Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Парето

{{Розподіл ймовірностей
| name       =Розподіл Парето
| type       =pdf
| pdf_image  =[[Файл:Probability density function of Pareto distribution.svg|325px|Функції щільності розподілу Парето для різних ''k'']]<br />Функції щільності розподілу Парето типу I для різних <math>\alpha</math> при <math>x_\mathrm{m} = 1.</math> При тому як <math>\alpha \rightarrow \infty,</math> розподіл наближається до <math>\delta(x - x_\mathrm{m}),</math> де <math>\delta</math> це [[Дельта-функція Дірака]].
| cdf_image  =[[Файл:Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg|325px|Функції розподілу ймовірностей Парето типу 1 для різних ''k'']]<br />Кумулятивна функція розподілу Парето типу 1 для різних <math>\alpha</math> при <math>x_\mathrm{m} = 1.</math>
| parameters =<math>x_\mathrm{m}>0\,</math> масштаб ([[дійсні числа|дійсне]])<br /><math>\alpha > 0</math> параметр форми (дійсне)
| support    =<math>x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!</math>
| pdf        =<math>\frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}</math>
| cdf        =<math>1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha</math>
| mean       =<math>\begin{cases}
     \infty & \text{для }\alpha\le 1 \\
     \dfrac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \text{для }\alpha>1
   \end{cases}</math>
| median     =<math>x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}</math>
| mode       =<math>x_\mathrm{m}\,</math>
| variance   =<math>\begin{cases}
     \infty & \text{для }\alpha\le 2 \\
     \dfrac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} & \text{для }\alpha>2
   \end{cases}</math>
| skewness   =<math>\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ для }\alpha>3</math>
| kurtosis   =<math>\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ для }\alpha>4</math>
| entropy    =<math>\log\left(\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha}\right)\,e^{1+\tfrac{1}{\alpha}}\right) </math>
| mgf        =<math>\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ для }t<0</math>
| char       =<math>\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)</math>
| fisher     =<math>\mathcal{I}(x_\mathrm{m},\alpha) = \begin{bmatrix}
                  \dfrac{\alpha^2}{x_\mathrm{m}^2} & 0 \\
                  0 & \dfrac{1}{\alpha^2}
              \end{bmatrix}</math>
}}

'''Розподіл Парето''' в [[Теорія імовірностей|теорії імовірностей]]&nbsp;— двопараметрична сім'я [[Абсолютно неперервний розподіл|абсолютно неперервних розподілів]]. Названий на честь італійського {{нп|інженер з цивільного будівництва|інженера з цивільного будівництва|en|civil engineer}}, [[економіст]]а, і соціолога [[Вільфредо Парето]]. Це [[степеневий розподіл|степеневий]] [[розподіл ймовірностей]], який використовується для описання [[Суспільні науки|соціальних]], [[Наука|наукових]], [[Геофізика|геофізичних]], [[Актуарна математика|актуарних]], та багатьох інших типів спостережуваних явищ. Початково застосовувалася для описання {{нп|Розподіл багатства|розподілу багатства|en|distribution of wealth}} серед суспільства, що відповідає тенденції, що велика частина багатства зосереджена в руках невеликої частини населення людей. У розмовній версії розподіл Парето відомий як [[принцип Парето]], або "правило 80—20", а також іноді може називатися "[[Ефект Матвія|ефектом Матвія]]". Це правило стверджує що, наприклад, 80% багатства суспільства утримують 20% його населення. Однак, розподіл Парето дає цей результат тільки при певному значенні степеня, <math>\alpha</math> (''α''&nbsp;=&nbsp;log<sub>4</sub>5&nbsp;≈&nbsp;1.16). Хоча <math>\alpha</math> є змінною, емпіричні спостереження установили, що розподіл 80-20 відповідає широкому загалу випадків, включаючи природні явища і діяльність людини.

==Визначення==
Якщо ''X'' є [[Випадкова величина|випадковою величиною]] із розподілом Парето (Типу I),<ref name=arnold>{{cite book |author=Barry C. Arnold |year=1983 |title=Pareto Distributions |publisher=International Co-operative Publishing House |isbn= 978-0-89974-012-6|ref=harv}}</ref> тоді імовірність того, що ''X'' є більшою за деяке число ''x'', тобто {{нп|функція виживання||en|survival function}} (іноді називається функцією надійності), визначається як

:<math>\overline{F}(x) = \Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & x < x_\mathrm{m},
\end{cases}
</math>

де ''x''<sub>m</sub> де (обов'язково додатне) мінімально можливе значення ''X'', та ''α'' є додатнім параметром. Розподіл Парето типу I характеризується параметром масштабування ''x''<sub>m</sub> і параметром форми ''α''. Якщо розподіл використовують для моделювання розподілу багатства, тоді параметр ''α'' в даному контексті називають {{нп|Індекс Парето|індексом Парето|en|Pareto index}}.

==Властивості==

===Кумулятивна функція розподілу===
Із визначення, [[Функція розподілу ймовірностей|кумулятивною функцією розподілу імовірностей]] випадкової величини Парето із параметрами ''α'' і ''x''<sub>m</sub> є

:<math>F_X(x) = \begin{cases}
1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & x \ge x_\mathrm{m}, \\
0 & x < x_\mathrm{m}.
\end{cases}</math>

===Функція густини імовірностей===
Звідси випливає (шляхом [[Похідна|диференціювання]]) що [[Густина імовірності|функцією густини імовірностей]] є

:<math>f_X(x)= \begin{cases} \frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & x \ge x_\mathrm{m}, \\ 0 & x < x_\mathrm{m}. \end{cases} </math>

При відображені на графіку, функція густини нагадує вигнуту криву, яка [[Асимптота|асимптотично]] наближається до кожної із осей. Всі сегменти кривої є самоподібними (з урахуванням відповідних коефіцієнтів масштабування). При зображенні на логарифмічному графіку, розподіл представляється у вигляді прямої лінії.

