Перегляд вихідного коду сторінки Розв'язування трикутників

'''Розв'язування трикутників''' ({{lang-lat|solutio triangulorum}})&nbsp;— історичний термін, що означає розв'язування головної [[Тригонометрія|тригонометричної]] задачі: за відомими даними про [[трикутник]] (сторони, кути і&nbsp;т.&nbsp;д.) знайти інші його характеристики{{sfn|Выгодский М. Я.|1978|с=266—268}}. Існує також узагальнення цієї задачі на випадок, коли задані інші елементи трикутника (наприклад, [[Медіана трикутника|медіани]], [[Бісектриса|бісектриси]], [[Висота трикутника|висоти]], [[Площа трикутника|площі]] та&nbsp;ін.). Трикутник може розташовуватися на [[Площина|площині]] або на [[Сфера|сфері]]. Ця задача часто зустрічається, наприклад, в [[Геодезія|геодезії]], [[Астрономія|астрономії]], [[Будівельна справа|будівництві]], [[Навігація|навігації]].

== Розв'язування плоских трикутників ==
[[Файл:Triangle with notations (black).svg|thumb|250px|right|<center>Стандартні позначення в трикутнику</center>]]
У трикутника загального виду є 6 головних характеристик: 3 лінійні (довжини сторін <math>a, b, c</math>) і 3 кутові (<math>\alpha, \beta, \gamma</math>). Сторону, протилежну до кута при вершині, прийнято позначати тією ж літерою, що і вершину, але не [[Велика літера|великою]], а [[Мала літера|малою]] (див. рисунок). В класичній задачі плоскої тригонометрії задано 3 з цих 6 характеристик, і потрібно визначити 3 інші. Очевидно, якщо відомі лише 2 або 3 кута, однозначного розв'язку не буде, оскільки будь-який трикутник, [[Подібність трикутників|подібний]] до даного, також буде розв'язком, тому надалі вважається, що хоча б одна з відомих величин&nbsp;— лінійна{{sfn|Элементарная математика|1976|с=487}}.

Алгоритм розв'язування задачі залежить від того, які саме характеристики трикутника вважаються відомими. Надалі задані величини символічно позначаються С (сторона) і К (кут). Оскільки поєднання ККК не розглядається, залишається 5 різних варіантів<ref>{{citeweb|url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html|title=Solving Triangles|publisher=Maths is Fun|accessdate=23 липня 2012|archive-date=30 червня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190630074334/https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html}}</ref>:
* Три сторони (''ССС'');
* Дві сторони і кут між ними (''СКС'');
* Дві сторони і кут навпроти однієї з них (''КСС'');
* Сторона і два прилеглих кута (''КСК'');
* Сторона, протилежний кут і один з прилеглих (''ККС'').

=== Основні теореми ===
Стандартним методом розв'язування задачі є використання декількох фундаментальних співвідношень, що виконуються для всіх плоских трикутників{{sfn|Элементарная математика|1976|с=488}}:
; [[Теорема косинусів]]:
: <math> a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha </math>
: <math> b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cdot \cos \beta </math>
: <math> c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma </math>
[[Файл:Triangle-angles.svg|thumb|right|350px|Сума кутів трикутника <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ,</math> тобто розгорнутому куту.]]
; [[Теорема синусів]]:
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
; [[Теорема про суму кутів трикутника|Сума кутів трикутника]]:
: <math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math>
Із інших іноді корисних на практиці універсальних співвідношень слід згадати [[Теорема тангенсів|теорему тангенсів]], [[Теорема котангенсів|теорему котангенсів]] і [[формули Мольвейде]].

=== Зауваження ===
# Для знаходження невідомого кута надійніше використовувати теорему косинусів, а не синусів. Причина в тому, що значення [[синус]]а кута при вершині трикутника не визначає однозначно самого кута{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=133}}. Наприклад, якщо <math>\sin \beta = 0{,}5,</math> то кут <math>\beta</math> може бути як <math>30^\circ</math>, так і <math>150^\circ</math>, тому що синуси цих кутів рівні. Винятком є випадок, коли заздалегідь відомо, що в даному трикутнику [[Тупий кут|тупих кутів]] бути не може&nbsp;— наприклад, якщо трикутник [[Прямокутний трикутник|прямокутний]]. З [[косинус]]ом такі проблеми не виникають, в інтервалі від <math>0^\circ</math> до <math>180^\circ</math> значення косинуса визначає кут однозначно.
# При [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудові]] трикутників важливо пам'ятати, що дзеркальне відбиття побудованого трикутника також буде розв'язком задачі. Наприклад, три сторони однозначно визначають трикутник з точністю до відбиття.
# Всі трикутники вважаються невиродженими, тобто довжина сторони не може бути нульовою, а величина кута&nbsp;— [[додатне число]], менше, ніж <math>180^\circ</math>.

