пкс]]
|{{Не перекладено|Октаедральна група симетрії|''O'' <sub>''h''</sub>|en|Octahedral symmetry}} , [4,3], порядок 48
Повна октаедальна група симетрії
|Всі грані&nbsp;— квадрати. Має максимальну симетрію октаедричної групи.
|- align="center"
|'''Трикутний трапецоедр (рівногранний ромбоедр)'''
|6 конгруентних ромбів
|[[Файл:TrigonalTrapezohedron.svg|100x100пкс]]
|{{Не перекладено|Діедральна симетрія|D<sub>3d</sub>|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, [2+,6], порядок 12
(Діедральна симетрія 3-Антипризми)
|Всі грані&nbsp;— однакові ромби.
Тіло можна розглядати як розтягнутий вздовж діагоналі куб.

У трикутного трапецоедра існують щонайменше дві вершини, такі що всі прилеглі до них кути рівні між собою. Через ці вершини проходить вісь [[симетрія|симетрії]] третього порядку (тобто така вісь, при повороті навколо якої на кут 120° = 2π / 3 рад. тіло переходить в саме себе). Більш того, це є характерною [[Ознака (логіка)|ознакою]] трапецоедра: паралелепіпед є рівногранним ромбоедром тоді і тільки тоді, коли він має вісь симетрії третього порядку.
|- align="center"
|'''Пряма ромбічна призма (прямий ромбоедр)'''
|2 конгруентних ромба, 4 квадрати
|[[Файл:Пряма ромбічна призма.png|85x85пкс]]
|{{Не перекладено|Діедральна симетрія|''D<sub>2h</sub>''|en|Dihedral symmetry in three dimensions}}, [2,2], порядок 8
(Діедральна симетрія 2-Призми)
|Тіло можна розглядати як розтягнутий вздовж граневої діагоналі куб. Наприклад, дві правильні трикутні призми, з'єднані по боковій грані, утворюють пряму ромбічну призму з кутом 60° і є {{Не перекладено|Майже-багатогранник Джонсона|майже-багатогранником Джонсона|en|Near-miss Johnson solid}}.
|- align="center"
|'''Похила ромбічна призма (похилий ромбоедр)'''
|2 конгруентних ромба, 4 конгруентних ромба іншого типу
|[[Файл:Похила ромбічна призма.png|85x85пкс]]
|{{Не перекладено|Циклічна симетрія|C<sub>''2h''</sub>|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}, [2], порядок 4
(Циклічна симетрія)
|Має лише одну площину симетрії, що проходить через чотири вершини
|- align="center"
|'''Ромбоедр (загального вигляду)'''
|6 ромбів&nbsp;— по 2 конгруентних ромби на кожну пару протилежних граней
|[[Файл:Rhombohedron.svg|100x100пкс]]
|''{{Не перекладено|Циклічна симетрія|C<sub>''i''</sub>|en|Cyclic symmetry in three dimensions}}'', [2+,2+], порядок 2
|
|}

== Формули ==
[[Файл:2-gold Rhomboeder.gif|міні|Трикутні трапецоедри з [[Золотий ромб|«золотими» ромбами]]]]
Для рівногранного ромбоедра (трикутного трапецоедра) з довжиною ребра <big><math>a</math></big> та гострим кутом ромба <big><math>\theta</math></big> справедливі наступні формули<ref>{{Cite book
|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. |last=Lines, L
|year=1965
|publisher=Dover Publications.
|language=англ.
}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/3409450/formula-for-length-of-the-diagonal-of-a-parallelepiped|title=Formula for length of the diagonal of a parallelepiped}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/314970/dihedral-angles-between-tetrahedron-faces-from-triangles-angles-at-the-tip|title=Dihedral angles between tetrahedron faces from triangles' angles at the tip}}</ref>:

