Перегляд вихідного коду сторінки Ранг (лінійна алгебра)

'''Ранг [[Матриця (математика)|матриці]]''' &nbsp;— це максимальна кількість її [[лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] стовпців (рядків). Це число дорівнює [[розмірність простору|розмірності]] [[векторний простір|векторного простору]], [[лінійна оболонка|породженого]] (або натягнутого) її стовпцями (рядками). Ранг матриці є однією з її фундаментальних характеристик.

== Основні означення ==
[[лінійно незалежні вектори|Лінійно незалежна]] підсистема системи векторів називається '''максимальною лінійно незалежною підсистемою''', якщо, приєднуючи до неї довільний вектор системи, будемо діставати лінійно залежну систему векторів. Кількість векторів у такій підсистемі даної системи векторів називається '''рангом''' цієї системи векторів.

Ранг системи вектор-стовпців матриці називається '''стовпцевим рангом''' матриці, аналогічно, ранг системи вектор-рядків матриці називається '''рядковим рангом''' матриці.

Можна довести, що стовпцевий і рядковий ранги матриці збігаються. І їх спільне значення називається '''рангом''' матриці.

Позначення: <math>\operatorname{rank} A</math>, <math>\operatorname{rk} A</math>, <math>\operatorname{rang} A</math> або <math>\operatorname{rg} A</math>

Кажуть, що матриця ''A'' розміру ''n''&times;''m'' має повний ранг, якщо її ранг дорівнює <math>\min(n, m).</math> '''Дефектом''' матриці ''A'' називають різницю <math>\min(n, m) - \operatorname{rank} A.</math> Дефект матриці ''A'' позначають через <math>\operatorname{def} A.</math>

'''Рангом''' [[лінійне відображення|лінійного відображення]] або [[оператор (математика)|оператора]] <math>\Phi</math> називається [[розмірність простору|розмірність]] його [[образ відображення|образу]]: <math>\operatorname{rank} (\Phi) = \dim (\operatorname{Im} (\Phi)),</math> де <math>\dim</math>&nbsp;— розмірність векторного простору, а <math>\operatorname{Im}</math>&nbsp;— образ відображення.

'''Дефектом''' оператора <math>\Phi</math> називається розмірність його [[ядро та образ лінійного оператора|ядра]]: <math>\operatorname{def} (\Phi) = \dim (\operatorname{Ker} (\Phi)),</math> де <math>\operatorname{Ker}</math>&nbsp;— ядро відображення.

== Обчислення рангу матриці ==
Загальний підхід до визначення рангу матриці полягає в тому, щоб звести її до більш простого вигляду, як правило, до [[рядкова ступінчаста форма|рядкової ступінчастої форми]] за допомогою [[елементарні перетворення матриці|елементарних операцій]] над рядками. Ці операції над рядками не змінюють простір, породжений ними, отже, таким чином не змінюють ранг матриці. Ранг рядкової ступінчастої матриці дорівнює кількості її ненульових рядків.

Наприклад, матрицю
:<math>A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-2 & -3 & 1 \\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}</math>

можна звести до рядкової ступінчастої форми за допомогою наступних елементарних операцій над рядками:
<math display="block">\begin{align}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-2 & -3 & 1 \\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}
&\xrightarrow{2R_1 + R_2 \to R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{-3R_1 + R_3 \to R_3}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 1 & 3\\
0 & -1 & -3
\end{pmatrix} \\
&\xrightarrow{R_2 + R_3 \to R_3}
\,\,
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0& 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{-2R_2 + R_1 \to R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -5 \\
0 & 1 &3 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}~.
\end{align}</math>

Отримана матриця має два ненульові рядки, тому ранг матриці ''A'' дорівнює 2.

== Властивості ==
Нехай ''A''&nbsp;— матриця розміру ''n''&times;''m'' і ''f''&nbsp;— лінійне відображення, визначене цією матрицею.

