Перегляд вихідного коду сторінки Розширення Галуа

{{unibox}}'''Розширення Галуа''' — [[алгебричне розширення]] <math>E/K</math>, що є [[нормальне розширення|нормальним]] і [[сепарабельне розширення|сепарабельним]], тобто алгебричне розширення, для якого [[нерухоме поле]] групи автоморфізмів <math>\operatorname{Aut}(E/K)</math> збігається з <math>K</math>.

Важливість '''розширень Галуа''' полягає в тому, що для них існує [[група Галуа]], й тому виконується [[основна теорема теорії Галуа]].

== Пов'язані визначення ==

[[Група автоморфізмів]] [[Факторгрупа|факторгрупи]] <math>E/K</math> — це підгрупа групи <math>\operatorname{Aut}E</math>, яка складається з тих [[автоморфізм]]ів групи <math>E</math>, що переводять елементи підмножини <math>K</math> в себе.
Позначається <math>\operatorname{Aut}(E/K)</math>.

Для розширення Галуа, група автоморфізмів називається [[група Галуа|групою Галуа]] та позначається <math>\operatorname{Gal}(E/K)</math> чи <math>\operatorname G(E/K)</math>.

Якщо група <math>\operatorname{Gal}(E/K)</math> є [[абелева група|абелевою]], [[циклічна група|циклічною]] тощо, то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним тощо.

== Властивості ==
* За цих умов <math>E</math> матиме найбільшу кількість [[автоморфізм]]ів над <math>K</math>, якщо <math>E</math> — [[скінченне розширення]]:
:<math>|\!\operatorname{Aut}(E/K)| = [E:K]</math> кількість автоморфізмів дорівнює степеню розширення.

*<math>E</math> — [[поле розкладу]] многочлена з коефіцієнтами з <math>K</math>.

Іноді розглядають [[група Галуа|групу Галуа]] для розширення <math>E</math>, яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа <math>E/K</math> розуміють групу <math>\operatorname{Gal}(M/K)</math>, де <math>M</math> — нормальне замикання <math>K</math>, що містить <math>E</math> (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим <math>E=K(\alpha)</math> для деякого ''α'', що є коренем [[незвідний многочлен|незвідного]] [[многочлен]]а <math>f(x)</math>  над <math>K</math>. <math>M</math> є [[поле розкладу|полем розкладу]] цього [[многочлен]]а).

== Див. також ==
*[[Абелеве розширення]]
*[[Нормальне розширення]]
*[[Сепарабельне розширення]]
*[[Теорія Галуа]]

== Література ==
* {{Ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1}}
* {{Ленг.Алгебра}}

[[Категорія:Теорія Галуа]]
[[Категорія:Теорія полів]]