Перегляд вихідного коду сторінки Розділення секрету

[[Файл:Secretsharing-3-point.png|міні|200x200пкс|Кожна частка секрету&nbsp;— це площина, а секрет представляє собою точку перетину трьох площин. Дві частки секрету дозволяють отримати лінію, на якій лежить секретна точка.]]
'''Розділення секрету''' ({{Lang-en|Secret sharing}})&nbsp;— термін в [[Криптографія|криптографії]], під яким розуміють будь-який з способів розподілу секрету серед групи учасників, кожному з яких дістається якась своя&nbsp; частка. Секрет може відтворити тільки коаліція учасників з первісної групи, причому входити в коаліцію має не менше деякого відомого спочатку числа.

Схеми поділу секрету застосовуються у випадках, коли існує значна ймовірність [[Компрометація (криптографія)|компрометації]] одного або декількох зберігачів секрету, але ймовірність недобросовісної змови значної частини учасників вважається мізерно малою.

Існуючі схеми мають дві складові: розподіл і відновлення секрету. До поділу відноситься формування частин секрету і розподіл їх між членами групи, що дозволяє розділити відповідальність за секрет між її учасниками. Зворотна схема повинна забезпечити його відновлення за умови доступності його зберігачів у деякій необхідній кількості{{Sfn|Алферов, Зубов, Кузьмин и др.|2002}}.

Приклад використання: [[Протоколи таємного голосування#Інші протоколи|протокол таємного голосування]] на основі поділу секрету{{Sfn|Schoenmakers|1999}}.

== Найпростіший приклад схеми поділу секрету ==
Нехай є група з <math>t</math> людей і повідомлення <math>s</math> довжини <math>n</math>, що складається з двійкових символів. Якщо підібрати [[Випадкова величина|випадковим]] чином такі двійкові повідомлення <math>s_1, \ldots, s_t</math>, що в сумі вони будуть дорівнювати <math>s</math> і розподілити ці сполучення між усіма членами групи, вийде, що прочитати повідомлення буде можливо тільки у випадку, якщо всі члени групи зберуться разом{{Sfn|Алферов, Зубов, Кузьмин и др.|2002|сторінки=401}}.

В такій схемі є суттєва проблема: в разі втрати хоча б одного з членів групи, секрет буде загублений для всієї групи безповоротно.

== {{Якір}}Порогова схема ==
На відміну від процедури розділення секрету, де <math>t=n</math> у процедурі поділу секрету кількість часток, які потрібні для відновлення секрету, може відрізнятися від того, на скільки часток секрет розділений. Така схема носить назви '''порогової схеми''' <math>\left( t, n \right)</math>, де <math>n</math>&nbsp;— кількість часток, на які був поділений секрет, а <math>t</math>&nbsp;— кількість часток, які потрібні для відновлення секрету. Ідеї схем <math>t \neq n</math> були незалежно запропоновані в 1979 році [[Аді Шамір]]ом і Джорджем Блеклі. Крім цього, подібні процедури досліджувалися Гусом Сіммонсом<ref>{{стаття|автор=C. J. Simmons|заглавие=An introduction to shared secret and/or shared control schemes and their application|мова=en|видання=Contemporary Cryptology|видавництво=IEEE Press|рік=1991|сторінки=441—497}}</ref>{{Sfn|Blakley|1979}}{{Sfn|Shamir|1979}}.

Якщо коаліція учасників така, що вони мають достатню кількість часток для відновлення секрету, то коаліція називається дозволеною. Схеми поділу секрету, в яких дозволені коаліції учасників можуть однозначно відновити секрет, а невирішені не отримують ніякої [[Апостеріорі|апостеріорної]] інформації про можливе значенні секрету, називаються досконалими{{Sfn|Блэкли, Кабатянский|1997}}.