===Моменти і характеристична функція===
* [[Математичне сподівання]] [[Випадкова величина|випадкової величини]], що має розподіл Парето визначається як

:: <math>\operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\
\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1.
\end{cases}</math>
* [[Дисперсія випадкової величини|Дисперсія]] [[Випадкова величина|випадкової величини]], що відповідає розподілу Парето визначається як

:: <math>\operatorname{D}(X)= \begin{cases}
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2.
\end{cases}</math>

: (Якщо ''α'' ≤ 1, дисперсія не існує.)
* Загальна формула для визначення [[Момент (математика)|моментів]] є наступною:

:: <math>\mu_n'= \begin{cases} \infty & \alpha\le n, \\ \frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n} & \alpha>n. \end{cases}</math>
* [[Твірна функція моментів]] визначена лише для не додатних значень ''t''&nbsp;≤&nbsp;0, оскільки

::<math>M\left(t;\alpha,x_\mathrm{m}\right) = \operatorname{E} \left [e^{tX} \right ] = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)</math>
::<math>M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.</math>
* [[Характеристична функція випадкової величини]] визначається як

:: <math>\varphi(t;\alpha,x_\mathrm{m})=\alpha(-ix_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m} t),</math>

: де Γ(''a'',&nbsp;''x'') є [[Неповна гамма-функція|неповною Гамма-функцією]].

===Умовний розподіл===
[[Умовний розподіл|Умовний розподіл імовірностей]] випадкової величини із розподілом Парето, задає подію що величина є більшою або рівною у порівнянні із певним числом&nbsp;<math>x_1</math>, яке перевищує <math>x_\text{m}</math>, є розподілом Парето із тим самим індексом Парето&nbsp;<math>\alpha</math>, але із мінімальним&nbsp;<math>x_1</math> замість <math>x_\text{m}</math>.

===Характеристична теорема===
Припустимо, що <math>X_1, X_2, X_3, \dotsc</math> є [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежні однаково розподілені]] [[Випадкова величина|випадкові величини]], розподіл імовірностей яких знаходиться в інтервалі supported <math>[x_\text{m},\infty)</math> для деякого значення <math>x_\text{m}>0</math>. Припустимо, що для всіх <math>n</math>, пара випадкових величин <math>\min\{X_1,\dotsc,X_n\}</math> і <math>(X_1+\dotsb+X_n)/\min\{X_1,\dotsc,X_n\}</math> є незалежними. Тоді їх [[спільний розподіл]] буде розподілом Парето.

===Середнє геометричне===
[[Середнє геометричне]] (''G'') визначається як:<ref name=Johnson1994>Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Continuous univariate distributions Vol 1. Wiley Series in Probability and Statistics.</ref>

: <math> G = x_\text{m} \exp \left( \frac{1}{\alpha} \right).</math>

===Середнє гармонійне===
[[Середнє гармонійне]] (''H'') визначається як:<ref name="Johnson1994"/>

: <math> H = x_\text{m} \left( 1 + \frac{ 1 }{ \alpha } \right).</math>

==Узагальнений розподіл Парето==
{{See also|Узагальнений розподіл Парето}}

Існує ієрархія <ref name=arnold/><ref name=jkb94>Johnson, Kotz, and Balakrishnan (1994), (20.4).</ref> розподілів Парето, що відомі як Парето Тип I, II, III, IV, і розподіл Феллера–Парето.<ref name=arnold/><ref name=jkb94/><ref name=kk03>{{cite book |author1=Christian Kleiber |author2=Samuel Kotz |lastauthoramp=yes |year=2003 |title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] |isbn=978-0-471-15064-0 |ref=harv |url=https://books.google.com/books?id=7wLGjyB128IC&printsec=frontcover |accessdate=6 березня 2019 |archive-date=20 квітня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200420093502/https://books.google.com/books?id=7wLGjyB128IC&printsec=frontcover }}</ref> Парето типу IV включає Парето типів I–III як особливі випадки. Розподіл Феллера–Парето<ref name=jkb94/><ref name=feller>{{cite book|last=Feller |first= W.| year=1971| title=An Introduction to Probability Theory and its Applications| volume=II| edition=2nd | location= New York|publisher=Wiley|page=50}} "The densities (4.3) are sometimes called after the economist ''Pareto''. It was thought (rather naïvely from a modern statistical standpoint) that income distributions should have a tail with a density ~ ''Ax''<sup>−''α''</sup> as ''x''&nbsp;→&nbsp;∞."</ref> узагальнює Парето IV типу.
<!--- In this context using x_m for the lower bound for the scale parameter is not meaningful, usual notation is \sigma --->

===Парето I–IV типів===
Ієрархія розподілів Парето узагальнена у наступній таблиці, яка порівнює {{нп|функція виживання|функції виживання|en|survival function}} (доповнена кумулятивна функція розподілу).

