Перегляд вихідного коду сторінки Раціональне число

{{Універсальна картка}}
[[Файл:Venn_Diagram_of_Numbers.svg|lang=uk|міні|300px|Відображення [[натуральні числа|натуральних]], [[цілі числа|цілих]], '''раціональних''', [[дійсні числа|дійсних]] і [[комплексні числа|комплексних чисел]] <br/>[[Кола Ейлера|колами Ейлера]]]]
'''Раціональні числа'''&nbsp;— в [[математика|математиці]] [[множина]] раціональних чисел визначається як множина [[нескоротний дріб|нескоротних дробів]] із [[цілі числа|цілим]] [[чисельник]]ом і [[натуральні числа|натуральним]] [[знаменник]]ом:

:<math>\Q = \left\{ \frac{m}{n}, \ m \in \Z, \ n \in \N \right\}</math>

або як [[множина розв'язків]] [[рівняння]]
:<math>nx=m, \quad n \in \N, \quad m \in \Z</math>,

тобто n&nbsp;— [[Натуральні числа|натуральне число]], m&nbsp;— [[Цілі числа|ціле число]].

Множина раціональних чисел є [[підмножина|підмножиною]] [[алгебраїчні числа|алгебраїчних]] та [[дійсне число|дійсних]] чисел.

== Термінологія ==

=== Формальне означення ===
Можна дати формальне означення раціональних чисел як множини [[клас еквівалентності|класів еквівалентності]] пар <math>\left\{ (m,\;n) \mid m \in \Z,\;n \in \N \right\}</math> за [[відношення еквівалентності|відношенням еквівалентності]]
:<math>(m,\;n)\sim (m',\;n') \iff m\cdot n'=m'\cdot n.</math>

При цьому операції додавання й множення визначаються так:
* <math>\left(m_1,\;n_1\right) + \left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot n_2 + m_2\cdot n_1,\;n_1\cdot n_2\right);</math>
* <math>\left(m_1,\;n_1\right)\cdot\left(m_2,\;n_2\right) = \left(m_1\cdot m_2,\;n_1 \cdot n_2\right).</math>

=== Пов'язані ===
'''Правильним''' зветься дріб, в якого модуль чисельника менший за модуль знаменника.

Дріб, який не є правильним, зветься '''неправильним'''.

Наприклад, дроби <math>\frac{3}{5}</math>, <math>-\frac{7}{8}</math> та <math>\frac{1}{2}</math>&nbsp;є правильними, а <math>-\frac{8}{3}</math>, <math>\frac{9}{5}</math> та <math>\frac{2}{1}</math>&nbsp;є неправильними.

Будь-яке ціле число (крім нуля) можна подати в вигляді неправильного дробу зі знаменником 1.

Число 0 є правильним дробом <math>\frac{0}{1}</math>.

Дріб, записаний як ціле число й правильний дріб, зветься '''мішаним дробом''' й розглядається як сума цього числа та дробу.

Наприклад, <math>2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}</math>.

У строгій математичній літературі запис у вигляді змішаного дробу переважно не використовується через подібність позначення змішаного дробу з позначенням добутку цілого числа з дробом.

== Властивості ==

=== Основні властивості ===
Для раціональних чисел виконуються шістнадцять основних властивостей, які можна отримати з властивостей цілих чисел.<ref>{{книга
|автор        = В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов.
|частина      = Глава 2. Вещественные числа
|заголовок    = Математический анализ
|посилання    = http://sci-lib.com/book000401.html
|відповідальний = Под ред. А. Н. Тихонова
|видання      = 3-е изд., перераб. и доп
|місце        = М.
|видавництво  = Проспект
|рік          = 2006
|том          = 1
|сторінки     = 30 — 31
|сторінок     = 672
|isbn         = 5-482-00445-7
}}</ref>