{| border="2"
! colspan="2" bgcolor="#c0c0ff" |Для Рівногранного ромбоедра з довжиною ребра а:
|-
|bgcolor="#ececec" |'''Висота''' (відстань між паралельними гранями)
|<math>h = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)} \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)} \cdot a</math><math>= {\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \over \sin\theta} \cdot a</math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус вписаної сфери''' (дотикається до всіх граней)
|<math>r = \frac{h}{2} =\frac{1 - \cos(\theta)}{2 \cdot \sin(\theta)} 
\cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)} \cdot a </math>
|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Граневі діагоналі'''
|<math>e = 2 \cdot a \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>
|-
|<math>f = 2 \cdot a \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)</math>

|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Просторові діагоналі'''
|<math>D_1 = \sqrt{3 + 6 \cdot \cos(\theta)} \cdot a</math>
|-
|<math>D_2 = \sqrt{3 - 2 \cdot \cos(\theta)} \cdot a</math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S = 6 \cdot \sin(\theta) \cdot a^2 </math>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = (1 - \cos(\theta)) \cdot \sqrt{1 + 2 \cdot \cos(\theta)} \cdot a^3</math> <math>= \sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \cdot a^3</math>

<math>= 2\sqrt{3} \cdot \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)  
\sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \cdot a^3</math>
|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Двогранні кути між гранями'''
|<math> \beta_1 = 180^\circ - \beta_2 = \frac{\Omega_1 + \Omega_2}{2} = \arccos \left(1 - \frac{1}{1 + \cos(\theta)}\right) </math>
|-
|<math> \beta_2 = 180^\circ - \beta_1 = \Omega_2 = \arccos \left(\frac{1}{1 + \cos(\theta)} - 1\right) </math>
|-
| rowspan="2" bgcolor="#ececec" |'''Тілесні кути при вершинах'''<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html|title=Spherical Excess}}</ref>
|<math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan^3\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)</math>
|-
|<math>\Omega_2 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\cot\left(\frac{3 \cdot \theta}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\theta}{4}\right)}\right)</math>
|}

== Заповнення простору ==
Тривимірний [[Евклідів простір]] можна повністю заповнити конгруентними ромбоедрами без проміжків та накладень. Такі об'ємні плитки називають [[Стільник (геометрія)|стільниками]].

Ромбоедр можна використовувати для визначення системи ромбоедричних [[Кристалічна ґратка|ґраток]], [[Стільник (геометрія)|стільника]] з ромбоедричними комірками.

=== Кристалографія ===
В [[Кристалографія|кристалографії]] ромбоедр виділений як проста форма [[Тригональна сингонія|тригональної сингонії]] середньої категорії.

[[Мінерали]], що мають форму ромбоедра,&nbsp;— [[діоптаз]], [[фенакіт]], [[аметист]], [[гематид]], багато мінералів мають складні структури з наявністю ромбоедра, наприклад, [[кальцит]].

<gallery>
Calcite 1 6.png|Ромбоедричні кристали<ref>Illustration aus Encyclopædia Britannica (1911), article CALCITE.</ref>
Dolomite-Magnésite- Navarre.jpg|[[Доломіт]]
Calcite 3.jpg|[[Кальцит]]
Calcite jaune (Chine).jpg|Кальцит Гельбера<ref>Fundort China: rhombeoedrischer gelber transparenter Kristall: Calcite jaune</ref>
</gallery>


== Джерела ==

* {{MathWorld|Rhombohedron|Rhomboeder}}
* [https://rechneronline.de/pi/truncated-rhombohedron.php Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php]
* David Mitchell, [http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm Rhombic and Semi-Rhombic Polyhedra]
* [https://web.archive.org/web/20100328221624/http://www.crystal-treasure.com/product_info.php/info/p2179_Blauer-Kalzit--Calcit--Rhomboeder.html Blauer Calcit Rhomboeder]
* [http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/rhombenkoerper.html Rhombenkörper]

== Примітки ==
<references />

{{Багатогранники}}

[[Категорія:Многогранники, які заповнюють простір]]
[[Категорія:Призматоїди]]