[[Файл:resolve triangle with a b c.svg|thumb|right|250px|<center>Задано три сторони</center>]]

=== Три сторони ===
Нехай задані довжини всіх трьох сторін <math>a, b, c</math>. Умова розв'язності задачі&nbsp;— виконання [[Нерівність трикутника|нерівності трикутника]], тобто кожна довжина повинна бути меншою, ніж сума двох інших довжин:
: <math>a < b + c; \;b < a + c; \;c < a + b</math>

Щоб знайти кути <math>\alpha, \beta</math>, потрібно скористатися [[Теорема косинусів|теоремою косинусів]]<ref>{{cite web|url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html|title=Solving SSS Triangles|publisher=Maths is Fun|accessdate=23 липня 2012|archiveurl=https://www.webcitation.org/6B4DwQ3KJ?url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html|archivedate=2012-09-30|deadurl=no}}</ref>:
: <math> \alpha =  \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}</math>

: <math> \beta =  \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}</math>
Третій кут одразу знаходиться з правила, що сума всіх трьох кутів повинна бути рівна 180°:
: <math>~\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>.

Не рекомендується другий кут знаходити за [[Теорема синусів|теоремою синусів]], тому що, як вказано у вищенаведеному зауваженні 1, при цьому є небезпека сплутати тупий кут із гострим. Цієї небезпеки не виникне, якщо першим визначити, за теоремою косинусів, найбільший кут, що лежить навпроти найбільшої із сторін&nbsp;— два інших кута точно є гострими, і застосування до них теореми синусів безпечне.

Ще один метод обчислення кутів за відомими сторонами&nbsp;— використання [[Теорема котангенсів|теореми котангенсів]].

[[Файл:resolve triangle with a b gamma.svg|thumb|right|250px|<center>Задані дві сторони і кут між ними</center>]]

=== Дві сторони і кут між ними ===
Нехай, для визначеності, відомі довжини сторін <math>a, b</math> і кут <math>\gamma</math> між ними. Цей варіант задачі завжди має єдиний розв'язок. Для визначення довжини сторони <math>c</math> знову застосовується [[теорема косинусів]]<ref>{{cite web|url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html|title=Solving SAS Triangles|publisher=Maths is Fun|accessdate=24 липня 2012|archiveurl=https://www.webcitation.org/6B4DwrIDN?url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html|archivedate=2012-09-30|deadurl=no}}</ref>:
: <math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}</math>
Фактично задача зведена до попереднього випадку. Далі ще раз застосовується теорема косинусів для знаходження другого кута:
: <math> \alpha= \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}= \arccos \frac{b-a\cos\gamma} {\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}</math>
Третій кут визначається з теореми про [[Теорема про суму кутів трикутника|суму кутів трикутника]]: <math>\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma</math>.

[[Файл:resolve triangle with b c beta.svg|thumb|right|250px|<center>Задані дві сторони і кут не між ними</center>]]

=== Дві сторони і кут напроти однієї з них ===
У цьому випадку можуть існувати два розв'язки, єдиний розв'язок або взагалі не бути розв'язків. Нехай, наприклад, відомі дві сторони <math>b, c</math> і кут <math>\beta</math>. Рівняння для кута <math>\gamma</math> знаходиться з [[Теорема синусів|теореми синусів]]<ref>{{cite web|url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-ssa-triangles.html|title=Solving SSA Triangles|publisher=Maths is Fun|accessdate=24 липня 2012)|archiveurl=https://www.webcitation.org/6B4DxHlFc?url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-ssa-triangles.html|archivedate=2012-09-30|deadurl=no}}</ref>:
: <math>\sin\gamma = \frac{c}{b} \sin\beta</math>

Для простоти позначимо <math>~D=\frac{c}{b} \sin\beta</math> (права частина рівняння). При розв'язуванні рівняння можливі 4 випадки{{sfn|Выгодский М. Я.|1978|с=294}}{{sfn|Элементарная математика|1976|с=493—496}}.
# Задача не має розв'язку (сторона <math>b</math> «не дістає» до лінії BC) у двох випадках: якщо <math>D>1</math> або якщо кут <math>\beta \geqslant 90^\circ</math> і при цьому <math>b \leqslant c.</math>
# Якщо <math>D=1</math>, існує єдиний розв'язок, причому трикутник прямокутний, <math>\gamma = 90^\circ.</math>
[[Файл:Resolve triangle with b c beta 2 solutions.svg|thumb|right|250px|<center>Два можливих розв'язки</center>]]
# <li value="3"> Якщо <math>D<1</math>, то можливі 2 варіанти.
## Якщо <math>b<c</math>, то кут <math>\gamma</math> має два можливих значення: гострий кут <math>~\gamma = \arcsin D</math> і тупий кут <math>~\gamma' = 180^\circ - \gamma</math>. На рисунку справа першому значенню відповідає точка <math>C</math>, сторона <math>b</math> і кут <math>\gamma</math>, а другому значенню&nbsp;— точка <math>C'</math>, сторона <math>b'=b</math> і кут <math>\gamma'</math>.
## Якщо <math>b \geqslant c</math>, то <math>\beta \geqslant \gamma</math> (як відомо, більшій стороні трикутника відповідає більший протилежний кут). Оскільки в трикутнику не може бути двох тупих кутів, тупий кут для <math>~\gamma</math> виключений, і розв'язок <math>~\gamma=\arcsin D</math> єдиний.
Третій кут визначається за формулою <math>~\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma </math>. Третю сторону можна знайти за теоремою синусів:
: <math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>

[[Файл:resolve triangle with c alpha beta.svg|thumb|right|250px|<center>Задані сторона і прилеглі до неї кути</center>]]

=== Сторона і два кути ===
Нехай задана сторона <math>c</math> і два кути. Ця задача має єдиний розв'язок, якщо сума двох кутів менша <math>180^\circ</math>. У протилежному випадку задача розв'язку не має.

