Перегляд вихідного коду сторінки Розв'язна група

{{Теорія груп|expanded=Properties}}
В [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] '''розв'язні групи''' &nbsp;— [[група (алгебра)|групи]] що відіграють вирішальну роль в [[теорія Галуа|теорії Галуа]]. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей [[група автоморфізмів|груп автоморфізмів]] тих [[поліном]]ів, розв'язки яких можуть бути записані [[Розв'язок у радикалах|у радикалах]].

== Визначення ==
Група ''G'' називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг [[підгрупа|підгруп]]:
: <math>\{1\}=G_0\subset G_1\subset\cdots\subset G_k=G</math>

такий, що <math>\ G_{j-1}</math> є [[нормальна підгрупа|нормальною підгрупою]] <math>\ G_j</math> а також [[Факторгрупа|факторгрупи]]
<math>\ G_j/G_{j-1}</math> для <math>j=1,2,\dots,k</math> є [[Абелева група|абелевими]].

== Властивості ==

* Якщо H&nbsp;— нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх [[Прямий добуток груп|прямий добуток]] (і навіть [[напівпрямий добуток]]) розв'язний.<ref name="GBp115">{{harvnb|Ганюшкін|Безущак|2005|с=115}}</ref>
* Всяка [[підгрупа]] і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.<ref name="GBp115"/>
* Якщо [[порядок групи|порядок]] скінченної групи ділиться лише на два [[прості числа]], то така група розв'язна.<ref name="GBp115"/>

== Приклади ==

* Група невироджених верхніх [[трикутна матриця|трикутних матриць]] є розв'язна.
* [[Вільна група]] рангу більше одиниці не є розв'язною.
* [[Симетрична група]] <math>\ S_n</math> є розв'язною тоді і тільки тоді, коли <math>n\le 4</math>.

Ланцюги нормальних підгруп <math>S_n</math>:
* [[група S2|<math>S_2</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow}</math>[[нейтральний елемент|<math>{e}</math>]]<math>,\qquad\qquad\qquad (C_2=S_2)</math>
* [[група S3|<math>S_3</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow}</math>[[група C3|<math>C_3</math>]]<math>\overset{3}{\longrightarrow} {e}, \qquad\quad (C_3=A_3)</math>
* [[група S4|<math>S_4</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow}</math>[[група A4|<math>A_4</math>]]<math>\overset{3}{\longrightarrow}</math>[[група V4|<math>V_4</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow} C_2 \overset{2}{\longrightarrow} {e}</math>
* [[група S5|<math>S_5</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow}</math>[[група A5|<math>A_5</math>]]<math>\overset{60}{\longrightarrow} {e}</math>
* [[група S6|<math>S_6</math>]]<math>\overset{2}{\longrightarrow}</math>[[група A6|<math>A_6</math>]]<math>\overset{360}{\longrightarrow} {e}</math>

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==

=== Українською ===
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{cite book
 | автор1         = Ганюшкін О. Г.
 | автор2         = Безущак О. О.
 | назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 | url            = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 | місце          = Київ
 | видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 | рік            = 2005
 | pages          = 
 | ref            = {{sfnref|Ганюшкін|Безущак|2005}}
}}
* {{Артін.Теорія Галуа}}

=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

[[Категорія:Теорія груп]]