Перегляд вихідного коду сторінки Розбиття одиниці

У математиці '''розбиттям одиниці''' [[Топологічний простір|топологічного простору]] {{tmath|X}} називають сімейство неперервних функцій з {{tmath|X}} в одиничний інтервал [[одиничний інтервал]] <math>[0,1]</math>, які задовольняють для довільної точки <math>x\in X</math> наступним умовам:
* існує [[Окіл|окіл]] точки {{tmath|x}} в якому всі, окрім [[Скінченна множина|скінченного]] числа, функції з {{tmath|R}} дорівнюють нулю
* сума всіх значень функцій в точці {{tmath|x}} дорівнює 1, тобто <math>\sum_{\rho\in R}\rho(x)=1.</math> 

[[Image:Partition of unity illustration.svg|center|thumb|500px|Розбиття одиниці на колі породжене чотирма функціями. Коло розгорнуто у відрізок (жирна лінія знизу) для наглядності. Пунктирна лінія зверху є сумою функцій розбиття.]]

Розбиття одиниці є важливим, оскільки у багатьох випадках дозволяє продовжити локальні конструкції на весь простір. Також розбиття одиниці використовують при [[Інтерполяція|інтерполяції]] інформації, обробці сигналів [[Обробка сигналів|обробці сигналів]] та теорії [[Сплайн|сплайнів]].

== Існування ==
Для існування розбиття одиниці розрізняють два підходи:

# Нехай <math>\{U_i \}_{i\in I}</math> - деяке [[відкрите покриття]] {{tmath|X}}, тоді існує розбиття <math>\{\rho_i \}_{i\in I}</math>, проіндексоване ''тією ж множиною'' {{tmath|I}} таке, що <math>\operatorname{supp}\rho_i \subseteq U_i</math>. Подібне розбиття називають '''підпорядкованим відкритому покриттю''' <math>\{U_i \}_{i\in I}</math>.
# Якщо простір є [[Локально компактний простір|локально компактним]] та задано деяке відкрите покриття <math>\{U_i \}_{i\in I}</math>, то існує розбиття <math>\{\rho_j \}_{j\in J}</math> проіндексоване, можливо іншою множиною індексів {{tmath|J}}, таке що кожна функція <math>\rho_j</math> має {{нп|Компактний носій|компактний носій||Compact support}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Compact support]] (→ [[:en:Support (mathematics)#Compact support]]) перекладена як [[Носій функції]], хоча хотіли [[Компактний носій]] (SashkoR0B0T)--> і для кожного <math>j\in J</math>, <math>\operatorname{supp}\rho_j \subseteq U_i</math> для деякого <math>i\in I</math>.

Отже, або обираємо [[Носій функції|носії]] проіндексовані відкритим покриттям, або компактні носії. Якщо простір є [[Компактний простір|компактним]], то існують розбиття, які задовольняють обом умовам.

Для скінчених покриттів завжди існує неперервне розбиття одиниці підпорядковане цьому покриттю, якщо відповідний простір є локально компактним та Гаусдорфовим.<ref>{{Rudin.Real and complex analysis}}</ref>

Для існування розбиття яке є підпорядкованим довільному відкритому покриттю, простір має бути [[Паракомпактний простір|паракомпактним]]. В їх побудові використовуються {{нп|Згладжувальний оператор|згладжувальні оператори||Bump function}}(функції з "горбиком"), котрі існують на гладких але не аналітичних многовидах. Таким чином для відкритого покриття аналітичного многовиду не існує відповідного аналітичного розбиття яке було б підпорядковане цьому покриттю. ''Див.'' [[аналітичне продовження]].

Якщо {{tmath|R}} та {{tmath|T}} - розбиття одиниці для просторів {{tmath|X}} та {{tmath|Y}} відповідно, то множина всіх пар <math>\{\rho\otimes\tau:\rho\in R,\tau\in T\}</math> є розбиттям одиниці декартового добутку <math>X\times Y</math>. Тензорний добуток функцій має вигляд <math>(\rho\otimes\tau)(x,y)=\rho(x)\tau(y)</math>.