=== Схема Шаміра ===
[[Файл:3_polynomials_of_degree_2_through_2_points.svg|праворуч|міні|Через дві точки можна провести необмежену кількість поліномів ступеня&nbsp;2. Щоб вибрати з них єдиний&nbsp;— потрібна третя точка]]
Ідея схеми полягає в тому, що двох точок достатньо для задання [[Пряма|прямої]], трьох крапок&nbsp;— для завдання [[Парабола|параболи]], чотирьох точок&nbsp;— для [[Кубика|кубічної параболи]], і так далі. Щоб задати [[многочлен]] ступеня <math>k</math> потрібно <math>k+1</math> точок.

Для того, щоб після поділу секрет могли відновити тільки <math>k</math> учасників, його «ховають» у формулу многочлена ступеня <math>(k-1)</math> [[Поле Галуа|над кінцевим полем]] <math>G</math>. Для однозначного відновлення цього многочлена необхідно знати його значення <math>k</math> точках, причому, використовуючи меншу кількість точок, однозначно відновити початковий многочлен не вийде. Кількість різних точок многочлена не обмежена (на практиці воно обмежується розміром числового поля <math>G</math>, в якому ведуться розрахунки).

Коротко даний алгоритм можна описати наступним чином. Нехай дано кінцеве поле <math>G</math>. Зафіксуємо <math>n</math> різних ненульових несекретних елементів даного поля. Кожен з цих елементів приписується певному члену групи. Далі вибирається довільний набір з <math>t</math> елементів поля <math>G</math>, з яких складається многочлен <math>f(x)</math> над полем <math>G</math> ступеня <math>t-1, 1<t\leq n</math>. Після отримання многочлена вираховуємо його значення в несекретних точках і повідомляємо отримані результати відповідним членам групи{{Sfn|Алферов, Зубов, Кузьмин и др.|2002}}.

Щоб відновити секрет можна скористатися [[Многочлен Ньютона|інтерполяційної]] формули, наприклад формулою [[Многочлен Лагранжа|Лагранжа]].

Важливою перевагою схеми Шаміра є те, що вона легко [[Масштабовність|масштабована]]{{Sfn|Shamir|1979}}. Щоб збільшити число користувачів в групі, необхідно лише додати відповідне число несекретних елементів до вже існуючих, при цьому має виконуватися умова <math>r_i\neq r_j</math> при <math>i\neq j</math>. У той же час, компрометація однієї частини секрету переводить схему з <math>(n,t)</math> -порогової в <math>(n-1,t-1)</math>-порогову.

=== Схема Блеклі ===
Дві [[Паралельні прямі|непаралельні]] прямі на площині перетинаються в одній точці. Будь-які дві [[Компланарність|некомпланарні]] площини перетинаються по одній прямій, а три некомпланарні площини в просторі теж перетинаються в одній точці. Взагалі ''n'' [[Розмірність простору|''n''-мірних]] [[Гіперплощина|гіперплощин]] завжди перетинаються в одній точці. Одна з координат цієї точки буде секретом. Якщо закодувати секрет як декілька координат точки, то вже по одній частці секрету (однієї гіперплощини) можна буде отримати якусь інформацію про секреті, тобто про взаємозалежності координат точки перетину.<div align="center">
{| border="0" cellspacing="2px" style="margin-left: auto; margin-right:auto;" width="600px"
| [[Файл:Secretsharing-1.png|200x200пкс]]
| [[Файл:IntersectingPlanes.png|200x200пкс]]
| [[Файл:Secretsharing-3-point.png|200x200пкс]]
|-
| colspan="3" | ''Схема Блеклі у трьох вимірах: кожна частка секрету&nbsp;— це [[площина]], а секрет&nbsp;— це одна з координат точки перетину площин. Двох площин недостатньо для визначення точки перетину.''
|}
</div>З допомогою схеми Блеклі{{Sfn|Blakley|1979}} можна створити ''(t,&nbsp;n)''-схему розподілу секрету для будь-яких ''t'' і ''n'': для цього треба покласти розмірність простору дорівнює ''t'', і кожному з ''n'' гравців дати одну гіперплощина, що проходить через секретну точку. Тоді будь&nbsp;— ''t'' з ''n'' гіперплощин будуть однозначно перетинатися в секретній точці.