Спочатку визначається третій кут. Наприклад, якщо задані кути <math>\alpha, \beta</math>, то <math>~\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta</math>. Далі обидві невідомі сторони знаходяться за теоремою синусів<ref>{{cite web|url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html|title=Solving ASA Triangles|publisher=Maths is Fun|accessdate=24 липня 2012|archiveurl=https://www.webcitation.org/6B4DxigNA?url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html|archivedate=2012-09-30|deadurl=no}}</ref>:
: <math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}</math>

=== Розв'язування прямокутних трикутників ===
[[Файл:Right triangle with notations (black).svg|мини|250px|Прямокутний трикутник]]
У цьому випадку відомий один з кутів&nbsp;— він дорівнює 90°. Необхідно знати ще два елементи, хоча б один з яких&nbsp;— сторона. Можливі наступні випадки:
* два катети;
* катет і гіпотенуза;
* катет і прилеглий гострий кут;
* катет і протилежний гострий кут;
* гіпотенуза і гострий кут.

Прийнято позначати вершину [[Прямий кут|прямого кута]] літерою C, а [[Гіпотенуза|гіпотенузу]]&nbsp;— <math>c</math>. [[Катет]]и позначаються <math>a</math> і <math>b</math>, а величини протилежних до них кутів&nbsp;— α і β відповідно.

Розрахункові формули суттєво спрощуються, оскільки замість теорем синусів і косинусів можна використати простіші співвідношення&nbsp;— [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]]:

: <math> c^2 = a^2 + b^2 </math>

і визначення основних [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]]:

: <math> \sin \alpha = \cos \beta = \frac ac,\quad  \cos \alpha = \sin \beta = \frac bc,</math>
: <math> \mathrm{tg} \alpha = \mathrm{ctg} \beta = \frac ab,\quad  \mathrm{ctg} \alpha = \mathrm{tg} \beta = \frac ba. </math>

Зрозуміло також, що кути α і β&nbsp;— [[Гострий кут|гострі]], оскільки їхня сума дорівнює <math>90^\circ</math>. Тому будь-який з невідомих кутів однозначно визначається за будь-якою з його тригонометричних функцій (синусом, косинусом, тангенсом та&nbsp;ін.) шляхом обчислення відповідної [[Обернені тригонометричні функції|оберненої тригонометричної функції]].

При коректній постановці задачі (якщо задані гіпотенуза і катет, то катет повинен бути меншим від гіпотенузи; якщо заданий один з двох непрямих кутів, то він повинен бути гострим) розв'язок завжди існує і єдиний.

==== Два катети ====
Гіпотенуза знаходиться за теоремою Піфагора:

: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. </math>

Кути можна знайти з використанням функції [[арктангенс]]а:
: <math> \alpha = \operatorname{arctg}\, \frac ab, \quad \beta  = \operatorname{arctg}\, \frac ba  </math>
або ж за тільки що знайденою гіпотенузою:

: <math> \alpha = \arcsin \frac ac = \arccos \frac bc , \quad \beta  = \arcsin \frac bc = \arccos \frac ac. </math>

==== Катет і гіпотенуза ====
Нехай відомі катет <math>b</math> і гіпотенуза <math>c</math>, тоді катет <math>a</math> знаходиться з теореми Піфагора:

: <math> a = \sqrt{c^2 - b^2}. </math>

Після цього кути визначаються аналогічно до попереднього випадку.

==== Катет і прилеглий гострий кут ====
Нехай відомі катет <math>b</math> і прилеглий до нього кут α.

Гіпотенуза <math>c</math> визначається із співвідношення

: <math> c = \frac {b} {\cos \alpha}. </math>

Катет <math>a</math> можна знайти або за теоремою Піфагора аналогічно до попереднього випадку, або із співвідношення

: <math> a = b\ \mathrm{tg}\,\alpha. </math>

Гострий кут β можна знайти як

: <math>\beta = 90^\circ - \alpha. </math>

==== Катет і протилежний гострий кут ====
Нехай відомі катет <math>b</math> і протилежний до нього кут β.

Гіпотенузу <math>c</math> можна знайти із співвідношення

: <math> c = \frac {b} {\sin \beta}. </math>
Катет <math>a</math> і другий гострий кут α можна знайти аналогічно до попереднього випадку.

==== Гіпотенуза і гострий кут ====
Нехай відомі гіпотенуза <math>c</math> і гострий кут β.