== Приклад ==
Ми можемо побудувати розбиття одиниці на <math>S^1</math> розглянувши карту навколо точки <math>q\in S^1</math> з областю визначення <math>S^1 \setminus\{p\}</math>. Далі, нехай <math>\Phi</math> функція з горбиком визначена на <math>\mathbb{R}</math> наступним чином
:<math>\Phi(x)=
\begin{cases}
	\exp\left(\frac{1}{x^2 -1}\right)& x\in(-1,1)\\
	0&\text{в іншому випадку}
\end{cases}</math>

тоді функція <math>\Phi</math> та <math>1-\Phi</math> можуть бути продовжені єдиним чином на <math>S^1</math> задавши <math>\Phi(p)=0</math>. Тоді множина <math>\{(S^1\setminus\{p\},\Phi)</math>, <math>(S^1\setminus\{q\},1-\Phi)\}</math> є розбиттям одиниці над <math>S^1</math>.

== Варіанти означення ==
Інколи використовують більш слабке означення: достатньо щоб сума значень функцій у вибраній точці була додатною, на відміну від 1, для кожної точки простору. При цьому, якщо є подібна сім'я функцій <math>\{\psi_i \}_{i=1}^\infty</math> то ми можемо отримати розбиття одиниці в строгому сенсі поділивши на суму <math>\sigma(x):=\sum_{i=1}^\infty \psi_i (x)</math>, отримане розбиття <math>\{\sigma^-1 \psi_i\}_{i=1}^\infty</math> є коректно означеним так як в кожній точці лише скінчена кількість доданків є ненульовою. Більше того, деякі автори опускають умову локальної скінченності носіїв, вимагаючи лише щоб <math>\sum_{i=1}^\infty \psi_i (x)<\infty</math> для всіх точок {{tmath|x}}.<ref>{{Cite book| last=Strichartz| first= Robert S.|url=https://www.worldcat.org/oclc/54446554|title=A guide to distribution theory and Fourier transforms |date=2003|publisher=World Scientific Pub. Co|isbn=981-238-421-9|location=Singapore|oclc=54446554}}</ref>

== Застосування ==
Розбиття одиниці можуть бути використані для визначення інтегралу (відносно [[Форма об'єму|форми об'єму]]) функції визначеної на многовиді: спочатку ми означити інтеграл для функції чий носій повністю міститься в локальній карті; після цього будується розбиття одиниці для того щоб означити інтеграл для довільної функції; нарешті ми можемо показати що визначення не залежить від вибору розбиття.

Розбиття одиниці можна використати щоб показати існування [[Ріманова метрика|Ріманової метрики]] на довільному многовиді.

Метод перевалу використовує розбиття одиниці для побудови асимптотик для інтегралів.

{{нп|Фільтр Лінквіца-Райлі|||Linkwitz–Riley filter}} є прикладом практичного застосування розбиття одиниці для розділення вхідного сигналу на два сигнали високої та низької частоти.

[[Поліноми Бернштейна]] фіксованої степені {{tmath|m}} є сімейством <math>m+1</math> лінійно незалежних поліномів, які є прозбиттям одиниці на відрізку <math>[0,1]</math>.

Розбиття одиниці застосовуються для визначення глобальних гладких апроксимацій для функцій [[Простір Соболєва|Соболєва]] на обмежених областях визначення

== Див. також ==
*{{нп|Гладкі розбиття одиниці|||Smoothness}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Smoothness]] перекладена як [[Гладкість функції]], хоча хотіли [[Гладкі розбиття одиниці]] (SashkoR0B0T)-->
*{{нп|Аксіома склейки|||Gluing axiom}}
*{{нп|Тонкий пучок|||Fine sheaf}}

== Джерела ==
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{MathWorld|urlname=PartitionofUnity}}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Розбиття одиниці}}
[[Категорія:Диференціальна топологія]]
[[Категорія:Топологія]]