Схема Блеклі менш ефективна, ніж схема Шаміра: у схемі Шаміра кожна частка такого ж розміру, як і секрет, а в схемі Блеклі кожна частка в ''t'' разів більше. Існують поліпшення схеми Блеклі, що дозволяють підвищити її ефективність.

=== Схеми, засновані на китайській теоремі про залишки ===
У 1983 році {{нпні|Моріс Миньотт||en|Maurice Mignotte}}, Асмут і Блум запропонували дві схеми поділу секрету, засновані на [[Китайська теорема про остачі|китайській теоремі про залишки]]. Для деякого числа (у [[Схема Міньотта|схемі Міньотта]] це сам секрет, у [[Схема Асмута-Блума|схемі Асмута&nbsp;— Блума]]&nbsp;— деяке похідне число) обчислюються [[Ділення з остачею|залишки від ділення]] на послідовність чисел, які роздаються сторонам. Завдяки обмеженням на послідовність чисел, відновити секрет може тільки певне число сторін{{Sfn|Mignotte|1982}}{{Sfn|Asmuth, Bloom|1983}}.

Нехай кількість користувачів в групі дорівнює <math>n</math>. У схемі Міньотта вибирається деяка [[множина]] попарно [[Взаємно прості числа|взаємно простих чисел]] <math>\{m_1,m_2,...,m_n\}</math> таких, що добуток <math>k-1</math>менше, ніж добуток <math>k</math> найменших з цих чтсел. Нехай ці добутки рівні <math>M</math><math>N</math>, відповідно. Число <math>k</math> називається порогом для схеми, що конструюється по множині<math>\{m_1,m_2,...,m_n\}</math>. В якості секрету обирається число <math>S</math> таке, для якого виконується співвідношення <math>M<S<N</math>. Частини секрету розподіляються між учасниками групи наступним чином: кожному учаснику видається пара чисел <math>(r_i,m_i)</math>, де <math>r_i\equiv S\pmod{m_i}</math>.

Щоб відновити секрет, необхідно об'єднати <math>t\geq k</math> фрагментів. В цьому випадку отримаємо систему порівнянь виду <math>x\equiv r_i\pmod{m_i}</math>, множину рішень якої можна знайти, використовуючи [[Китайська теорема про остачі|китайську теорему про залишки]]. Секретне число <math>S</math><math>S<m_1\cdot m_2\cdot...\cdot m_t</math>. Також не складно показати, що якщо число фрагментів менше <math>k</math>, то, для того щоб знайти секрет <math>S</math>, необхідно перебрати близько <math>\frac{N}{M}</math> цілих чисел. При правильному виборі чисел <math>m_i</math> такий перебір практично неможливо реалізувати. Наприклад, якщо розрядність <math>m_i</math> буде від 129 до 130 біт, а <math>k<15</math>, то відношення <math>\frac{N}{M}</math> буде мати порядок <math>2^{100}</math>{{Sfn|Молдовян, Молдовян|2005}}.

Схема Асмута&nbsp;— Блума є доопрацьованою схемою Міньотта. На відміну від схеми Міньотта, її можна побудувати в такому вигляді, щоб вона була досконалою{{Sfn|Шенец|2011}}.

=== Схеми, засновані на вирішенні систем рівнянь ===
У 1983 році Карнін, Грін і Хеллман запропонували свою схему розподілу секрету, яка ґрунтувалася на неможливості вирішити систему з <math>m</math> невідомими, маючи менше <math>m</math> рівнянь{{Sfn|Karnin, Greene, Hellman|1983}}.

У рамках даної схеми вибираються <math>n+1</math> <math>m</math>-мірних векторів <math>V_0, V_1, ..., V_n</math> так, щоб будь-яка матриця розміром <math>m\times m</math>, складена з цих векторів, мала ранг<math>m</math>. Нехай вектор <math>U</math> має розмірність <math>m</math>.

Секретом в схемі є матричний добуток <math>U^T\cdot V_0</math>. Частками секрету є добуток <math>U^T\cdot V_i, 1 \leq i \leq n</math>.