Коли ''μ'' = 0, розподіл Парето II типу відомий також як розподіл Ломакса.<ref>{{cite journal | last1 = Lomax | first1 = K. S. | year = 1954 | title = Business failures. Another example of the analysis of failure data | url =https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1954-12_49_268/page/847| journal = Journal of the American Statistical Association | volume = 49 | issue = 268| pages = 847–52 | doi=10.1080/01621459.1954.10501239}}</ref>

В даному розділі, символ ''x''<sub>m</sub>, що використовується для позначення мінімального значення ''x'', замінено на символ&nbsp;''σ''.

{|class="wikitable" border="1"
|+Розподіли Парето
! !! <math> \overline{F}(x)=1-F(x)</math> !! Умова !! Параметри
|-
| Тип I
|| <math>\left[\frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \sigma</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
|-
| Тип II
|| <math>\left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha</math>
|-
| Ломакса
|| <math>\left[1 + \frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge 0</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
|-
| Тип III
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} </math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math> \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0</math>
|-
| Тип IV
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha</math>
|-
|-
|}

Параметр форми позначено як ''α'', ''μ'' - положення, ''σ'' це масштаб, ''γ'' - параметр нерівності. Деякими особливими випадками розподілу Парето IV типу є:

::<math> P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma).</math>

Скінченність середнього значення, а також існування і скінченність дисперсії залежить від індексу ''α'' (індексу нерівності ''γ''). Зокрема, часткові ''δ''-моменти є скінченними для деяких ''δ'' > 0, як показано у таблиці нижче, де ''δ'' не обов'язково є цілим числом.

{|class="wikitable" border="1"
|+Моменти розподілів Парето I–IV (для випадку ''μ'' = 0)
! !! <math>\operatorname{E}[X]</math> !! Умова !! <math>\operatorname{E}[X^\delta]</math> !! Умова
|-
| Тип I
|| <math>\frac{\sigma \alpha}{\alpha-1}</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta \alpha}{\alpha-\delta}</math>
|| <math> \delta < \alpha</math>
|-
| Тип II
|| <math> \frac{ \sigma }{\alpha-1}</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math> \frac{ \sigma^\delta \Gamma(\alpha-\delta)\Gamma(1+\delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>-1 < \delta < \alpha</math>
|-
| Тип III
|| <math>\sigma\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1 + \gamma)</math>
|| <math> -1<\gamma<1</math>
|| <math>\sigma^\delta\Gamma(1-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)</math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\gamma^{-1}</math>
|-
| Тип IV
|| <math>\frac{\sigma\Gamma(\alpha-\gamma)\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math> -1<\gamma<\alpha</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta\Gamma(\alpha-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\alpha/\gamma </math>
|-
|-
|}

===Розподіл Феллера–Парето===
Феллер<ref name=jkb94/><ref name=feller/> визначає змінну Парето шляхом перетворення ''U''&nbsp;=&nbsp;''Y''<sup>−1</sup>&nbsp;−&nbsp;1 випадкової величини ''Y'' із [[Бета-розподіл]]ом, функція густини розподілу якої дорівнює

:<math> f(y) = \frac{y^{\gamma_1-1} (1-y)^{\gamma_2-1}}{B(\gamma_1, \gamma_2)}, \qquad 0<y<1; \gamma_1,\gamma_2>0,</math>

де ''B''(&nbsp;) - [[Бета-функція]]. Якщо

:<math> W = \mu + \sigma(Y^{-1}-1)^\gamma, \qquad \sigma>0, \gamma>0,</math>

тоді ''W'' має розподіл Феллера–Парето FP(''μ'', ''σ'', ''γ'', ''γ''<sub>1</sub>, ''γ''<sub>2</sub>).<ref name=arnold/>

Якщо <math>U_1 \sim \Gamma(\delta_1, 1)</math> і <math>U_2 \sim \Gamma(\delta_2, 1)</math> є незалежними [[Гамма-розподіл|Гамма-розподіленими величинами]], іншим способом побудувати випадково величину із розподілом Феллера–Парето (ФП) можна як<ref>{{cite book |last=Chotikapanich |first=Duangkamon |title=Modeling Income Distributions and Lorenz Curves |chapter=Chapter 7: Pareto and Generalized Pareto Distributions |pages=121–22 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=fUJZZLj1kbwC |accessdate=6 березня 2019 |archive-date=20 квітня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200420082221/https://books.google.com/books?id=fUJZZLj1kbwC }}</ref>

:<math>W = \mu + \sigma \left(\frac{U_1}{U_2}\right)^\gamma</math>

і ми запишемо ''W'' ~ FP(''μ'', ''σ'', ''γ'', ''δ''<sub>1</sub>, ''δ''<sub>2</sub>). Особливими випадками розподілу Феллера–Парето є

:<math>FP(\sigma, \sigma, 1, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha)</math>
:<math>FP(\mu, \sigma, 1, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha)</math>
:<math>FP(\mu, \sigma, \gamma, 1, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma)</math>
:<math>FP(\mu, \sigma, \gamma, 1, \alpha) = P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, \alpha).</math>

