Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Ерланга

{{Розподіл ймовірностей
| name       = Розподіл Ерланга
| type       = pdf
| pdf_image  = [[File:Erlang dist pdf2.svg|325px|Щільність розподілу Ерланга]] 
| pdf_image_size = 
| pdf_image_alt = 
| pdf_caption = 
| cdf_image  = [[File:Erlang dist cdf2.svg|325px|Функція розподілу Ерланга]]
| cdf_image_size = 
| cdf_image_alt = 
| cdf_caption = 
 | notation   = <math>\operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math>
| parameters = <math> k \in \{1,2,3,\ldots\}</math> — [[параметр форми|параметр форми]] <br /><math> \lambda \in (0,\infty)</math> — коефіцієнт норми або обернений [[коефіцієнт масштабу]]
| support    = <math> x \in [0, \infty)</math>
| pdf        = <math> \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{(k-1)!}</math>
| cdf        = <math> \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k - 1)!} = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n},</math> де <math>\gamma</math> — [[неповна гамма-функція]]
| mean       = <math> \frac{k}{\lambda}</math>
| median     = немає аналітичної форми
| mode       = <math> \frac{1}{\lambda}(k - 1)</math>
| variance   = <math> \frac{k}{\lambda^2}</math>
| skewness   = <math> \frac{2}{\sqrt{k}}</math>
| kurtosis   = <math> \frac{6}{k}</math>
| entropy    = <math> (1 - k)\psi(k) + \ln\left[\frac{\Gamma(k)}{\lambda}\right] + k</math>
| mgf        = <math> \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-k}</math> for <math> t < \lambda</math>
| char       = <math> \left(1 - \frac{it}{\lambda}\right)^{-k}</math>
}}

'''Розподіл Ерланга'''&nbsp;— двопараметричне сімейство абсолютно неперервних [[розподіл імовірностей|розподілів]], [[носій функції|визначених]] для <math> x \in [0, \infty)</math>. Параметрами розподілу є:
* <math>k \in \N</math>&nbsp;— [[параметр форми]],
* <math>\lambda \in (0, \infty)</math>&nbsp;— коефіцієнт норми. Іноді використовується обернений параметр <math>\beta = \frac{1}{\lambda}</math>&nbsp;— [[коефіцієнт масштабу]].

Розподіл Ерланга&nbsp;— це розподіл суми <math>k</math> [[Незалежність (теорія ймовірностей)|незалежних]] однаково [[експоненційний розподіл|експоненційно розподілених]] [[випадкова величина|випадкових величин]] з параметром <math>1/\lambda</math>. Еквівалентним твердженням є те, що це розподіл часу до <math>k</math>-тої події [[Пуассонівський процес|пуассонівського процесу]] з параметром <math>\lambda</math>. Розподіли Ерланга та [[Розподіл Пуассона|Пуассона]] є взаємнодоповнюючими: розподіл Пуассона підраховує кількість подій, що відбудуться за фіксований проміжок часу, а розподіл Ерланга підраховує кількість часу до появи фіксованої кількості подій. При <math>k=1</math>, розподіл Ерланга збігається з [[експоненційний розподіл|експоненційним розподілом]]. Розподіл Ерланга&nbsp;— окремий випадок [[гамма-розподіл]]у з [[Натуральне число|натуральними]] значеннями параметру форми <math>k</math>.

[[Випадкова величина]] <math>\xi</math>, що має розподіл Ерланга позначається наступним чином: <math>\xi \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math>.

Названий на честь данського математика та інженера {{нп|Агнер Краруп Ерланг|А. К. Ерланга||Agner Krarup Erlang}}, який використовував розподіл для вивчення кількості телефонних дзвінків, які можуть бути здійснені одночасно до операторів телефонної станції. Ця робота з {{нп|Теорія телетрафіку|теорії телетрафіку||Teletraffic engineering}} була розширена для оцінки часу очікування в [[Теорія масового обслуговування|теорії черг]] загалом. Також розподіл використовується в площині [[Випадковий процес|випадкових процесів]].

== Опис ==

=== Щільність розподілу ===
[[Випадкова величина]] <math>\xi</math> має розподіл Ерланга з параметром норми <math>\lambda \ge 0</math> порядку <math>k \in \N</math>, якщо її [[Густина ймовірності|щільність]] має вигляд:

: <math>f_{\xi}(x)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\mathbf{1}_{[0, +\infty)}(x).</math>

Альтернативна (але еквівалентна) параметризація використовує [[коефіцієнт масштабу]] <math>\beta</math>, який є оберненим до параметру норми (тобто <math>\beta = 1/\lambda</math>), в такому випадку щільність розподілу має вигляд:

: <math>f_{\xi}(x)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\beta}} }{\beta^k (k-1)!}\mathbf{1}_{[0, +\infty)}(x).</math>

При <math>\beta = 2</math>, розподіл Ерланга збігається з [[Розподіл хі-квадрат|хі-квадрат розподілом]] з <math>2k</math> ступенями свободи. Тому його можна розглядати як {{нп|Узагальнений розподіл хі-квадрат|узагальнений розподіл хі-квадрат||Generalized chi-squared distribution}} для парної кількості ступенів свободи.

