Перегляд вихідного коду сторінки Резольвента (гомологічна алгебра)

У [[Математика|математиці]], і зокрема у [[Гомологічна алгебра|гомологічній алгебрі]], '''резольвентою''' (або '''лівою резольвентою'''; двоїсте поняття '''корезольвента''' або '''права резольвента''') називається [[точна послідовність]] [[Модуль над кільцем|модулів]] (або, більш загально, об'єктів [[Абелева категорія|абелевої категорії]]), яка використовується для означення деяких інваріантів модуля чи об'єкта категорії. 

Як правило на об'єкти у послідовності накладаються деякі додаткові обмеження ''P'' (Наприклад те, що об'єкти мають бути вільними). Тоді резольвенти називаються ''P резольвентами''. Зокрема для кожного модуля існує '''вільна резольвента''',  '''проективна резольвента''' і '''плоска резольвента''', які є лівими резольвентами із, відповідно [[Вільний модуль|вільними модулями]], [[Проективний модуль|проективними модулями]] і [[Плоский модуль|плоскими модулями]].  Також для кожного модуля існує '''ін'єктивна резольвента''', що є правою резольвентою із [[Ін'єктивний модуль|ін'єктивними модулями]].

== Резольвенти модулів ==

=== Означення ===
Для [[Модуль над кільцем|модуля]] ''M'' над кільцем ''R'', '''лівою резольвентою''' (або просто '''резольвентою''') для ''M'' називається [[точна послідовність]] (можливо нескінченна) ''R''-модулів

: <math>\cdots\overset{d_{n+1}}{\longrightarrow}E_n\overset{d_n}{\longrightarrow}\cdots\overset{d_3}{\longrightarrow}E_2\overset{d_2}{\longrightarrow}E_1\overset{d_1}{\longrightarrow}E_0\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.</math>

[[Гомоморфізм|Гомоморфізми]] ''d<sub>i</sub>'' називається граничними відображеннями.  Відображення ε називається '''відображенням продовження'''. Коротко резольвенту також позначають як:

: <math>E_\bullet\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}M\longrightarrow0.</math>

Двоїстим є поняття '''правої резольвенти''' (також '''корезольвенти''' або просто '''резольвенти'''). Для модуля ''M'' над кільцем ''R'', правою резольвентою називається можливо нескінченна точна послідовність ''R''-модулів

: <math>0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^0\overset{d^0}{\longrightarrow}C^1\overset{d^1}{\longrightarrow}C^2\overset{d^2}{\longrightarrow}\cdots\overset{d^{n-1}}{\longrightarrow}C^n\overset{d^n}{\longrightarrow}\cdots,</math>

де кожен ''C<sup>i</sup>'' є ''R''-модулем. Коротко праву резольвенту також позначають як:

: <math>0\longrightarrow M\overset{\varepsilon}{\longrightarrow}C^\bullet.</math>

Резольвента (права чи ліва) називається '''скінченною''' якщо тільки скінченна кількість її модулів є ненульовою. Максимальний індекс ''n'', що позначає ненульовий модуль у скінченній резольвенті називається '''довжиною''' скінченної резольвенти.

=== Вільні, проективні, ін'єктивні і плоскі резольвенти ===
У багатьох випадках на модулі ''E''<sub>''i''</sub> у резольвенті для даного модуля ''M'' накладаються деякі додаткові умови. Наприклад, ''вільною резольвентою'' модуля ''M'' є ліва резольвента у якій всі модулі ''E''<sub>''i''</sub> є [[Вільний модуль|вільними]] ''R''-модулями. Відповідно ''проективними'' і ''плоскими'' резольвентами є ліві резольвенти у яких всі ''E''<sub>''i''</sub>  є [[Проективний модуль|проективними]] і [[Плоский модуль|плоскими]] ''R''-модулями. [[Ін'єкція (математика)|Ін'єктивною]] резольвентою називається ''права'' резольвента у якій всі ''C''<sup>''i''</sup> є [[Ін'єктивний модуль|ін'єктивними модулями]].

Для кожного ''R''-модуля існує вільна ліва резольвента,<ref>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=§6.5}}</ref> а також проективна і плоска резольвенти. Ідея доведення цього твердження полягає у визначенні ''E''<sub>0</sub> як вільного ''R''-модуля породженого елементами ''M'' і тоді ''E''<sub>1</sub> як вільного ''R''-модуля породженого елементами ядра природного відображення ''E''<sub>0</sub> &#x2192; ''M'' і т.д. Завдяки двоїстості, для кожного ''R''-модуля також існують ін'єктивні резольвенти. Проективні резольвенти (або, більш загально, плоскі резольвенти) можна використати для обчислення [[Функтор Tor|функтора Tor]].

Проективна резольвента модуля ''M'' є єдиною з точністю до ланцюгової [[Гомотопія|гомотопії]], тобто для двох проективних резольвент ''P''<sub>0</sub> → ''M'' і ''P''<sub>1</sub> → ''M'' над модулем ''M'' між ними існує [[ланцюгова гомотопія]].

Резольвенти використовуються для означення гомологічної розмірності. Мінімальна довжина скінченної проективної резольвенти модуля ''M'' називається його ''[[Проективна розмірність|проективною розмірністю]]'' і позначається pd(''M''). Наприклад, модуль має проективну розмірність 0 якщо і тільки якщо він є [[Проективний модуль|проективним модулем]]. Якщо для ''M'' не існує скінченної проективної резольвенти тоді проективна розмірність є нескінченною. Наприклад, для [[Комутативне кільце|комутативного]] [[Локальне кільце|локального кільця]] ''R'', проективна розмірність є скінченною якщо і тільки якщо ''R'' є [[Регулярне локальне кільце|регулярним]] і у цьому випадку вона є рівною [[Розмірність Круля|розмірності Круля]] кільця ''R''. Аналогічно можна дати означення ін'єктивної розмірності id(''M'') і плоскої розмірності fd(''M'') модуля.