==Застосування==
[[Вільфредо Парето|Парето]] спочатку застосував цей розподіл для моделювання {{нп|Розподіл багатства|розподілу багатства|en|distribution of wealth}} між людьми оскільки здавалося він досить добре показує те, що більша частина багатства будь-якого суспільства як правило зосереджена у власності невеликого проценту осіб із даного суспільства. Він також використовував її для описання розподілу прибутку.<ref>Pareto, Vilfredo, ''Cours d'Économie Politique: Nouvelle édition par G.-H. Bousquet et G. Busino'', Librairie Droz, Geneva, 1964, pp. 299–345.</ref> Цю ідею як правило описують в більш простій формі як [[принцип Парето]] або "правило 80—20" яке стверджує, що 20% населення контролюють 80% всіх багатств.<ref>For a two-quantile population, where approximately 18% of the population owns 82% of the wealth, the [[Індекс Тейла|Theil index]] takes the value 1.</ref> Однак, правило 80-20 відповідає частковому значенню ''α'', і на справді, дані Парето про податки на прибуток в Британії в його роботі ''Cours d'économie politique'' вказують, що близько 30% населення мали близько 70% прибутку.<!--Fact borrow'd from article "Pareto index"--> [[Графік функції]] густини імовірності на початку цієї статті показу, що "імовірність" або частка населення, яка володіє невеликою кількістю багатства на людину, є досить великою, і зменшується зі зростанням кількості багатства. (Слід зауважити, що розподіл Парето не є реалістичним для випадку із невеликою величиною багатства. Насправді, [[чисті активи]] можуть бути навіть від'ємними.) Цей розподіл не обмежується використанням для описання багатства або прибутку населення, а і використовується для багатьох ситуацій, в яких знаходиться рівновага у розподіленні від "малого" до "великого". Наступні прикладі іноді розглядають як такі, що приблизно мають розподіл Парето:
* Розмір населених пунктів (небагато міст, багато селищ/сіл)<ref name="Reed">{{cite journal |citeseerx=10.1.1.70.4555 |first=William J. |last=Reed |title=The Double Pareto-Lognormal Distribution – A New Parametric Model for Size Distributions |journal=Communications in Statistics – Theory and Methods |volume=33 |issue=8 |pages=1733–53 |year=2004 |doi=10.1081/sta-120037438|display-authors=etal}}</ref>
* Розподіл розмірів файлів в Інтернет-трафіку в якому використовується протокол TCP (багато менших файлів, рідше великі)<ref name ="Reed" />
* Частота помилок запису на [[Твердий диск|жорсткому диску]]<ref>{{cite journal |title=Understanding latent sector error and how to protect against them |url=http://www.usenix.org/event/fast10/tech/full_papers/schroeder.pdf |first1=Bianca |last1=Schroeder |first2=Sotirios |last2=Damouras |first3=Phillipa |last3=Gill |journal=8th Usenix Conference on File and Storage Technologies (FAST 2010) |date=2010-02-24 |accessdate=2010-09-10 |quote=We experimented with 5 different distributions (Geometric,Weibull, Rayleigh, Pareto, and Lognormal), that are commonly used in the context of system reliability, and evaluated their fit through the total squared differences between the actual and hypothesized frequencies (χ<sup>2</sup> statistic). We found consistently across all models that the geometric distribution is a poor fit, while the Pareto distribution provides the best fit. |archive-date=11 січня 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110111022707/http://www.usenix.org/event/fast10/tech/full_papers/schroeder.pdf }}</ref>
* Кластери [[Конденсація Бозе — Ейнштейна|конденсації Бозе — Ейнштейна]] близько [[Абсолютний нуль|абсолютного нуля]]<ref name="Simon">{{cite journal|first2=Herbert A.|last2=Simon|author=Yuji Ijiri |title=Some Distributions Associated with Bose–Einstein Statistics|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. USA|date=May 1975|volume=72|issue=5|pages=1654–57|pmc=432601|pmid=16578724|doi=10.1073/pnas.72.5.1654|bibcode=1975PNAS...72.1654I}}</ref>
[[File:FitParetoDistr.tif|thumb|250px|Підібраний за допомогою {{iw|CumFreq}} кумулятивний розподіл Парето (Ломакс) до максимальних добових опадів.]]
* Величина [[Ресурси і запаси нафти|запасів нафти]] в нафтових родовищах (не багато {{iw|Giant oil and gas fields|великих родовищ|en|Giant oil and gas fields}}, і багато [[Малодебітна нафтова свердловина|малих родовищ]])<ref name ="Reed" />
* Обсяг задач, які виносилися для вирішення на суперкомп'ютерах (декілька великих, багато малих)<ref>{{Cite journal|last=Harchol-Balter|first=Mor|author1-link=Mor Harchol-Balter|last2=Downey|first2=Allen|date=August 1997|title=Exploiting Process Lifetime Distributions for Dynamic Load Balancing|url=https://users.soe.ucsc.edu/~scott/courses/Fall11/221/Papers/Sync/harcholbalter-tocs97.pdf|journal=ACM Transactions on Computer Systems|volume=15|issue=3|pages=253–258|doi=10.1145/263326.263344|accessdate=6 березня 2019|archive-date=20 квітня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200420105917/https://users.soe.ucsc.edu/~scott/courses/Fall11/221/Papers/Sync/harcholbalter-tocs97.pdf}}</ref>
* Нормалізована дохідність цін на окремі акції.<ref name="Reed" />
* Розміри частинок піску <ref name ="Reed" />
* Розмір метеоритів
* Величина значних втрат унаслідок [[Військові втрати|катастроф]] для певного роду бізнесу, генеральні зобов'язання, комерційні авто, і компенсація робітникам.<ref>Kleiber and Kotz (2003): p. 94.</ref><ref>{{cite journal |last1=Seal |first1=H. |year=1980 |title=Survival probabilities based on Pareto claim distributions |journal=ASTIN Bulletin |volume=11 |pages=61–71|doi=10.1017/S0515036100006620 }}</ref>
* В [[Гідрологія|Гідрології]] розподіл Парето застосовується для моделювання надзвичайних подій таких як щорічні максимальні опади на добу і паводок рік.<ref>CumFreq, software for cumulative frequency analysis and probability distribution fitting [https://www.waterlog.info/cumfreq.htm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180221100105/https://www.waterlog.info/cumfreq.htm|date=21 лютого 2018}}</ref> Зображення із синім фоном показує приклад підбору розподілу Парето для впорядкованого показнику щорічного максимуму опадів на добу показує також 90% [[довірчий інтервал]] оснований на [[Біноміальний розподіл|біноміальному розподілі]]. Дані випадіння опадів показані за допомогою [[Графік Q-Q|точкових позицій]], що зрештою показує процес [[Сукупний частотний аналіз|кумулятивний частотний аналіз]].