# '''[[Відношення порядку|Впорядкованість]].''' Для будь-яких раціональних чисел <math>a</math> та <math>b</math> існує правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними одне й тільки одне з трьох [[Відношення|відношень]]: «<math><</math>», «<math>></math>» або «<math>=</math>». Це правило зветься ''правилом впорядкування'' і формулюється так: два невід'ємні числа <math>a=\frac{m_a}{n_a}</math> та <math>b=\frac{m_b}{n_b}</math> зв'язані тим же відношенням, що й два цілі числа <math>m_a \cdot n_b</math> та <math>m_b \cdot n_a</math>; два недодатні числа <math>a</math> та <math>b</math> зв'язані тим же відношенням, що й два невід'ємні числа <math>\left| b \right|</math> и <math>\left| a \right|</math>; якщо ж <math>a</math> невід'ємне, а <math>b</math>&nbsp;— від'ємне, то <math>a>b</math>.
#: <math>\forall a,b \in \Q ~ \left( a<b \lor a>b \lor a=b \right)</math>
#: [[Файл:Suma fracciones.jpg|thumb|300px|Додавання дробів]]
# '''[[Додавання|Операція додавання]].''' Для будь-яких раціональних чисел <math>a</math> та <math>b</math> існує ''правило додавання'', яке ставить їм у відповідність певне раціональне число <math>c</math>. При цьому число <math>c</math> зветься ''[[сума|сумою]]'' чисел <math>a</math> та <math>b</math> й позначається <math>\left( a+b \right)</math>, а процес знаходження такого числа зветься ''додаванням''. Правило додавання має такий вигляд: <math>\frac{m_a}{n_a}+\frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot n_b + m_b \cdot n_a}{n_a \cdot n_b}</math>.
#: <math>\forall a,b \in \Q ~ \exists \left( a+b \right) \in \Q</math>
# '''[[Множення|Операція множення]].''' Для будь-яких раціональних чисел <math>a</math> та <math>b</math> існує ''правило множення'', яке ставить їм у відповідність певне раціональне число <math>c</math>. При цьому число <math>c</math> зветься ''[[добуток|добутком]]'' чисел <math>a</math> та <math>b</math> й позначається <math>\left( a \cdot b \right)</math>, а процес знаходження такого числа зветься ''множенням''. Правило множення має такий вигляд: <math>\frac{m_a}{n_a} \cdot \frac{m_b}{n_b}=\frac{m_a \cdot m_b}{n_a \cdot n_b}</math>.
#: <math>\forall a,b \in \Q ~ \exists \left( a \cdot b \right) \in \Q</math>
# '''[[Транзитивне відношення|Транзитивність]] відношення порядку.''' Для будь-якої трійки раціональних чисел <math>a</math>, <math>b</math> та <math>c</math> якщо <math>a</math> менше <math>b</math> та <math>b</math> менше <math>c</math>, то <math>a</math> менше <math>c</math>, а якщо <math>a</math> дорівнює <math>b</math> й <math>b</math> дорівнює <math>c</math>, то <math>a</math> дорівнює <math>c</math>.
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~ \left( a<b \land b<c \Rightarrow a<c \right) \land \left( a=b \land b=c \Rightarrow a=c \right)</math>
# '''[[Комутативність]] додавання.''' Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.
#: <math>\forall a,b \in \Q ~~ a+b=b+a</math>
# '''[[Асоціативність]] додавання.''' Порядок додавання трьох раціональних чисел не впливає на результат.
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)</math>
# '''Існування [[0 (число)|нуля]].''' Існує раціональне число 0 (нуль), яке не змінює будь-яке інше раціональне число при додаванні.
#: <math>\exists 0 \in \Q ~ \forall a \in \Q ~~ a+0=a</math>
# '''Існування протилежних чисел.''' Будь-яке раціональне число має відповідне ''протилежне'' раціональне число, при додаванні до якого утворюється 0.
#: <math>\forall a \in \Q ~ \exists \left( -a \right) \in \Q ~~ a + \left( -a \right) = 0</math>
# '''Комутативність множення.''' Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.
#: <math>\forall a,b \in \Q ~~ a \cdot b = b \cdot a</math>
# '''Асоціативність множення.''' Порядок множення трьох раціональних чисел не впливає на результат.
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left( b \cdot c \right)</math>
# '''Існування [[1 (число)|одиниці]].''' Існує раціональне число 1, яке не змінює будь-яке інше раціональне число при множенні.
#: <math>\exists 1 \in \Q ~ \forall a \in \Q ~~ a \cdot 1 = a</math>
# '''Існування [[Обернене число|обернених чисел]].''' Будь-яке раціональне число, що не дорівнює нулю, має відповідне ''обернене'' раціональне число, множення на яке дає 1.
#: <math>\forall a \in \Q ~ \exists a^{-1} \in \Q ~~ a \cdot a^{-1} = 1</math>
# '''[[Дистрибутивність]] множення відносно додавання.''' Операція множення узгоджена з операцією додавання за допомогою розподільного закону:
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ \left( a+b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math>
# '''Зв'язок відношення порядку з операцією додавання.''' До лівої й правої частин раціональної нерівності можна додавати одне й те ж раціональне число.
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ a<b \Rightarrow a+c<b+c</math>
# '''Зв'язок відношення порядку з операцією множення.''' Ліву й праву частини раціональної нерівності можна множити на одне й те ж додатне раціональне число.
#: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ c>0 \land a<b \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c</math>
# '''[[Аксіома Архімеда]].''' Яким би не було раціональне число <math>a</math>, можна взяти стільки одиниць, що їхня сума буде більшою за <math>a</math>.
#: <math>\forall a \in \Q ~ \exists n \in \N ~~ \sum_{k=1}^{n}1>a</math>