=== Функція розподілу ймовірностей ===
Розподіл Ерланга має таку [[Функція розподілу ймовірностей|функцію розподілу ймовірностей]]:

: <math>F(x) = P(k, \lambda x) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{\Gamma(k)} = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!},</math>

де <math>\gamma</math>&nbsp;— нижня [[неповна гамма-функція]], а <math>P</math>&nbsp;— [[Неповна гамма-функція#Регуляризовані гамма-функції та випадкові величини Пуассона|нижня регуляризована гамма-функція]].

Функція розподілу також може бути записана в такій формі:
: <math>F(x) = 1 - \sum_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}e^{-\lambda x}(\lambda x)^n.</math>

=== Медіана ===
Відомий асимптотичний розклад для медіани розподілу Ерланга<ref>{{cite journal |last= Choi |first= K. P. |date= |title= On the medians of gamma distributions and an equation of Ramanujan |trans-title= Про медіани гамма-розподілів та рівняння Рамануджана |url= |language= [[англійська мова|англ.]] |journal= Proceedings of the American Mathematical Society |volume= 121 |issue= 1 |pages= 245–251 |month=травень |year= 1994 |doi= 10.1090/S0002-9939-1994-1195477-8 |jstor = 2160389 |access-date= }}</ref> з визначеними межами та обчислюваними параметрами.<ref>{{cite journal |last1= Adell |first1= J. A. |last2= Jodrá |first2= P. |date= |title= On a Ramanujan equation connected with the median of the gamma distribution |trans-title= Про рівняння Рамануджана, пов’язане з медіаною гамма-розподілу |url= |language= [[англійська мова|англ.]] |journal= Transactions of the American Mathematical Society |volume= 360 |issue= 7 |pages= 3631–3644 |month=липень |year= 2008 |doi= 10.1090/S0002-9947-07-04411-X |jstor = |access-date= |doi-access= free }}</ref><ref>{{cite journal |last1= Jodrá |first1= P. |date= |title= Computing the Asymptotic Expansion of the Median of the Erlang Distribution |trans-title= Обчислення асимптотичного розкладу медіани розподілу Ерланга |url= |language= [[англійська мова|англ.]] |journal= Mathematical Modelling and Analysis |volume= 17 |issue= 2 |pages= 281–292 |month=квітень |year= 2012 |doi= 10.3846/13926292.2012.664571 |jstor = |access-date= |doi-access= free }}</ref> Наближене значення такого розкладу буде дорівнювати <math>\frac{k}{\lambda}\left(1-\dfrac{1}{3k+0.2}\right),</math> тобто менше за математичне сподівання <math>\frac{k}{\lambda}.</math><ref name=Banneheka2009>{{cite journal |last1= Banneheka |first1= BMSG |last2= Ekanayake |first2= GEMUPD |date= |title= A new point estimator for the median of gamma distribution |trans-title= Нова точкова оцінка для медіани гамма-розподілу |url= http://www.dr.lib.sjp.ac.lk/bitstream/handle/123456789/1070/A%20new%20point%20estimator.pdf?sequence=1&isAllowed=y |language= [[англійська мова|англ.]] |journal= Viyodaya J Science |volume= 14 |issue= |pages= 95–103 |month= |year= 2009 |doi= |jstor = |access-date= |doi-access= |format=pdf |archive-url= https://web.archive.org/web/20240317181309/http://www.dr.lib.sjp.ac.lk/bitstream/handle/123456789/1070/A%20new%20point%20estimator.pdf?sequence=1&isAllowed=y |archive-date= 17 березня 2024}}</ref>

== Генерація випадкових величин з розподілом Ерланга ==
Випадкова величина з розподілом Ерланга <math>\xi \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math> може бути згенерована з <math>k</math> рівномірно розподілених випадкових величин <math>\eta_{i} \sim U[0,1], i = \overline{1, k}</math> за наступною формулою:<ref>{{cite web|url=http://www.xycoon.com/erlang_random.htm|title=Statistical Distributions - Erlang Distribution - Random Number Generator|last=Resa|website=www.xycoon.com|access-date=17 березня 2024}}</ref>

: <math>\xi = -\frac{1}\lambda \ln \prod_{i=1}^k \eta_{i} = -\frac{1}\lambda \sum_{i=1}^k \ln \eta_{i} </math>

== Застосування ==

=== Час очікування ===
Незалежні випадкові події, які відбуваються з деякою середньою швидкістю моделюються за допомогою [[Пуассонівський процес|пуассонівського процесу]]. Час очікування між <math>k</math> такими подіями має розподіл Ерланга (тоді як кількість подій, що відбулися за певний проміжок часу, [[розподіл Пуассона|розподілена за Пуассоном]]).