==Зв'язок із іншими розподілами==

===Зв'язок із експоненційним розподілом===
Розподіл Парето пов'язаний із [[Експоненційний розподіл|експоненційним розподілом]] наступним чином. Якщо випадкова величина ''X'' має розподіл Парето із мінімумом ''x''<sub>m</sub> і індексом&nbsp;''α'', тоді

: <math> Y = \log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right) </math>

є експоненційно розподіленою величиною із параметром&nbsp;''α''. Аналогічно, якщо ''Y'' експоненційно розподілена випадкова величина із параметром&nbsp;''α'', тоді

: <math> x_\mathrm{m} e^Y</math>

має розподіл Парето із мінімумом ''x''<sub>m</sub> та індексом&nbsp;''α''.

Це можна використовувати у стандартній процедурі заміни змінної:

: <math>
\begin{align}
\Pr(Y<y) & = \Pr\left(\log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right)<y\right) \\
& = \Pr(X<x_\mathrm{m} e^y) = 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x_\mathrm{m}e^y}\right)^\alpha=1-e^{-\alpha y}.
\end{align}
</math>

Крайній вираз задає кумулятивну функцію розподілу для експоненційного розподілу із параметром&nbsp;''α''.

===Зв'язок із узагальненим розподілом Парето===
Розподіл Парето є особливим випадком [[Узагальнений розподіл Парето|узагальненого розподілу Парето]], який є сімейством розподілів подібної форми, але містить додатковий параметр, що дозволяє обмежити розподіл знизу (в довільній точці), або бути обмеженим зверху і знизу (де обидві межі є змінними), і містить розподіл Ломакса як особливий випадок. До цього сімейства відносяться також обидва зміщений і не зміщений [[Експоненційний розподіл|експоненційні розподіли]].

Розподіл Парето із масштабом <math>x_m</math> і формою <math>\alpha</math> еквівалентний узагальненому розподілу Парето із зсувом <math>\mu=x_m</math>, масштабом <math>\sigma=x_m/\alpha</math> і формою <math>\xi=1/\alpha</math>. І навпаки, можна отримати розподіл Парето із узагальненого розподілу Парето прийнявши, що <math>x_m = \sigma/\xi</math> і <math>\alpha=1/\xi</math>.

===Зв'язок із законом Ципфа===
Розподіл Парето є неперервним розподілом ймовірностей.[[Закон Ципфа]], який іноді називають [[дзета-розподіл]]ом, це дискретний розподіл, який розділяє величини на просте ранжування. Обидва є простим степеневим законом із від'ємним показником, масштабовані так, що їхня кумулятивна функція розподілу дорівнює 1. Розподіл Ципфа можна отримати із розподілу Парето якщо значення <math>x</math> (прибутки) ранговані на <math>N</math> класів, так що кількість людей в кожному класі визначається відповідно до відношення 1/ранг. Розподіл нормалізують шляхом визначення такого <math>x_m</math>, що <math>\alpha x_\mathrm{m}^\alpha = \frac{1}{H(N,\alpha-1)}</math> де <math>H(N,\alpha-1)</math> є [[Гармонічне число|узагальненим гармонічним числом]]. Це дозволяє отримати функцію густини імовірностей для розподілу Ципфа із розподілу Парето.

<math>f(x) = \frac{\alpha x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} = \frac{1}{x^s H(N,s)}</math>

де <math>s = \alpha-1</math> і <math>x</math> є цілим числом, що задає ранг від 1 до N де N є найвищим доходом. Таким чином довільно обрана особа (або слово, посилання на вебсайт, або місто) із популяції (або мови, інтернету, чи країни) має <math>f(x)</math> ймовірність ранжування <math>x</math>.

===Зв'язок із "Принципом Парето"===
"[[Принцип Парето|Правило 80—20]]", відповідно до якого 20% всіх людей отримують 80% всього прибутку, і 20% з найбільш забезпечених 20% отримують 80% із тих 80%, і так далі, точно дотримується якщо індекс Парето становить&nbsp;''α''&nbsp;=&nbsp;log<sub>4</sub>(5)&nbsp;=&nbsp;log(5)/log(4), приблизно 1.161. Цей результат можна отримати із формули для [[Розподіл Лоренца|розподілу Лоренца]] наведеної нижче. Крім того, було показано що наступні твердження<ref>{{cite journal |last1=Hardy |first1=Michael |year=2010 |title=Pareto's Law |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-2010_32_3/page/38 |journal=[[Mathematical Intelligencer]] |volume=32 |issue=3 |pages=38–43 |doi=10.1007/s00283-010-9159-2}}</ref> є математично еквівалентними:
* Прибуток розподіляється відповідно до розподілу Парето з індексом ''α''&nbsp;>&nbsp;1.
* Існує деяке число 0&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;≤&nbsp;1/2 таке що 100''p'' % з усіх людей отримують 100(1&nbsp;−&nbsp;''p'')% всього прибутку, і аналогічно для кожного дійсного числа (не обов'язково цілого) ''n''&nbsp;>&nbsp;0, 100''p<sup>n</sup>'' % з усіх людей отримують 100(1&nbsp;−&nbsp;''p'')<sup>''n''</sup> процентів всього доходу. ''α'' і ''p'' пов'язані між собою наступним чином
:<math>1-\frac{1}{\alpha}=\frac{\ln(1-p^n)}{\ln(1-(1-p)^n)}</math>

Це відноситься не тільки до прибутку, а і до багатства, або будь-чого що може моделювати цей розподіл.