Маючи будь-які <math>m</math> часток, можна скласти систему лінійних рівнянь розмірності <math>m\times m</math>, невідомими якої є коефіцієнти <math>U</math>. Розв'язавши дану систему, можна знайти <math>U</math>, а маючи <math>U</math> можна знайти секрет. При цьому система рівнянь не має рішення в разі, якщо часток менше, ніж <math>m</math><ref name=":1">{{Книга|автор=Шнайер Б.|заголовок=Прикладная криптография|ответственный=|видання=2-е изд|місто=|видавництво=Триумф|год=2002|сторінки=590|сторінок=816|isbn=5-89392-055-4}}</ref>.

=== Способи обману порогової схеми ===
Існуює кілька способів порушити протокол роботи порогової схеми:

* власник однієї з часток може перешкодити відновленню загального секрету, віддавши в потрібний момент невірну (випадкову) частку{{Sfn|Pasailă, Alexa, Iftene|2010}};
* зловмисник, не маючи частки, може бути присутнім при відновленні секрету. Дочекавшись оголошення потрібного числа часток, він швидко відновлює секрет самостійно і породжує ще одну частку, після чого пред'являє її іншим учасникам. В результаті він отримує доступ до секрету і залишається не пійманим{{Sfn|Шнайер|2002}}.

Також існують інші можливості порушення роботи, не пов'язані з особливостями реалізації схеми:

* зловмисник може зімітувати ситуацію, при якій необхідно розкриття секрету, тим самим вивідавши частки учасників{{Sfn|Шнайер|2002}}.

== Примітки ==
{{reflist|2}}

== Література ==
{{стиль|дата=травень 2018}}
* ''[[Брюс Шнайєр|Шнайер Б.]]'' <span data-wikidata-qualifier-id="P248">3.7. Розділення секрету</span> // Прикладна криптографія. Протоколи, алгоритми, вихідні тексти на мові Сі = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C.&nbsp;— <abbr title="Москва">М.</abbr>: Тріумф, 2002.  — С. 93-96.  — 816 с.&nbsp;— <span class="nowrap">3000 екз.</span>&nbsp;— ISBN 5-89392-055-4.
* ''[[Брюс Шнайєр|Шнайер Б.]]'' <span data-wikidata-qualifier-id="P248">23.2 Алгоритми поділу секрету</span> // Прикладна криптографія. Протоколи, алгоритми, вихідні тексти на мові Сі = Applied Cryptography. Protocols, Algorithms and Source Code in C.&nbsp;— <abbr title="Москва">М.</abbr>: Тріумф, 2002.  — С. 588—591.  — 816 с.&nbsp;— <span class="nowrap">3000 екз.</span>&nbsp;— ISBN 5-89392-055-4.

* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q21589199">''Blakley&nbsp;G.&nbsp;R.'' [https://www.computer.org/csdl/proceedings/afips/1979/5087/00/50870313.pdf Safeguarding cryptographic keys] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160303193810/https://www.computer.org/csdl/proceedings/afips/1979/5087/00/50870313.pdf |date=3 березня 2016 }} // ''[[wikidata:Q21589192|Proceedings of the 1979 AFIPS National Computer Conference]]''<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— [[Монтвейл (Нью-Джерсі)|Montvale]]: [[wikidata:Q21589168|AFIPS Press]], 1979.&nbsp;— P.&nbsp;313–317.&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1109/AFIPS.1979.98 doi:10.1109/AFIPS.1979.98]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q21588915">''[[Аді Шамір|Shamir&nbsp;A.]]'' [http://cs.jhu.edu/~sdoshi/crypto/papers/shamirturing.pdf How to share a secret] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200202121519/http://cs.jhu.edu/~sdoshi/crypto/papers/shamirturing.pdf |date=2 лютого 2020 }} // ''[[Communications of the ACM|Commun. ACM]]''<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— [[Нью-Йорк|New York City]]: [[Association for Computing Machinery|ACM]], 1979.&nbsp;— Vol.&nbsp;22, Iss.&nbsp;11.&nbsp;— P.&nbsp;612–613.&nbsp;— ISSN [https://www.worldcat.org/issn/0001-0782 0001-0782] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091003143358/http://www.worldcat.org/issn/0001-0782 |date=3 жовтня 2009 }}&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1145/359168.359176 doi:10.1145/359168.359176]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27915506">''[[wikidata:Q27915498|Mignotte&nbsp;M.]]'' [[wikidata:Q27915506|How to Share a Secret]] // ''[[wikidata:Q27915505|Cryptography]]'': ''Proceedings of the Workshop on Cryptography Burg Feuerstein, Germany, March 29–April 2, 1982''<span class="wef_low_priority_links"> / [[wikidata:Q2422408|T.&nbsp;Beth]]&nbsp;— [[wikidata:Q21587985|Springer Berlin Heidelberg]], 1983.&nbsp;— P.&nbsp;371–375.&nbsp;— ({{iw|Lecture Notes in Computer Science}}; Vol.&nbsp;149)&nbsp;— ISBN 978-3-540-11993-7&nbsp;— ISSN [https://www.worldcat.org/issn/0302-9743 0302-9743] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090208235313/http://www.worldcat.org/issn/0302-9743 |date=8 лютого 2009 }}&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1007/3-540-39466-4_27 doi:10.1007/3-540-39466-4_27]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27915587">''[[wikidata:Q27915584|Asmuth&nbsp;C.]], [[wikidata:Q27915585|Bloom&nbsp;J.]]'' [[wikidata:Q27915587|A modular approach to key safeguarding]] // ''{{iw|IEEE Transactions on Information Theory|IEEE Trans. Inf. Theory|en|IEEE Transactions on Information Theory}}''<span class="wef_low_priority_links"> / {{iw|Frank Kschischang|F.&nbsp;Kschischang|en|Frank Kschischang}}&nbsp;— [[Інститут інженерів з електротехніки та електроніки|IEEE]], 1983.&nbsp;— Vol.&nbsp;29, Iss.&nbsp;2.&nbsp;— P.&nbsp;208–210.&nbsp;— ISSN [https://www.worldcat.org/issn/0018-9448 0018-9448] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111211134807/http://www.worldcat.org/issn/0018-9448 |date=11 грудня 2011 }}&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1109/TIT.1983.1056651 doi:10.1109/TIT.1983.1056651]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q28015699">''[[wikidata:Q28015689|Karnin&nbsp;E.&nbsp;D.]], [[wikidata:Q28015695|Greene&nbsp;J.&nbsp;W.]], [[Мартін Геллман|Hellman&nbsp;M.&nbsp;E.]]'' [http://www-ee.stanford.edu/~hellman/publications/45.pdf On Secret Sharing Systems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170810113048/http://www-ee.stanford.edu/~hellman/publications/45.pdf |date=10 серпня 2017 }} // ''{{iw|IEEE Transactions on Information Theory|IEEE Trans. Inf. Theory|en|IEEE Transactions on Information Theory}}''<span class="wef_low_priority_links"> / {{iw|Frank Kschischang|F.&nbsp;Kschischang|en|Frank Kschischang}}&nbsp;— [[Інститут інженерів з електротехніки та електроніки|IEEE]], 1983.&nbsp;— Vol.&nbsp;29, Iss.&nbsp;1.&nbsp;— P.&nbsp;35–41.