Перегляд вихідного коду сторінки Розклад Холецького

'''Розклад Холецького''' — представлення [[симетрична матриця|симетричної]] [[додатноозначена матриця|додатноозначеної матриці]] у вигляді <math>\ A = LL^T,</math> де <math>\ L</math> — нижня [[трикутна матриця]] з додатніми елементами на [[головна діагональ|діагоналі]].

Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для [[додатноозначена матриця|невід'ємновизначених матриць]] розклад не єдиний.

Для матриць з комплексними елементами: якщо <math>\ A</math> — додатноозначена [[ермітова матриця]], то існує розклад <math>\ A = LL^*.</math>

Розклад названий в честь французького математика {{iw|Андре-Луї Холецький|Андре-Луї Холецького|en|André-Louis Cholesky}} (1875-1918).

== Алгоритм ==
Елементи матриці <math>\ L</math> можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:
:<math>L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}^2}</math>
:<math>L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left(A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)</math>, якщо <math>\ j < i</math>.
Вираз під коренем завжди додатній, якщо <math>A</math> — дійсна додатновизначена матриця.

Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:
:<math>L_{ii} = \sqrt{ A_{ii} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik}L_{i,k}^* }</math>
:<math>L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk}^* \right)</math>, якщо <math>\ j < i</math>.

== LDL-розклад ==
Пов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад:
:<math>\ A = LDL^T</math>
де <math>\ L</math> — одинична нижня трикутна матриця; <math>\ D</math> — [[діагональна матриця]].

:<math> D_j = A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2 D_k </math>
:<math> L_{ij} = \frac{1}{D_j} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} D_k \right)</math>, якщо <math>\ j < i</math>.

== Застосування ==
Розклад Холецького може застосовуватись для розв'язку [[СЛАР|системи лінійних рівнянь]] <math>Ax = b</math> з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні [[метод найменших квадратів|методу найменших квадратів]] чи числовому розв'язуванні [[Диференціальні рівняння|диференціальних рівнянь]].

Виконавши розклад <math>A = LL^T</math>, розв'язок <math>x</math> отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: <math>Ly = b</math> та <math>L^T x = y</math>. Такий спосіб розв'язку називають [[метод квадратного кореня|методом квадратних коренів]]. Порівняно з загальнішими методами: [[метод Гауса]] чи [[LU-розклад матриці]], він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}

{{Математика-доробити}}

[[Категорія:Теорія операторів]]
[[Категорія:Розклади матриць]]
[[Категорія:Числова лінійна алгебра]]