Це включає також розподіли Парето що мають&nbsp;0&nbsp;<&nbsp;''α''&nbsp;≤&nbsp;1, які, як було вказано вище, мають нескінченне математичне сподівання і таким чином не можуть достовірно моделювати розподіл прибутку.

==Розподіл Лоренца і коефіцієнт Джині==
[[File:ParetoLorenzSVG.svg|thumb|325px|Криві Лоренца для декількох розподілів Парето. Випадок із ''α''&nbsp;=&nbsp;∞ відповідає ідеально рівномірному розподілу (''G''&nbsp;=&nbsp;0) а пряма ''α''&nbsp;=&nbsp;1 відповідає повністю нерівному розподілу (''G''&nbsp;=&nbsp;1)]]

[[Розподіл Лоренца]] часто використовують для  характеристики розподілу доходів і багатства. Для будь-якого розподілу, розподіл Лоренца ''L''(''F'') можна записати через функцію щільності ''f'' або функцію розподілу ''F'' як

:<math>L(F)=\frac{\int_{x_\mathrm{m}}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int_{x_\mathrm{m}}^\infty xf(x)\,dx} =\frac{\int_0^F x(F')\,dF'}{\int_0^1 x(F')\,dF'}</math>

де ''x''(''F'') є оберненою для функції розподілу CDF. Для розподілу Парето,

:<math>x(F)=\frac{x_\mathrm{m}}{(1-F)^{\frac{1}{\alpha}}}</math>

а крива Лоренца розраховується як

:<math>L(F) = 1-(1-F)^{1-\frac{1}{\alpha}},</math>

Для <math>0<\alpha\le 1</math> знаменник буде нескінченним, що приводить до ''L''=0. Приклади кривої Лоренца для декількох розподілів Парето показані на малюнку праворуч.

Відповідно до [[Оксфам]] (2016) найбагатші 62 людини мають стільки ж статку як найбідніша половина світової популяції.<ref>{{cite web|title=62 people own the same as half the world, reveals Oxfam Davos report|url=https://www.oxfam.org/en/pressroom/pressreleases/2016-01-18/62-people-own-same-half-world-reveals-oxfam-davos-report|publisher=Oxfam|date=Jan 2016|accessdate=7 березня 2019|archive-date=20 жовтня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20191020194828/https://www.oxfam.org/en/pressroom/pressreleases/2016-01-18/62-people-own-same-half-world-reveals-oxfam-davos-report}}</ref> Ми можемо розрахувати індекс Парето, який відповідатиме цій ситуації. Прийнявши, що ε дорівнює <math>62/(7\times 10^9)</math> маємо:
:<math>L(1/2)=1-L(1-\epsilon)</math>
або
:<math>1-(1/2)^{1-\frac{1}{\alpha}}=\epsilon^{1-\frac{1}{\alpha}}</math>
В результаті ''α'' дорівнює близько 1.15, і близько 9% з усіх статків належать кожній з цих груп. Але насправді найбідніші 69% із дорослих людей всього світу володіють лише близько 3% статків.<ref>{{cite web|title=Global Wealth Report 2013|url=https://publications.credit-suisse.com/tasks/render/file/?fileID=BCDB1364-A105-0560-1332EC9100FF5C83|publisher=Credit Suisse|page=22|date=Oct 2013|accessdate=7 березня 2019|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150214155424/https://publications.credit-suisse.com/tasks/render/file/?fileID=BCDB1364-A105-0560-1332EC9100FF5C83|archivedate=14 лютого 2015|deadurl=yes}}</ref>

[[Коефіцієнт Джині]] є мірою відхилення кривої Лоренца від рівнорозподіленої прямої, що є прямою яка сполучає точки [0,&nbsp;0] і [1,&nbsp;1], яка на графіку праворуч показана чорним кольором (''α''&nbsp;=&nbsp;∞). Конкретно, коефіцієнт Джині є подвоєною площею між кривою Лоренца і рівнорозподіленою прямою.  Коефіцієнт Джині для розподілу Парето розраховується (для <math>\alpha\ge 1</math>) як

:<math>G = 1-2 \left (\int_0^1L(F)dF \right ) = \frac{1}{2\alpha-1}</math>

==Оцінка параметрів==
[[Функція правдоподібності]] для параметрів ''α'' і ''x''<sub>m</sub> розподілу Парето, для незалежної [[Вибірка|вибірки]] ''x'' =&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x<sub>n</sub>''), задається як

: <math>L(\alpha, x_\mathrm{m}) = \prod_{i=1}^n \alpha \frac {x_\mathrm{m}^\alpha} {x_i^{\alpha+1}} = \alpha^n x_\mathrm{m}^{n\alpha} \prod_{i=1}^n \frac {1}{x_i^{\alpha+1}}.</math>

Таким чином, логарифмічна функція правдоподібності дорівнює

: <math>\ell(\alpha, x_\mathrm{m}) = n \ln \alpha + n\alpha \ln x_\mathrm{m} - (\alpha + 1) \sum_{i=1} ^n \ln x_i.</math>