Розподіл Ерланга, який вимірює час між вхідними дзвінками, може бути використаний разом з очікуваною тривалістю вхідних дзвінків для отримання інформації про навантаження трафіку, що вимірюється в {{нп|ерланг (одиниця вимірювання)|ерлангах||Erlang (unit)}}. Це може бути використано для визначення ймовірності втрати або затримки пакетів, згідно з припущеннями щодо того чи заблоковані виклики перериваються (формула Erlang B) чи стовляться у чергу до обслуговування (формула Erlang C). Формули {{нп|Erlang B|Erlang B||Erlang (unit)#Erlang B formula}} та {{нп|Erlang C|C||Erlang (unit)#Erlang C formula}} досі використовуються для моделювання трафіку, наприклад при розробці дизайну [[кол-центр]]ів.

=== Інші застосування ===

Віковий розподіл [[захворюваність|захворюваності]] на [[карцинома|рак]] часто відповідає розподілу Ерланга, де параметри форми та масштабу передбачають кількість [[Канцерогенез|рушійних подій]] та часовий інтервал між ними, відповідно.<ref>{{cite journal |last1=Belikov |first1=Aleksey V. |title=The number of key carcinogenic events can be predicted from cancer incidence |trans-title= Кількість ключових канцерогенних подій може бути передбачена на основі захворюваності на рак |journal=Scientific Reports |date=22 вересня 2017 |volume=7 |issue=1 |doi=10.1038/s41598-017-12448-7|pmc=5610194 |pmid=28939880 |language= [[англійська мова|англ.]] }}</ref><ref>{{Cite journal|last=Belikov|first=Aleksey V.|last2=Vyatkin|first2=Alexey|last3=Leonov|first3=Sergey V.|date=6 серпня 2021|title=The Erlang distribution approximates the age distribution of incidence of childhood and young adulthood cancers |trans-title= Розподіл Ерланга апроксимується до вікового розподілу захворюваності на рак у дитячому та молодому віці |url=https://peerj.com/articles/11976|journal=PeerJ|volume=9|pages=e11976|pmid=34434669| doi=10.7717/peerj.11976| pmc=8351573|issn=2167-8359|doi-access=free |language= [[англійська мова|англ.]] }}</ref> У ширшому сенсі, розподіл Ерланга був запропонований як хороше наближення розподілу часу [[Клітинний цикл|клітинного циклу]], в результаті багатоступеневих моделей.<ref>{{cite journal  |last1=Yates |first1=Christian A. |title=A Multi-stage Representation of Cell Proliferation as a Markov Process |trans-title= Багатоступеневе представлення проліферації клітин як марковського процесу |journal=Bulletin of Mathematical Biology |date=21 квітня 2017 |volume=79 |issue=1 |doi=10.1007/s11538-017-0356-4 |pages=2905–2928|doi-access=free |pmc=5709504 |language= [[англійська мова|англ.]] }}</ref><ref>{{cite journal  |last1=Gavagnin |first1=Enrico |title=The invasion speed of cell migration models with realistic cell cycle time distributions |trans-title= Швидкість інвазії моделей клітинної міграції з реалістичними розподілами часу клітинного циклу |journal=Journal of Theoretical Biology |date=21 листопада 2019 |volume=481 |doi=10.1016/j.jtbi.2018.09.010|arxiv=1806.03140 |pages=91–99 |language= [[англійська мова|англ.]] }}</ref>

Він також використовувався в бізнес-економіці для опису часу між закупівлями.<ref>{{cite journal |first1=C. |last1=Chatfield |first2=G.J. |last2=Goodhardt |title=A Consumer Purchasing Model with Erlang Inter-Purchase Times |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1973-12_68_344/page/828 |trans-title= Модель купівлі споживачем з міжкупівельним часом Ерланга |journal=Journal of the American Statistical Association |date=грудень 1973 |volume=68 |pages=828–835 |language= [[англійська мова|англ.]] |jstor= 2284508 }}</ref>

== Властивості ==
* Якщо <math>\xi \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math>, то <math>a \cdot \xi \sim \operatorname{Erlang}\left(k, \frac{\lambda}{a}\right)</math> для <math>a \in \mathbb{R}</math>
* Якщо <math>\xi \sim \operatorname{Erlang}(k_1, \lambda)</math>, <math>\eta \sim \operatorname{Erlang}(k_2, \lambda)</math> і <math> \xi, \eta </math>&nbsp;— [[незалежність (теорія ймовірностей)|незалежні]], то <math>\xi + \eta \sim \operatorname{Erlang}(k_1 + k_2, \lambda)</math>

