Перегляд вихідного коду сторінки Розподіл Гаусса — Кузьміна

{{Розподіл ймовірностей|
  name       =Розподіл Гаусса — Кузьміна|
  type       =mass|
  pdf_image  =|
  cdf_image  =|
  parameters =(нема)|
  support    =<math>k \in \{1,2,\ldots\}</math>|
  pdf        =<math>-\log_2\left[ 1-\frac{1}{(k+1)^2}\right]</math>|
  cdf        =<math>1 - \log_2\left(\frac{k+2}{k+1}\right)</math>|
  mean       =<math>+\infty</math>|
  median     =<math>2\,</math>|
  mode       =<math>1\,</math>|
  variance   =<math>+\infty</math>|
  skewness   =(не визначена)|
  kurtosis   =(не визначена)|
  entropy    =3.432527514776...<ref>{{cite journal |last1=Blachman |first1=N. |date=1984 |title=The continued fraction as an information source (Corresp.) |url= |journal=IEEE Transactions on Information Theory |volume=30 |issue=4 |pages = 671–674 |doi=10.1109/TIT.1984.1056924}} {{ref-en}}</ref><ref name="KornerupMatula">{{cite journal |last1=Kornerup |first1=Peter |first2=David W. |last2=Matula |title=LCF: A lexicographic binary representation of the rationals |journal=Journal of Universal Computer Science |date=July 1995 |volume=1 |pages=484–503 |doi=10.1007/978-3-642-80350-5_41}} {{ref-en}}</ref><ref>{{citation |last=Vepstas |first=L. |title=Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy) |date=2008 |url=http://linas.org/math/entropy.pdf |accessdate=16 грудня 2018 |archive-date=29 жовтня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201029112609/http://www.linas.org/math/entropy.pdf }} {{ref-en}}</ref>
}}
У [[Математика|математиці]], '''розподіл Гаусса–Кузьміна'''&nbsp;— це [[Розподіл ймовірностей|дискретний розподіл ймовірностей]], який виникає як границя [[Розподіл ймовірностей|розподілу ймовірностей]] коефіцієнтів розширення [[Ланцюговий дріб|неперервного дробу]] [[Неперервний рівномірний розподіл|рівномірно розподіленої]] [[Випадкова величина|випадкової величини]] на (0, 1)<ref>{{MathWorld |title=Gauss–Kuzmin Distribution |urlname=Gauss-KuzminDistribution}} {{ref-en}}</ref>. Розподіл названо на честь [[Карл Фрідріх Гаусс|Карла Фрідріха Гаусса]], який вивів його близько 1800 року<ref>{{cite book |last=Gauss |first=Johann Carl Friedrich |author-link=Карл Фрідріх Гаусс |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236018647 |pages=552–556 |title=Werke Sammlung |volume=10/1}} {{ref-en}}</ref>, і Родіона Кузьміна, який дав обмеження на [[швидкість збіжності]] 1929 року<ref>{{cite journal |last=Kuzmin |first=R. O. |title=On a problem of Gauss |journal=Dokl. Akad. Nauk SSSR |date=1928 |pages=375–380}} {{ref-en}}</ref><ref>{{cite journal |first=R. O. |last=Kuzmin |title=On a problem of Gauss|journal=Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna |date=1932 |volume=6 |pages=83–89}}{{ref-it}} </ref>. Він задається [[Функція ймовірностей|функцією ймовірности]]:

: <math> p(k) = - \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(1+k)^2}\right)~.</math>

== Теорема Гаусса – Кузьміна ==
Нехай

: <math> x = \frac{1}{k_1 + \frac{1}{k_2 + \cdots}} </math>

нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа ''х''. Тоді

: <math> \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left\{ k_n = k \right\} = - \log_2\left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)~.</math>

Аналогічно, нехай

: <math> x_n = \frac{1}{k_{n+1} + \frac{1}{k_{n+2} + \cdots}}~; </math>

тоді

: <math> \Delta_n(s) = \mathbb{P} \left\{ x_n \leq s \right\} - \log_2(1+s) </math>

прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

== Швидкість збіжності ==
{{Див. також|Швидкість збіжності}}
У 1928 році Кузьмін дав границю

: <math> |\Delta_n(s)| \leq C \exp(-\alpha \sqrt{n})~. </math>

У 1929 році [[Поль Леві]]<ref>{{cite journal |last=Lévy |first=P. |title=Sur les lois de probabilité dont dépendant les quotients complets et incomplets d'une fraction continue |journal=[[Bulletin de la Société Mathématique de France]] |date=1929 |volume=57 |pages=178–194 |url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1929__57__178_0 |jfm=55.0916.02 |accessdate=16 грудня 2018 |archive-date=18 липня 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180718204854/http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1929__57__178_0 }} {{ref-fr}}</ref> її поліпшив

: <math> |\Delta_n(s)| \leq C \, 0.7^n~. </math>

Пізніше, {{Нп|Едуард Вірсинг||en|Eduard Wirsing}} показав<ref>{{cite journal |last=Wirsing |first=E. |title=On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces |journal=Acta Arithmetica |date=1974 |volume=24 |pages=507–528}}</ref>, що для ''λ''=0.30366… ({{Нп|Оператор Гаусса — Кузьміна — Вірсинга|стала Гаусса — Кузьміна — Вірсинга|en|Gauss–Kuzmin–Wirsing operator}}), границя

: <math> \Psi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{\Delta_n(s)}{(-\lambda)^n} </math>

існує для кожного <math>x\in[0;1]</math>, а функція ''Ψ''(''х'') є аналітичною і задовольняє ''Ψ''(0)=''Ψ''(1)=0. Подальші границі були доведені К.&nbsp;І.&nbsp;Бабенком<ref>{{cite journal |last=Бабенко|first=К. И. |title=“Об одной задаче Гаусса” |journal=Докл. АН СССР |date=1978 |volume=238:5 |pages=1021–1024|url=http://mi.mathnet.ru/dan41519|accessdate=2019-06-21}} {{ref-ru}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Стала Хінчина]]
* [[Константа Леві]]

== Примітки ==
{{reflist|2}}

{{Розподіли ймовірності}}
[[Категорія:Дискретні розподіли]]
[[Категорія:Неперервні дроби]]