Гострий кут α можна знайти як

: <math>\alpha = 90^\circ - \beta. </math>

Катети визначаються із співвідношень

: <math> a = c \sin \alpha = c \cos \beta,</math>
: <math> b = c \sin \beta  = c \cos \alpha.</math>

== Розв'язування сферичних трикутників ==
[[Сферичний трикутник]] загального виду повністю визначається трьома з шести своїх характеристик (3 сторони і 3 кута). Сторони сферичного трикутника <math>a, b, c</math> прийнято вимірювати не лінійними одиницями, а величиною [[Центральний кут|центральних кутів]], що спираються на них. Розв'язування трикутників у [[Сферична геометрія|сферичній геометрії]] має ряд відмінностей від плоского випадку. Наприклад, сума трьох кутів <math>\alpha+\beta+\gamma</math> залежить від трикутника; крім того, на сфері не існує не рівних [[Подібність трикутників|подібних трикутників]], і тому задача побудови трикутника за трьома кутами має єдиний розв'язок. Але базові співвідношення, що використовуються для розв'язування задачі, аналогічні до плоского випадку: [[Теорема косинусів (сферична геометрія)|сферичні теореми косинусів]] і [[сферична теорема синусів]].

Із інших співвідношень можуть бути корисними [[формули аналогії Непера]]{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=87—90}} і {{нп|формула половини сторони||ru|Формула половины стороны}}{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=102—104}}.

[[Файл:Solve spherical triangle with a b c.png|thumb|right|250px|<center>Задані три сторони</center>]]

=== Три сторони ===
Якщо сторони <math>a, b, c</math> задані (в кутових одиницях), то кути трикутника визначаються з [[Теорема косинусів (сферична геометрія)|теореми косинусів]]{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=545}}:
: <math>\alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right)</math>,
: <math>\beta  = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right)</math>,
: <math>\gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right)</math>,
{{clear}}

[[Файл:Solve spherical triangle with a b gamma.png|thumb|right|250px|<center>Задані дві сторони і кут між ними</center>]]

=== Дві сторони і кут між ними ===
Нехай задані сторони <math>a, b</math> і кут <math>\gamma</math> між ними. Сторона <math>c</math> знаходиться за теоремою косинусів{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=545}}:
: <math>c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right)</math>
Кути <math>\alpha, \beta</math> можна знайти так само, як і в попередньому варіанті, можна також використати [[формули аналогії Непера]]:
: <math>\alpha = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin a}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)}</math>
: <math>\beta  = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin b}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b) }</math>,
{{clear}}

[[Файл:Solve spherical triangle with b c beta.png|thumb|right|250px|<center>Задані дві сторони і кут не між ними</center>]]

=== Дві сторони і кут не між ними ===
Нехай задані сторони <math>b, c</math> і кут <math>\beta</math>. Для існування розв'язку необхідним є виконання умов:
: <math>b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta)</math>
Кут <math>\gamma</math> отримується з [[Сферична теорема синусів|теореми синусів]]:
: <math>\gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right)</math>
Тут, аналогічно до плоского випадку, при <math>b<c</math> отримуються два розв'язки: <math>\gamma</math> і <math>~180^\circ - \gamma</math>.

Інші величини можна знайти з формул аналогії Непера{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=121—128}}:
: <math>a = 2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\frac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\frac12(\beta-\gamma)\right)} \right\}</math>,
: <math>\alpha = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\frac12(b+c)\right)}{\sin \left(\frac12(b-c)\right)} \right\}</math>.

[[Файл:Solve spherical triangle with c alpha beta.png|thumb|right|250px|<center>Задані сторона і прилеглі кути</center>]]

=== Сторона і прилеглі кути ===
У цьому варіанті задана сторона <math>c</math> і кути <math>\alpha, \beta</math>. Кут <math>\gamma</math> визначається за теоремою косинусів{{sfn |Степанов Н. Н.|1948|с=115-121.}}:
: <math>\gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta)\,</math>,
Дві невідомі сторони отримуються з формул аналогії Непера:
: <math>a = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\alpha}{\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\beta+\alpha) + \operatorname{tg}(c/2) \sin(\beta-\alpha)}\right\}</math>
: <math>b = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\beta} {\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\alpha+\beta) + \operatorname{tg}(c/2)\sin(\alpha-\beta)}\right\}</math>
або, використовуючи обчислений кут <math>\gamma</math>, за теоремою косинусів:
: <math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right)</math>
: <math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right)</math>
{{clear}}

[[Файл:Solve spherical triangle with a alpha beta.png|thumb|right|250px|<center>Задані два кути і сторона не між ними</center>]]

=== Два кута і сторона не між ними ===
Нехай задані сторона <math>a</math> і кути <math>\alpha, \beta</math>. Сторона <math>b</math> визначається за теоремою синусів{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=128—133}}:
: <math>b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right)</math>,
Якщо кут для сторони <math>a</math> гострий і <math>\alpha > \beta</math>, існує другий розв'язок:
: <math>b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right)</math>
Інші величини визначаються з формул аналогії Непера:
: <math>c =  2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\frac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right\}</math>,
: <math>\gamma = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\frac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right\}</math>,
{{clear}}

[[Файл:Solve spherical triangle with alpha beta gamma.png|thumb|right|250px|<center>Задані три кути</center>]]

=== Три кута ===
Якщо задано три кута, сторони можна знайти за теоремою косинусів:
: <math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right)</math>,
: <math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right)</math>,
: <math>c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right)</math>.
Інший варіант: використання {{нп|Формула половини сторони|формули половини сторони|ru|Формула половины стороны}}{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=104—108}}.
{{clear}}