Можна побачити, що <math>\ell(\alpha, x_\mathrm{m})</math> монотонно зростає із зростанням ''x''<sub>m</sub>, таким чином, чим більшим є значення ''x''<sub>m</sub>, тим більшим буде значення функції правдоподібності. Таким чином, оскільки ''x'' ≥ ''x''<sub>m</sub>, ми можемо зробити висновок, що

: <math>\widehat x_\mathrm{m} = \min_i {x_i}.</math>

Для того, щоб знайти [[Статистична оцінка|статистичну оцінку]] для ''α'', ми розраховуємо відповідну часткову похідну і знаходимо де вона дорівнює нулю:

: <math>\frac{\partial \ell}{\partial \alpha} = \frac{n}{\alpha} + n \ln x_\mathrm{m} - \sum _{i=1}^n \ln x_i = 0.</math>

Таким чином, оцінкою [[Метод максимальної правдоподібності|максимальної правдоподібності]] для ''α'' буде:

: <math>\widehat \alpha = \frac{n}{\sum _i  \ln (x_i/\widehat x_\mathrm{m}) }.</math>

Очікувана статистична оцінка дорівнює:<ref>{{cite journal |author=M. E. J. Newman |year=2005 |title=Power laws, Pareto distributions and Zipf's law |journal={{li|Contemporary Physics||Q2013930}} |volume=46 |issue=5 |pages=323–51| arxiv=cond-mat/0412004 |doi=10.1080/00107510500052444 |bibcode=2005ConPh..46..323N}}</ref>

: <math>\sigma = \frac {\widehat \alpha} {\sqrt n}. </math>

Малік (1970)<ref>{{cite journal |author=H. J. Malik |year=1970 |title=Estimation of the Parameters of the Pareto Distribution |journal=Metrika |volume=15|pages=126–132 |doi=10.1007/BF02613565 }}</ref> приводить результат із точним спільним розподілом величин <math>(\hat{x}_\mathrm{m},\hat\alpha)</math>. Зокрема, <math>\hat{x}_\mathrm{m}</math> і <math>\hat\alpha</math> є [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежними]] а <math>\hat{x}_\mathrm{m}</math> має розподіл Парето із параметром масштабу ''x''<sub>m</sub> і параметром форми ''nα'', тоді як <math>\hat\alpha</math> має [[Обернений гамма розподіл|Обернений гамма-розподіл]] із параметрами форми і масштабу ''n''&nbsp;−&nbsp;1 та ''nα'', відповідно.

==Графічне представлення==
Характерна крива розподілу із '[[Довгий хвіст|довгим хвостом]]' при зображенні на лінійній шкалі, приховує в собі внутрішню простоту функції при зображенні її у логарифмічній системі координат, де вона приймає форму прямої лінії із від'ємним градієнтом: Із формули для функції густини імовірностей випливає, що для ''x'' ≥ ''x''<sub>m</sub>,

:<math>\log f_X(x)= \log \left(\alpha\frac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\right) = \log (\alpha x_\mathrm{m}^\alpha) - (\alpha+1) \log x.</math>

Оскільки ''α'' є додатнім, градієнт −(''α''&nbsp;+&nbsp;1) є від'ємним.

==Генерування випадкової вибірки==
Генерування випадкової вибірки можна виконати за допомогою {{нп|Метод оберненого перетворення|зворотного перетворення|en|inverse transform sampling}}. Дано випадкову величину ''U'', яка отримана із [[Неперервний рівномірний розподіл|неперервного рівномірного розподілу]] у [[Одиничний інтервал|одиничному інтервалі]] (0,&nbsp;1], змінна ''T'' задана виразом

:<math>T=\frac{x_\mathrm{m}}{U^{1/\alpha}}</math>

маж розподіл Парето.<ref>{{cite book |last=Tanizaki |first=Hisashi |title=Computational Methods in Statistics and Econometrics |year=2004 |page=133 |publisher=CRC Press |url=https://books.google.com/books?id=pOGAUcn13fMC&printsec=frontcover |isbn=9780824750886 |accessdate=6 березня 2019 |archive-date=20 квітня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200420110408/https://books.google.com/books?id=pOGAUcn13fMC&printsec=frontcover }}</ref> Якщо ''U'' неперервно рівномірно розподілена у інтервалі [0,&nbsp;1), її можливо замінити на (1&nbsp;−&nbsp;''U'').

