Перегляд вихідного коду сторінки Регулярний ідеал

В [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]] '''регулярний ідеал''' (також ''модулярний ідеал'')— правий (лівий) [[ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>\mathfrak{i}</math> [[кільце (алгебра)|кільця]] ''R'' з властивістю: у кільці ''R'' знайдеться хоч би один такий елемент ''e'', що для всіх елементів <math>x \in R</math> виконується <math>ex - x \in \mathfrak{i}</math> (відповідно <math>xe - x \in \mathfrak{i}</math>). Елемент ''e'' називається лівою (правою) одиницею по модулю ідеалу <math>\mathfrak{i}</math>.

Двосторонній ідеал <math>R\mathfrak{i}</math> є регулярним тоді і тільки тоді коли [[фактор-кільце]] <math>A/\mathfrak{i}</math> є кільцем з одиницею.
У кільці з одиницею ''e'' для довільного ідеалу <math>\mathfrak{i}</math> виконується <math>ex - x = 0 \in \mathfrak{i}</math> і <math>xe - x = 0 \in \mathfrak{i}</math> для кожного <math>x \in R</math>, тобто довільний ідеал кільця з одиницею є регулярним. 

Довільний власний регулярний правий (лівий) ідеал можна вкласти в [[максимальний ідеал|максимальний]] правий (лівий) ідеал, який автоматично буде регулярним.

[[Перетин множин|Перетин]] усіх максимальних регулярних правих ідеалів асоціативного кільця збігається з [[перетин множин|перетином]] усіх максимальних регулярних лівих ідеалів і є [[радикал Джекобсона|радикалом Джекобсона]] цього кільця. 

=== Приклади === 
*В кільці [[Парність (математика)|парних]] [[ціле число|цілих чисел]] (кільце без одиниці), ідеал (6) є регулярним (<math>e = 4</math>) тоді як ідеал (4) не є регулярним.

== Джерела ==
*Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,М.:  1961. 

[[Категорія:Ідеали]]