=== Розв'язування прямокутних сферичних трикутників ===
Викладені алгоритми значно спрощуються, якщо відомо, що один з кутів трикутника (наприклад, кут <math>C</math>) прямий. Прямокутний сферичний трикутник повністю визначається двома елементами, інші три знаходяться з допомогою {{нп|Мнемонічне правило Непера|мнемонічного правила Непера|ru|Мнемоническое правило Непера}} або з наведених нижче співвідношень{{sfn|Основные формулы физики|1957|с=14—15}}.
: <math>\sin a = \sin c \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} \beta</math>
: <math>\sin b = \sin c \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} \alpha</math>
: <math>\cos c = \cos a \cdot \cos b = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta</math>
: <math>\operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} \alpha</math>
: <math>\operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos \alpha</math>
: <math>\cos \alpha = \cos a \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} c</math>
: <math>\cos \beta = \cos b \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} c</math>

== Варіації та узагальнення ==
В багатьох практично важливих задачах замість сторін трикутника задаються інші його характеристики&nbsp;— наприклад, довжина [[Медіана трикутника|медіани]], [[Висота трикутника|висоти]], [[Бісектриса|бісектриси]], [[радіус]] [[Вписане коло|вписаного]] чи [[Описане коло|описаного]] кола і&nbsp;т.&nbsp;д. Аналогічно замість кутів при вершинах трикутника в задачі можуть фігурувати інші кути. Алгоритми розв'язування подібних задач найчастіше комбінуються із розглянутих вище теорем тригонометрії.

Приклади:
* Задача [[Реґіомонтан]]а: побудувати трикутник, якщо відомі одна його сторона, довжина опущеної на неї висоти і протилежний кут{{sfn|Цейтен Г. Г.|1932|с=223—224}}.
* {{нп|Задача Потенота|Задача Снеліуса—Потенота||Snellius–Pothenot problem}}.
* Задача {{нп|Томас Фінке|Томаса Фінке|ru|Финке, Томас}}{{sfn|Цейтен Г. Г.|1938|с=126—127}}: знайти кути трикутника, якщо відома сума двох кутів <math>\alpha+\beta</math> і відношення протилежних сторін <math>a:b</math>.
* Задача [[Ісаак Ньютон|Ньютона]]: розв'язати трикутник, якщо відомі одна його сторона, протилежний кут і сума двох інших сторін.

== Приклади практичного застосування ==

=== Тріангуляція ===
[[Файл:distance by triangulation.svg|thumb|right|320px|<center>Визначення відстані з допомогою [[Тріангуляція (геодезія)|тріангуляції]]</center>]]
{{main|Тріангуляція (геодезія)}}

Для визначення відстані <math>d</math> від берега до недоступної точки&nbsp;— наприклад, до віддаленого корабля,&nbsp;— потрібно відмітити на березі дві точки, відстань <math>l</math> між якими відома, і виміряти кути <math>\alpha</math> і <math>\beta</math> між лінією, що сполучає ці точки, і напрямком на корабель. З формул варіанту [[#Сторона і два кути|«сторона і прилеглі до неї кути»]] можна знайти довжину висоти трикутника{{sfn|Геометрия: 7—9 классы|2009|с=260—261}}:
: <math>d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} \,l</math>
Цей метод використовується в [[каботаж]]ному судноплавстві. Кути <math>\alpha, \beta</math> при цьому оцінюються спостереженнями з корабля відомих орієнтирів на землі. Аналогічна схема використовується в астрономії для визначення відстані до близької зорі: вимірюються кути спостереження цієї зорі з протилежних точок земної орбіти (тобто з інтервалом у півроку) і за їх різницею ([[паралакс]]ом) обчислюють шукану відстань{{sfn|Геометрия: 7—9 классы|2009|с=260—261}}.
{{clear}}
[[Файл:mountain height by triangulation.svg|thumb|right|320px|<center>Визначення висоти гори</center>]]
Інший приклад: потрібно виміряти висоту <math>h</math> гори або високої будівлі. Відомі кути <math>\alpha, \beta</math> спостереження вершини з двох точок, розташованих на відстані <math>l</math>. З формул того ж варіанту, що і вище, отримується{{sfn|Геометрия: 7—9 классы|2009|с=260}}:
: <math> h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l</math>
{{clr}}

=== Відстань між двома точками на поверхні земної кулі ===
[[Файл:distance on earth.png|224px|right]]
Потрібно обчислити відстань між двома точками на земній кулі{{sfn|Степанов Н. Н.|1948|с=136—137}}:
: Точка A: широта <math>\lambda_\mathrm{A},</math> довгота <math>L_\mathrm{A},</math>
: Точка B: широта <math>\lambda_\mathrm{B},</math> довгота <math>L_\mathrm{B},</math>
Для сферичного трикутника <math>ABC</math>, де {{nobr|<math>C</math> —}} північний полюс, відомі наступні величини:
: <math>a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}\,</math>
: <math>b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}\,</math>
: <math>\gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\,</math>
Цей випадок «дві сторони і кут між ними». З наведених вище формул отримуємо:
: <math>\mathrm{AB} = R \arccos\left\{\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right\}</math>,
де {{nobr|<math>R</math> —}} радіус Землі.