==Варіанти==

===Обмежений розподіл Парето===

{{Розподіл ймовірностей
 | name       =Обмежений розподіл Парето
 | type       =density
 | pdf_image  =
 | cdf_image  =
 | parameters =
<math>L > 0</math> [[Коефіцієнт зсуву|зсув]] ([[Дійсне число|дійсне число]])<br />
<math>H > L</math> [[Коефіцієнт зсуву|зсув]] ([[Дійсне число|дійсне число]])<br />
<math>\alpha > 0</math> [[Параметр форми|форма]] (дійсне число)
 | support    =<math>L \leqslant x \leqslant H</math>
 | pdf        =<math>\frac{\alpha L^\alpha x^{-\alpha - 1}}{1-\left(\frac{L}{H}\right)^\alpha}</math>
 | cdf        =<math>\frac{1-L^\alpha x^{-\alpha}}{1-\left(\frac{L}{H}\right)^\alpha}</math>
 | mean       =<math>\frac{L^\alpha}{1 - \left(\frac{L}{H}\right)^\alpha} \cdot \left(\frac{\alpha}{\alpha-1}\right) \cdot \left(\frac{1}{L^{\alpha-1}} - \frac{1}{H^{\alpha-1}}\right), \alpha\neq 1 </math>
 | median     =<math> L \left(1- \frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{L}{H}\right)^\alpha\right)\right)^{-\frac{1}{\alpha}}</math>
 | mode       =
 | variance   =<math>\frac{L^\alpha}{1 - \left(\frac{L}{H}\right)^\alpha} \cdot \left(\frac{\alpha}{\alpha-2}\right) \cdot \left(\frac{1}{L^{\alpha-2}} - \frac{1}{H^{\alpha-2}}\right), \alpha\neq 2</math> (це момент другого порядку, не дисперсія)
 | skewness   = <math>\frac{L^{\alpha}}{1-\left(\frac{L}{H}\right)^{\alpha}} \cdot \frac{\alpha * (L^{k-\alpha}-H^{k-\alpha})}{(\alpha-k)}, \alpha \neq j </math>
(це момент k-го порядку, не скошеність)
 | kurtosis   =
 | entropy    =
 | mgf        =
 | char       =
}}

Обмежений (або обрізаний) розподіл Парето має три параметри: ''α'', ''L'' і ''H''. Як і в стандартному розподілі Парето параметр ''α'' визначає форму. ''L'' означає мінімальне значення, а ''H'' позначає максимальне значення.

[[Густина імовірності|Функція густини імовірностей]] є наступною:

: <math>\frac{\alpha L^\alpha x^{-\alpha - 1}}{1-\left(\frac{L}{H}\right)^\alpha}</math>,

де ''L''&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;''H'', і ''α''&nbsp;>&nbsp;0.

====Генерування випадкових величин обмеженого розподілу Парето====
Якщо ''U'' is [[Неперервний рівномірний розподіл|рівномірно розподілена]] в інтервалі (0,&nbsp;1), тоді застосувавши метод зворотнього перетворення, отримаємо <ref>{{Cite web |url=http://www.cs.bgu.ac.il/~mps042/invtransnote.htm |title=Архівована копія |accessdate=6 березня 2019 |archive-date=17 січня 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120117042753/http://www.cs.bgu.ac.il/~mps042/invtransnote.htm }}</ref>

:<math>U = \frac{1 - L^\alpha x^{-\alpha}}{1 - (\frac{L}{H})^\alpha}</math>
:<math>x = \left(-\frac{U H^\alpha - U L^\alpha - H^\alpha}{H^\alpha L^\alpha}\right)^{-\frac{1}{\alpha}}</math>

є відповідає обмеженому розподілу Парето.
{{Clear}}

===Симетричний розподіл Парето===
Симетричний розподіл Парето можна визначити за допомогою наступної функції густини імовірностей:<ref>{{cite web|title=Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation|author1=Grabchak, M.|author2=Samorodnitsky, D.|lastauthoramp=yes|pages=7–8|url=http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf|accessdate=7 березня 2019|archive-date=11 липня 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120711105941/http://people.orie.cornell.edu/~gennady/techreports/RetTailParadoxExplFinal.pdf}}</ref>

:<math>f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
\tfrac{1}{2}\alpha x_\mathrm{m}^\alpha |x|^{-\alpha-1} & |x|>x_\mathrm{m} \\
0 & \text{в інших випадках}.
\end{cases}</math>

Він має форму подібну до розподілу Парето при ''x'' > ''x''<sub>m</sub> є {{нп|Симетричне відображення|симетричним відображенням|en|reflection symmetry}} відносно вертикальної осі.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Принцип Парето]]
* [[Розподіл Парето для втрат в страхуванні]]
* [[Ровномірний розподіл втрат в страхуванні]]

== Джерела == 
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гнеденко.Курс теории вероятностей}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* {{springer|title=Pareto distribution|id=p/p071580}}
* {{MathWorld |title=Pareto distribution |id=ParetoDistribution}}
* {{citation
| url=http://www3.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Aaberge.pdf
| title=Gini's Nuclear Family
| first=Rolf
| last=Aabergé
| conference=International Conference to Honor Two Eminent Social Scientists
| date=May 2005
| accessdate=5 березня 2019
| archive-date=20 квітня 2020
| archive-url=https://web.archive.org/web/20200420080507/http://www3.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Aaberge.pdf
}}
* {{cite conference
| url=https://www.cs.bu.edu/~crovella/paper-archive/self-sim/journal-version.pdf
| title=Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Causes
| first1=Mark E.
| last1=Crovella
| first2=Azer
| last2=Bestavros
| conference=IEEE/ACM Transactions on Networking
| volume=5
| number=6
| pages=835-846
| date=December 1997
| accessdate=5 березня 2019
| archive-date=4 березня 2016
| archive-url=https://web.archive.org/web/20160304190612/http://www.cs.bu.edu/~crovella/paper-archive/self-sim/journal-version.pdf
}}
* [http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/syntraf1.c syntraf1.c] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190210155653/http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/syntraf1.c |date=10 лютого 2019 }} - програма на мові програмування [[C_(мова_програмування)|C]] для генерування штучного трафіку пакетів, із обмеженим розміром пакетів і часом між пакетами відповідно до розподілу Парето.

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Актуарна математика|Парето]]
[[Категорія:Неперервні розподіли|Парето]]
[[Категорія:Степеневі закони]]
[[Категорія:Розподіли ймовірності не зі скінченною дисперсією|Парето]]
[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства|Парето]]
[[Категорія:Ймовірнісні розподіли|Парето]]