Ін'єктивні і проективні розмірності використовуються у категорії правих ''R''-модулів для означення гомологічної розмірності для ''R'', так званої ''правої глобальної розмірності'' кільця ''R''. Натомість плоска розмірність використовується для означення слабкої глобальної розмірності. Ці розмірності є важливими характеристиками кільця. Наприклад, кільце має праву глобальну розмірність 0 якщо і тільки якщо воно є напівпростим. Кільце має слабку глобальну розмірність 0 якщо і тільки якщо воно є регулярним за фон Нейманом.

== Резольвенти у абелевих категоріях ==

Означення резольвенти об'єкта ''M'' у [[Абелева категорія|абелевій категорії]] ''A'' є таким як і вище, але ''E<sub>i</sub>'' і ''C<sup>i</sup>'' є об'єктами у ''A'', і всі відображення є [[Морфізм|морфізмами]] у ''A''.

Аналогами понять проективного і ін'єктивного модулів є [[Проективний об'єкт|проективні]] і [[Ін'єктивний об'єкт|ін'єктивні об'єкти]], і відповідно проективні і ін'єктивні резольвенти. Проте такі резольвенти можуть не існувати для загальної абелевої категорії ''A''. Якщо кожен об'єкт ''A'' має проективну (відповідно ін'єктивну) резольвенту, тоді кажуть, що ''A'' має достатню кількість проективних (відповідно достатню кількість ін'єктивних) об'єктів. 

== Ациклічна резольвента ==
У багатьох випадках важливими є не стільки об'єкти у резольвенті, а її поведінка при дії певного [[Функтор|функтора]].
Зокрема часто є важливим поняття '''ациклічної резольвенти''': для деякого [[Точний функтор|точного зліва функтора]] ''F'': ''A'' &#x2192; ''B'' між абелевими категоріями, резольвента

: <math>0 \rightarrow M \rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow E_2 \rightarrow \cdots</math>

об'єкта ''M'' у ''A'' називається ''F''-ациклічною, якщо [[похідний функтор]] ''R''<sub>''i''</sub>''F''(''E''<sub>''n''</sub>) є нульовим для всіх ''i''>0 і ''n''≥0. Відповідно ліва резольвента є ациклічною щодо точного справа функтора якщо його похідні функтори є рівними нулю на об'єктах резольвенти.

Наприклад, для ''R''-модуля ''M'', [[тензорний добуток модулів|тензорний добуток]] &nbsp;&nbsp;<math>\otimes_R M</math> є точним справа функтором '''Mod'''(''R'') &#x2192; '''Mod'''(''R''). Кожна плоска резольвента є ациклічною щодо цього функтора. Навпаки плоскі резольвента є ациклічними резольвентами для тензорного добутку на кожен модуль ''M''. Подібно, резольвентами які є ациклічними для всіх функторів '''Hom'''(&nbsp;⋅&nbsp;, ''M'') є проективні резольвенти, а ациклічними для функторів '''Hom'''(''M'', &nbsp;⋅&nbsp;) є ін'єктивні резольвенти.

Будь-яка ін'єктивна (проективна) резольвента є ''F''-ациклічною для будь-якого точного зліва (точного справа) функтора.

Значення ациклічних резольвент полягає у тому факті, що похідні функтори ''R''<sub>''i''</sub>''F'' (для точних зліва функторів, відповідно ''L''<sub>''i''</sub>''F'' для точних справа) можна отримати як гомології ''F''-ациклічних резольвент: для ациклічної резольвенти <math>E_*</math> об'єкта ''M'':

: <math>R_i F(M) = H_i F(E_*),</math>

де з правої сторони є ''i''-ий гомологічний об'єкт комплексу <math>F(E_*).</math>

Наприклад, для сталого [[Пучок (математика)|пучка]] ''R'' на [[Диференційовний многовид|диференційовному многовиді]] ''M'' існує резольвента із пучків <math>\mathcal C^*(M)</math> гладких [[Диференціальна форма|диференціальних форм]]:

: <math>0 \rightarrow R \subset \mathcal C^0(M) \stackrel d \rightarrow \mathcal C^1(M) \stackrel d \rightarrow \cdots \mathcal C^{\dim M}(M) \rightarrow 0.</math>

Пучки <math>\mathcal C^*(M)</math> є ациклічними щодо функтора глобальних перетинів <math>\Gamma: \mathcal F \mapsto \mathcal F(M)</math>. Тому когомологія пучків, яка є похідним функтором функтора глобальних перетинів &#x393; може бути обчислена як:
<math>\mathrm H^i(M, \mathbf R) = \mathrm H^i( \mathcal C^*(M)).</math>

Іншим прикладом резольвенти ациклічної щодо функтора глобальних перетинів є резольвента Годемана.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==

*[[Глобальна розмірність]]
*[[Похідний функтор]]

== Література ==

* {{Citation|title=Elementary rings and modules|year=1972|author=Iain T. Adamson|series=University Mathematical Texts|publisher=Oliver and Boyd|isbn=0-05-002192-3}}
* {{citation|last=Jacobson|first=Nathan|title=Basic algebra II|year=2009|origyear=1985|edition=Second|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-47187-7}}
* {{Citation|title=An introduction to homological algebra|year=1994|last1=Weibel|first1=Charles A|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=38|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-55987-4|mr=1269324}}

[[Категорія:Гомологічна алгебра]]