== Історія ==
{{main|Історія тригонометрії}}

Зачатки [[Тригонометрія|тригонометричних знань]] можна знайти в математичних рукописах [[Математика в Стародавньому Єгипті|Стародавнього Єгипту]], [[Вавилонська математика|Вавилону]] і [[Математика в Стародавньому Китаї|Стародавнього Китаю]]. Головним досягненням цього періоду стало співвідношення, яке пізніше отримало назву [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]]; [[Бартель ван дер Варден|Ван дер Варден]] вважає, що вавилоняни відкрили його між 2000 і 1786 роками до&nbsp;н.&nbsp;е.<ref>{{книга|автор=van der Waerden, Bartel Leendert.|назва=Geometry and Algebra in Ancient Civilizations|посилання=http://books.google.com/?id=_vPuAAAAMAAJ&q=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&dq=%22Pythagorean+triples%22++%22Babylonian+scribes%22+inauthor:van+inauthor:der+inauthor:Waerden&cd=1|видавництво=Springer|рік=1983 |isbn=3-540-12159-5}}</ref>

Загальна постановка задачі розв'язування трикутників (як плоских, так і сферичних) з'явилася в [[Давньогрецька математика|давньогрецькій]] геометрії{{sfn|Глейзер Г. И.|1982|с=77|name=GL77}}. У другій книзі «[[Начала Евкліда|Начал]]» [[Евклід]]а теорема 12 є словесним аналогом [[Теорема косинусів|теореми косинусів]] для тупокутних трикутників{{sfn|Глейзер Г. И.|1982|с=94—95|name=GL94}}:
{{початок цитати}}
В тупокутних трикутниках квадрат на стороні, що стягує тупий кут, більший [суми] квадратів на сторонах, що містять тупий кут, на двічі взятий прямокутник, розташований між однією із сторін при тупому куті, на яку падає перпендикуляр, і відрізком при тупому куті, що відтинається цим перпендикуляром ззовні.
{{кінець цитати}}
Наступна за нею теорема 13&nbsp;— варіант теореми косинусів для гострокутних трикутників. Аналога [[Теорема синусів|теореми синусів]] у греків не було, це важливе відкриття було зроблене набагато пізніше{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=92—96}}: найдавніше доведення теореми синусів на площині, із тих, що дійшли до нас, описане в книзі [[Насир ад-Дін ат-Тусі]] «<nowiki/>[[Трактат]] про повний чотиристоронник», написаній в XIII столітті<ref>{{cite book|first=J. Lennart | last=Berggren|title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook|url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse |chapter=Mathematics in Medieval Islam|publisher=Princeton University Press|year=2007|isbn=9780691114859|page=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518]}}</ref>.

Перші тригонометричні таблиці склав, ймовірно, [[Гіппарх]] в середині II&nbsp;ст. до&nbsp;н.&nbsp;е. для астрономічних розрахунків. Пізніше астроном II ст [[Клавдій Птолемей]] в «[[Альмагест]]і» доповнив результати Гіппарха. Перша книга «Альмагеста»&nbsp;— найбільш значима тригонометрична робота всієї античності. Зокрема, «Альмагест» містить докладні тригонометричні таблиці [[Хорда (геометрія)|хорд]] для гострих і тупих кутів, з кроком 30 [[Мінута|кутових мінут]]. В таблицях Птолемей наводить значення довжин хорд з точністю до трьох [[Шістдесяткова система числення|шістдесяткових]] знаків{{sfn|История математики, том I|1970|с=143}}. Така точність приблизно відповідає п'ятизначній [[Десяткова система числення|десятковій]] таблиці синусів з кроком 15 кутових мінут{{sfn|Выгодский М. Я.|1978|с=266—268}}.

Птолемей явно не формулює теорему синусів і косинусів для трикутників. Однак він завжди справляється із задачею розв'язування трикутників, розбиваючи трикутник на два [[Прямокутний трикутник|прямокутних]]<ref>{{книга|автор=[[Ван дер Варден]]. 
  |посилання=http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_1/N_1_Ogl.htm
  |назва=Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции
  |місце={{М.}}|видавництво=Наука|рік=1959|сторінок=456|сторінки=366}}</ref>.

Паралельно із розвитком тригонометрії площини греки, під впливом астрономії, далеко розвинули [[Сферична тригонометрія|сферичну тригонометрію]]{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=25—27}}. Вирішальним етапом у розвитку теорії стала монографія «Сферіка» у трьох книгах, яку написав [[Менелай Александрійський]] (близько 100 року н.&nbsp;е.). У першій книзі він виклав теореми про [[Сферичний трикутник|сферичні трикутники]], аналогічні до теорем Евкліда про плоскі трикутники (див. I книгу «Начал»). За повідомленням [[Папп Александрійський|Паппа]], Менелай першим ввів поняття сферичного трикутника як фігури, утвореної відрізками [[Сферична геометрія|великих кругів]]{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=33—36|name=GPM33}}. Через декілька десятиліть [[Клавдій Птолемей]] у своїх працях «Географія», «Аналема» і «Планісферій» дає детальний виклад застосування тригонометрії до картографії, астрономії і механіки.