=== Додаткові властивості ===
Решта властивостей раціональних чисел не входять до основних, бо вони не опираються на властивості цілих чисел, а можуть бути доведені з використанням основних властивостей чи за означенням певного математичного об'єкта. Таких властивостей дуже багато, ось деякі з них:

* Друге відношення порядку «>» також транзитивне.
*: <math>\forall a,b,c \in \Q ~~ a>b \land b>c \Rightarrow a>c</math>
* Добуток будь-якого раціонального числа на нуль дорівнює нулю.
*: <math>\forall a \in \Q ~~ a \cdot 0 = 0</math>
* Раціональні нерівності одного знаку можна почленно додавати.
*: <math>\forall a,b,c,d \in \Q ~~ a>b \land c>d \Rightarrow a+c>b+d</math>
* Множина раціональних чисел <math>\Q</math> є [[Поле (алгебра)|полем]] відносно операцій додавання та множення дробів.
*: <math>\left(\Q, +, \cdot \right)</math>&nbsp;— поле
* Кожне раціональне число є [[Алгебраїчні числа|алгебраїчним]].
*: <math>\Q \subset \mathbb{A}</math>

=== Топологічні властивості ===
[[підпростір топологічного простору|Підпростір]] <math>\Q</math> [[евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R</math> має такі властивості:
* <math>\Q</math> є [[F-сігма-множина|F<sub>&sigma;</sub>-множиною]], але не є [[Gδ-множина|G<sub>δ</sub>-множиною]] в <math>\R</math>.
* [[Евклідова відстань|Евклідова метрика]] перетворює <math>\Q</math> на [[метричний простір]], який є [[цілком нормальний простір|цілком нормальним]] та [[паракомпактний простір|паракомпактним]].
* <math>\Q</math>, як [[зліченна множина|зліченне]] [[об'єднання множин|об'єднання]] одноточкових множин, є [[множина першої категорії|простором першої категорії]].
* <math>\Q</math> [[сепарабельний простір|сепарабельний]].
* <math>\Q</math> задовольняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]].
* <math>\Q</math> не [[локально компактний простір|локально компактний]] і не [[σ-локально компактний простір|σ-локально компактний]].
* <math>\Q</math> [[σ-компактна|σ-компактний]].
* <math>\Q</math> [[цілком відокремлений простір|цілком відокремлений]].
* <math>\Q</math> [[щільна у собі множина|щільний у собі]] і не [[розсіяний простір|розсіяний]].
* <math>\Q</math> [[нульвимірний простір|нульвимірний]].
* [[перетин множин|Перетин]] <math> [0,1] \cap \Q</math> [[Цілком обмежений простір|цілком обмежений]], але не [[компактний простір|компактний]].

== Зліченність ==
[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|300px|[[Нумерація Кантора|Нумерація раціональних чисел]]]]
'''[[Зліченна множина]]'''&nbsp;— в [[теорія множин|теорії множин]] така [[скінченна множина|нескінченна множина]], елементи якої можна занумерувати [[Натуральні числа|натуральними числами]]. Легко довести, що множина раціональних чисел зліченна. Для цього достатньо привести алгоритм, який нумерує раціональні числа, тобто встановлює бієкцію між множинами раціональних і натуральних чисел. Ілюстрація зображує один з варіантів цього алгоритму. Існують і інші способи занумерувати раціональні числа. Наприклад для цього можна використати [[ряд Фарея]], [[дерево Калкіна — Вілфа]] або [[дерево Штерна — Броко]].

== Див. також ==
* [[Дріб]]
* [[Раціональний вираз]]
* [[Дійсне число|Дійсні числа]]
* [[Ірраціональні числа]]
* [[Щільний порядок]]

== Виноски ==
{{reflist}}

== Джерела ==
{{Вікіпідручник|Основні числові системи}}
* {{Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию}}

{{Quantity}}

[[Категорія:Алгебричні числа]]
[[Категорія:Дроби]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Топології на підмножинах дійсної прямої]]