&nbsp;— ISSN [https://www.worldcat.org/issn/0018-9448 0018-9448] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111211134807/http://www.worldcat.org/issn/0018-9448 |date=11 грудня 2011 }}&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1109/TIT.1983.1056621 doi:10.1109/TIT.1983.1056621]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27867807">''Блэкли&nbsp;Д., [[wikidata:Q27867803|Кабатянский&nbsp;Г.&nbsp;А.]]'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ppi&paperid=381 Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180621143410/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ppi&paperid=381 |date=21 червня 2018 }} // ''[[wikidata:Q21766851|Пробл. передачи информ.]]''<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— 1997.&nbsp;— Т.&nbsp;33, вып.&nbsp;3.&nbsp;— С.&nbsp;102–110.</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27915563">''[[wikidata:Q27915533|Schoenmakers&nbsp;B.]]'' [http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F3-540-48405-1_10.pdf A Simple Publicly Verifiable Secret Sharing Scheme and Its Application to Electronic Voting] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180621170758/https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F3-540-48405-1_10.pdf |date=21 червня 2018 }} // ''[[wikidata:Q27915561|Advances in Cryptology — CRYPTO’ 99]]'': ''19th Annual International Cryptology Conference Santa Barbara, California, USA, August 15–19, 1999 Proceedings''<span class="wef_low_priority_links"> / [[wikidata:Q27915547|M.&nbsp;Wiener]]&nbsp;— [[wikidata:Q21587985|Springer Berlin Heidelberg]], 1999.&nbsp;— P.&nbsp;148–164.&nbsp;— ISBN 978-3-540-66347-8&nbsp;— [http://dx.doi.org/10.1007/3-540-48405-1_10 doi:10.1007/3-540-48405-1_10]</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q571" data-entity-id="Q27449776">''[[wikidata:Q27449770|Алферов&nbsp;А.&nbsp;П.]], [[wikidata:Q27449771|Зубов&nbsp;А.&nbsp;Ю.]], [[wikidata:Q27449773|Кузьмин&nbsp;А.&nbsp;С.]] и др.'' [[wikidata:Q27449776|Основы криптографии]]: Учебное пособие<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— 2-е изд., испр. и доп.&nbsp;— М.: [[wikidata:Q22304400|Гелиос АРВ]], 2002.&nbsp;— ISBN 978-5-85438-137-6</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q571" data-entity-id="Q27866512">''[[wikidata:Q27866506|Молдовян&nbsp;Н.&nbsp;А.]], [[wikidata:Q27866508|Молдовян&nbsp;А.&nbsp;А.]]'' [[wikidata:Q27866512|Введение в криптосистемы с открытым ключом]]<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— СПб.: [[wikidata:Q27866510|БХВ-Петербург]], 2005.&nbsp;— 288&nbsp;с.&nbsp;— ([[wikidata:Q27866511|Учебное пособие]])&nbsp;— ISBN 978-5-94157-563-3</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27915849">''[[wikidata:Q27915844|Pasailă&nbsp;D.]], [[wikidata:Q27915845|Alexa&nbsp;V.]], [[wikidata:Q27915847|Iftene&nbsp;S.]]'' [http://computingonline.net/index.php/computing/article/view/702 Cheating Detection and Cheater Identification in CRT-based Secret Sharing Schemes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180621115921/http://computingonline.net/index.php/computing/article/view/702 |date=21 червня 2018 }} // ''[[wikidata:Q27915842|International Journal of Computing]]''<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— 2010.&nbsp;— Vol.&nbsp;9, Iss.&nbsp;2.&nbsp;— P.&nbsp;107–117.&nbsp;— ISSN [https://www.worldcat.org/issn/2312-5381 2312-5381] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180621115914/https://www.worldcat.org/issn/2312-5381 |date=21 червня 2018 }}</span></span>
* <span class="wikidata_cite citetype_Q13442814" data-entity-id="Q27915597">''[[wikidata:Q27915590|Шенец&nbsp;Н.&nbsp;Н.]]'' [http://www.elib.bsu.by/bitstream/123456789/9565/1/pages%20from%20Конференция_1.%20169-173pdf.pdf Об идеальных модулярных схемах разделения секрета в кольцах многочленов от нескольких переменных] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160403183013/http://elib.bsu.by/bitstream/123456789/9565/1/pages%20from%20Конференция_1.%20169-173pdf.pdf |date=3 квітня 2016 }} // ''[[wikidata:Q27915595|Международный конгресс по информатике: информационные системы и технологии]]'': ''материалы международного научного конгресса 31 окт.''<span class="wef_low_priority_links">&nbsp;— [[Мінськ|Минск]]: [[Білоруський державний університет|БГУ]], 2011.&nbsp;— Т.&nbsp;1. Статьи факультета прикладной математики и информатики.&nbsp;— С.&nbsp;169–173.&nbsp;— ISBN 978-985-518-563-6</span></span>

[[Категорія:Криптографія]]