У IV столітті, після занепаду античної науки, центр розвитку математики перемістився в Індію. Роботи [[Історія математики в Індії|індійських математиків]] ({{нп|Сідханта|сідханти||Siddhanta}}) показують, що їхні автори були добре знайомі з працями грецьких астрономів і геометрів{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=40—44|name=GPM40 }}. Чистою геометрією індійці цікавилися мало, але їхній внесок у прикладну астрономію і розрахункові аспекти тригонометрії дуже значний. Зокрема, індійці першими ввели у вжиток [[косинус]]{{sfn|Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=79}}. Крім того, індійці знали формули для кратних кутів <math>\sin n\varphi</math>, <math>\cos n\varphi</math> для <math>n = 2, 3, 4, 5</math>. В «Сур'я-сідханті» і у працях Брахмагупти при розв'язуванні задач фактично використовується [[Сферична теорема синусів|сферичний варіант теореми синусів]], однак загальне формулювання цієї теореми в Індії так і не з'явилося<ref name=KU160>{{книга |автор=Юшкевич А. П. |сторінок=448 |назва=История математики в Средние века |місце={{М.}} |видавництво=ГИФМЛ |рік=1961 |сторінки=160 }}</ref>.

В VIII століття вчені країн Близького і Середнього Сходу познайомилися з працями давньогрецьких та індійських математиків і астрономів. Їхні астрономічні трактати, аналогічні до індійських сідхантів, називалися [[Зідж]]. Типовий зідж був збірником астрономічних і тригонометричних таблиць, разом із посібником по їх використанню і (не завжди) викладом загальної теорії{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=51—55|name=GPM51}}. Порівняння зіджів періоду VIII—XIII століть показує швидку еволюцію тригонометричних знань. Найбільш ранні праці із тих, що збереглися, належать [[аль-Хорезмі]] і {{нп|Хаббаш аль-Хасіб|аль-Марвазі|ru|Хаббаш аль-Хасиб}} (IX століття), які розглядали, поряд із відомими ще індійцям синусом і косинусом, нові [[тригонометричні функції]]: [[тангенс]], [[котангенс]], [[секанс]] і [[косеканс]]{{sfn|Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.|1978|с=79}}.

[[Сабіт ібн Курра]] (IX століття) і [[Баттані Абу-Абд-аллах-Мухаммед ібн-Джабір|аль-Баттані]] (X століття) першими відкрили фундаментальну [[Сферична теорема синусів|теорему синусів]] для часткового випадку прямокутного [[Сферичний трикутник|сферичного трикутника]]. Для довільного сферичного трикутника доведення було знайдене (різними способами і, ймовірно, незалежно один від одного) [[Абу-ль-Вафа|Абу-ль-Вафою]], [[Абу Махмуд аль-Ходжанді|аль-Ходжанді]] та {{нп|Ібн Ірак|ібн Іраком||Abu Nasr Mansur}} наприкінці X століття{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=92—96}}. В іншому трактаті ібн Ірака сформульована і доведена [[теорема синусів]] для плоского трикутника{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=111}}. [[Теорема косинусів (сферична геометрія)|Сферична теорема косинусів]] у загальному вигляді сформульована в країнах ісламу не була, однак у працях Сабіта ібн Курри, аль-Баттані та інших астрономів є твердження, які їй еквівалентні{{sfn|Матвиевская Г. П.|2012|с=96—98}}.

Фундаментальне викладення тригонометрії як самостійної науки (як плоскої, так і сферичної) дав перський [[математик]] і астроном [[Насир ад-Дін ат-Тусі]] 1260 року<ref>''Туси Насирэддин''. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.</ref>. Його «Трактат про повний чотиристоронник» містить практичні способи розв'язування типових задач, зокрема і найважчих, розв'язаних самим ат-Тусі&nbsp;— наприклад, побудова сторін сферичного трикутника за заданими трьома кутами{{sfn|Рыбников К. А.|1960|с=105}}. Таким чином, до кінця XIII століття були відкриті базові теореми, необхідні для ефективного розв'язування трикутників.

В Європі розвиток тригонометричної теорії став надзвичайно важливим у Новий час, в першу чергу для [[Артилерія|артилерії]], [[Оптика|оптики]] і [[Морська навігація|навігації]] при дальніх морських подорожах. 1551 року з'явилися 15-значні тригонометричні таблиці {{нп|Георг Йоахім фон Ретик|Ретика||Georg Joachim Rheticus}}, учня Коперника, з кроком 10"{{sfn|История математики, том I|1970|с=320}}. Потреба у складних тригонометричних розрахунках викликала на початку XVII століття відкриття [[логарифм]]ів, причому перші логарифмічні таблиці [[Джон Непер|Джона Непера]] містили лише логарифми тригонометричних функцій. Серед інших відкриттів Непера&nbsp;— ефективний алгоритм розв'язування сферичних трикутників, який отримав назву [[Формули аналогії Непера|«формул аналогії Непера»]]<ref>{{книга|автор=Степанов Н. Н.|назва=Сферическая тригонометрия|частина=§ 42. Формулы «аналогии Непера»|місто={{М.}}—{{comment|Л.|Ленинград}}|видавництво=ОГИЗ|рік=1948|сторінок=154|сторінки=87—90}}</ref>. Алгебраїзація тригонометрії, почата [[Франсуа Вієт]]ом, була завершена [[Леонард Ейлер|Леонардом Ейлером]] у XVIII столітті, після чого алгоритми розв'язування трикутників набули сучасного вигляду.