== Зв'язок із іншими розподілами ==
* Розподіл Ерланга&nbsp;— це розподіл суми <math>k</math> [[Незалежні однаково розподілені випадкові величини|незалежних однаково розподілених випадкових величин]] з [[експоненційний розподіл|експоненційним розподілом]]. Довгострокова частота виникнення подій є оберненою до математичного сподівання <math>\xi</math> величиною, тобто <math>\lambda/k.</math> Інтенсивність (вікова інтенсивність відмов) розподілу Ерланга для <math>k>1</math> монотонна в <math>x,</math> зростає від 0 при <math>x=0</math> до <math>\lambda</math> при <math>x \to \infty</math>.<ref>{{cite book |last=Cox |first=D. R. |author= |authorlink= |title=Renewal Theory |translator= |translator-first= |translator-last= |others= |url= |accessdate= |year= 1967 |publisher= Methuen |location= |isbn=9780416523805 |page=20 |nopp= |series= |volume= |ref= }}</ref>
** Тобто, якщо <math> \xi_i \sim \operatorname{Exp}(\lambda), i=\overline{1, k},</math> то <math> \sum_{i=1}^k{\xi_i} \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math>
* Через наявність [[факторіал]]а в знаменнику [[#Щільність розподілу|щільності розподілу]] та [[#Функція розподілу ймовірностей|функції розподілу]], розподіл Ерланга може бути визначеним лише при <math>k \in \N</math>. Тому цей розподіл іноді називають '''розподілом Ерланга-''k''''' ({{lang-en|Erlang-k distribution}}) або '''розподілом Ерланга ''k''-го порядку''' (наприклад, розподіл Ерланга-2 (2-го порядку)&nbsp;— це розподіл Ерланга з параметром <math>k=2</math>). [[Гамма-розподіл]] узагальнює розподіл Ерланга, дозволяючи набувати параметру <math>k</math> будь-якого додатнього значення, оскільки використовує [[гамма-функція|гамма-функцію]] замість [[факторіал]]а.
** Тобто якщо <math>k \in \N</math> і <math>\xi \sim \operatorname{Gamma}(k, \lambda),</math> то <math>\xi \sim \operatorname{Erlang}(k, \lambda)</math>
* Відношення [[експоненційний розподіл|експоненційного розподілу]] та розподілу Ерланга <math>n</math>-го порядку з однаковими коефіцієнтами норми <math>\lambda</math> зміщене на 1 має [[розподіл Парето]]:
** Тобто якщо <math> \xi \sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math> та <math>\eta \sim \operatorname{Erlang}(n, \lambda)</math>, то <math> \frac{\xi}{\eta}+1 \sim \operatorname{Pareto}(1, n)</math>
* Розподіл Ерланга пов'язаний з [[Розподіл Пуассона|розподілом Пуассона]] через [[Пуассонівський процес]]: якщо <math> S_n = \sum_{i=1}^n \xi_i,</math> де <math> \xi_i \sim \operatorname{Exp}(\lambda),</math>
то <math display="block"> S_n \sim \operatorname{Erlang}(n, \lambda)</math> і <math display="block"> \operatorname{P}(N(x) \leq n - 1) = \operatorname{Pr}(S_n > x) = 1 - F_{S_n}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!}e^{-\lambda x} (\lambda x)^k.</math> В результаті маємо функцію розподілу Пуассона <math>F_{\eta}(n-1)</math> для <math>\eta \sim \operatorname{Pois}(\lambda x)</math>.

== Див. також ==
* [[Гамма-розподіл]]
* [[Розподіл Пуассона]]
* [[Експоненційний розподіл]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{книга
|автор=[[Моклячук Михайло Павлович|Моклячук&nbsp;М.&nbsp;П.]]
|назва=Лекцiї з теорiї ймовiрностей та математичної статистики
|посилання=https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2020/05/teor-imovi-mmp.pdf
|видання=
|рік=2020
|місце=
|видавництво=
|сторінок=177
}}
* {{книга
|автор=Турчин&nbsp;В.&nbsp;М.
|назва=Теорiя ймовiрностей i математична статистика. Основнi поняття, приклади, задачi: пiдручник для студентiв вищих навчальних закладiв
|посилання=https://mst-mmf-dnu.dp.ua/download/books/TurchynVM_PTaMS_2014.pdf
|видання=
|рік=2014
|місце=[[Дніпропетровськ]]
|видавництво=IМА-прес
|сторінок=556
}}

{{Бібліоінформація}}
{{Список розподілів ймовірності}}

[[Категорія:Розподіли експоненційного сімейства|Ерланг]]
[[Категорія:Безмежно подільні розподіли ймовірності|Ерланг]]
[[Категорія:Неперервні розподіли|Ерланг]]