* Тільки [[нульова матриця]] має нульовий ранг.
* <math>\operatorname{rank}(A) \leq \min(m, n).</math>
* ''f'' є [[ін'єкція (математика)|ін'єкцією]] [[тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли ''A'' має ранг ''m'' (має ''повний стовпцевий ранг'').
* ''f'' є [[сюр'єкція|сюр'єкцією]] тоді і тільки тоді, коли ''A'' має ранг ''n'' (має ''повний рядковий ранг'').
* Якщо ''A'' є [[квадратна матриця|квадратною матрицею]], то ''A'' є [[невироджена матриця|невиродженою матрицею]] тоді і тільки тоді, коли ''A'' має повний ранг. Також при повному ранзі ''f'' є [[бієкція|бієкцією]].
* Якщо ''B''&nbsp;— матриця розміру ''m''&times;''k'', то 
::<math>\operatorname{rank}(AB) \leq \min(\operatorname{rank}\ A, \operatorname{rank}\ B).</math>
* Якщо матриця ''B'' розміру ''m''&times;''k'' має ранг ''m'', то
::<math>\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank} A.</math>
* Якщо матриця ''C'' розміру ''l''&times;''n'' має ранг ''n'', то
::<math>\operatorname{rank}(CA) = \operatorname{rank} A.</math>
* Ранг ''A'' дорівнює ''r'' тоді і тільки тоді, коли існують оборотні квадратні матриця ''X'' і ''Y'' порядків ''n'' і ''m'' відповідно, такі що
::<math> XAY =
\begin{pmatrix}
  I_r & 0 \\
  0 & 0 \\
\end{pmatrix},</math>
:де {{math|''I''<sub>''r''</sub>}}&nbsp;— [[одинична матриця]] порядку ''r''.
* Нерівність [[Джеймс Джозеф Сильвестр|Сильвестра]] для рангів: якщо ''A''&nbsp;— матриця розміру ''n''&times;''m'' і ''B''&nbsp;— матриця розміру ''m''&times;''k'', то
::<math>\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - m \leq \operatorname{rank}(A B).</math>
* Нерівність [[Фердинанд Георг Фробеніус|Фробеніуса]] для рангів: якщо матриці {{math|''AB''}}, {{math|''ABC''}} і {{math|''BC''}} визначені, то
::<math>\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank} B + \operatorname{rank}(ABC).</math>
* Якщо ''B''&nbsp;— матриця того ж розміру, що і ''A'', то
::<math>\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)</math> ({{не перекладено|напівадитивність|напівадитивність|en|Subadditivity}}).
* <math>\operatorname{rank}(f) + \operatorname{def}(f) = m</math> ({{не перекладено|теорема про ранг та дефект|теорема про ранг та дефект|en|rank–nullity theorem}}).
* Якщо матриця ''A'' визначена над [[дійсне число|дійсними числами]], то ранг ''A'' та ранг відповідної їй [[визначник Грама|матриці Грама]] рівні. Таким чином, для дійсних матриць
::<math>\operatorname{rank}(A^\mathrm{T} A) = \operatorname{rank}(A A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}).</math>
* Якщо матриця ''A'' визначена над [[комплексне число|комплексними числами]], то
::<math>\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} \overline{A} = \operatorname{rank} A^\mathrm{T} = \operatorname{rank} A^* = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*),</math>
:де {{math|''A''<sup>*</sup>}}&nbsp;— [[ермітово-спряжена матриця|ермітово-спряжена]] до {{math|''A''}} матриця.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Теорія матриць]]
* [[Визначник]]

== Джерела ==
* {{книга
 |автор          = Безущак О. О., Ганюшкін О. Г., Кочубінська Є. А 
 |частина        = 
 |заголовок      = Навчальний посібник з лінійної алгебри
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2019/11/linear-algebra.pdf
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2019
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 224
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}
* {{книга
 |автор          = Курдаченко Л. А., [[Кириченко Володимир Васильович|Кириченко В. В.]], Семко М. М.
 |частина        = 
 |заголовок      = Вибрані розділи алгебри та теорії чисел
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2020/03/posibnyk-kyrychenko.pdf
 |видання        = 
 |відповідальний = 
 |місце          = Київ
 |видавництво    = Ін-т математики НАН України
 |рік            = 2005
 |том            = 
 |сторінки       = 
 |сторінок       = 208
 |isbn           = 
 |ref            = 
}}
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Ранг матриці та способи його обчислення|сторінки=19-23}}

{{Перекласти|en|Rank (linear algebra)}}
{{Математика-доробити}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Теорія матриць]]