== Див. також ==
* [[Подібність трикутників]]
* [[Сферична тригонометрія]]
* [[Сферичний трикутник]]
* [[Сферична теорема Піфагора]]
* [[Тріангуляція (геодезія)|Тріангуляція]]
* [[Тригонометричні тотожності]]
* [[Тригонометричні функції]]
* [[Формули Мольвейде]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
; Теорія і алгоритми
* {{книга |автор=Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
  |назва=Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений
  |видання=19-е изд. |місце={{М.}} |видавництво=Просвещение
  |рік=2009 |сторінок= 384 |isbn=978-5-09-021136-9 |ref=Геометрия: 7—9 классы }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Выгодский М. Я. |ref=Выгодский М. Я.
   |назва=Справочник по элементарной математике |місце ={{М.}} |видавництво=Наука |рік=1978 }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л.
  |назва=Тригонометрия, учебник для 10 класса |місце = {{М.}} |видавництво=МЦНМО |рік=2002
  |isbn=5-94057-050-X |ref=Тригонометрия}}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.
  |назва=Элементарная математика. Повторительный курс |видання=Издание третье, стереотипное
  |видавництво=Наука |місце={{М.}} |рік=1976 |сторінок=591 |ref=Элементарная математика}}{{ref-ru}}
* {{книга|автор=Мензел Д. (ред.) |ref=Основные формулы физики
  |назва=Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы
  |місце={{М.}}|видавництво=Изд. иностранной литературы |рік=1957 |сторінок=658 }}{{ref-ru}}
* {{книга |частина=Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии
  |назва=Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах) |сторінок=568 |сторінки=518-557
  |том=4 |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/encikl/enc-el-4.htm |рік=1963
  |місце={{М.}} |видавництво=Физматгиз |ref=Энциклопедия элементарной математики }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Степанов Н. Н. |назва=Сферическая тригонометрия |місце = {{М.}}—{{comment|Л.|Ленинград}}
   |видавництво=ОГИЗ |рік=1948 |ref=Степанов Н. Н. }}{{ref-ru}}

; Історія
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |ref=Глейзер Г. И.
  |назва=История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей
  |видавництво=Просвещение |місце={{М.}} |рік=1982 |сторінок=240 |сторінки=76-95 }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Глейзер Г. И. |ref=Глейзер Г. И.
  |назва=История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей
  |видавництво=Просвещение |місце={{М.}} |рік=1983 |сторінок=352 }}{{ref-ru}}
* История математики под редакцией А.&nbsp;П. Юшкевича в трёх томах, {{М.}}: Наука.
** {{книга |частина=История математики. С древнейших времен до начала Нового времени
  |назва=История математики |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm
  |відповідальний=Под редакцией А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича, в трёх томах
  |місце={{М.}} |видавництво=Наука |рік=1970 |том=I |ref=История математики, том I }}{{ref-ru}}
** {{книга |частина=Математика XVII столетия
  |назва=История математики |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
  |відповідальний=Под редакцией А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича, в трёх томах
  |місце={{М.}} |видавництво=Наука |рік=1970 |том=II |ref=История математики, том II }}{{ref-ru}}
** {{книга |частина=Математика XVIII столетия
  |назва=История математики |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm
  |відповідальний=Под редакцией А.&nbsp;П.&nbsp;Юшкевича, в трёх томах
  |місце={{М.}} |видавництво=Наука |рік=1972 |том=III |ref=История математики, том III }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Матвиевская Г. П.
  |назва=Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье |видання=Изд. 2-е |ref=Матвиевская Г. П. 
  |місце={{М.}} |видавництво=Либроком |рік=2012 |сторінок=160 |isbn=978-5-397-02777-9
  |серія=Физико-математическое наследие: математика (история математики) }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Рыбников К. А. |назва=История математики в двух томах |місце={{М.}}
  |видавництво=Изд. МГУ |рік=1960 |том=I |ref=Рыбников К. А. }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. |ref=Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П.
  |назва=Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся
  |місце={{М.}} |видавництво=Просвещение |рік=1978 |сторінок=95 |серія=Люди науки }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=[[Ієронім Георг Цейтен|Цейтен Г. Г.]] |назва=История математики в древности и в средние века
   |місце={{М.}}-{{comment|Л.|Ленинград}} |видавництво=ГТТИ |рік=1932 |сторінок=230 |ref=Цейтен Г. Г. }}{{ref-ru}}
* {{книга |автор=[[Ієронім Георг Цейтен|Цейтен Г. Г.]] |назва=История математики в XVI и XVII веках
   |місце={{М.}}-{{comment|Л.|Ленинград}} |видавництво=ОНТИ |рік=1938 |сторінок=456 |ref=Цейтен Г. Г. }}{{ref-ru}}
{{Трикутник}}
{{Сферична тригонометрія}}
[[Категорія:Тригонометрія]]