Перегляд вихідного коду сторінки Радіоактивність

{{unibox}}

[[Файл:Alpha Decay.svg|thumb|[[Альфа-розпад]] це один з радіоактивних розпадів, під час якого ядро випускає [[альфа-частинка|альфа-частинку]], таким чином перетворюючись на атом з меншим на 4 [[масове число|масовим числом]] і меншим на 2 [[Атомний номер|атомним номером]].]]
'''Радіоакти́вність''' (від {{lang-la|radio}}&nbsp;— «випромінюю» {{lang-la2|radius}}&nbsp;— «промінь» і {{lang-la2|activus}}&nbsp;— «дієвий»)&nbsp;— явище перетворення нестійкого [[Ізотопи|ізотопу]] [[хімічний елемент|хімічного елементу]] на інакший ізотоп (зазвичай іншого елемента) ('''радіоактивний розпад''') шляхом [[Випромінення|випромінювання]] [[Гамма-промені|гамма-квантів]], [[Елементарна частинка|елементарних частинок]] або [[Ядро атома|ядерних]] фрагментів. Ці дуже проникливі потоки частинок, іноді називають '''ядерним випромінюванням'''.

== Історія ==
[[Файл:Radioactive.svg|thumb|200px|right|Символ, що використовується для позначення [[Радіоактивні матеріали|радіоактивних матеріалів]]]]

Радіоактивність відкрив у [[1896 у науці|1896 році]] [[Антуан Анрі Беккерель]]. Сталося це випадково. Вчений працював із [[Солі (хімія)|солями]] [[уран (хімічний елемент)|урану]] і загорнув свої зразки разом із [[фотопластина]]ми в непрозорий матеріал. Фотопластини виявилися засвіченими, хоча доступу світла до них не було. Беккерель зробив висновок про невидиме оку випромінювання солей урану. Він дослідив це випромінювання і встановив, що інтенсивність випромінювання визначається тільки кількістю урану в препараті і зовсім не залежить від того, до яких сполук він входить. Тобто, ця властивість притаманна не сполукам, а [[Хімічний елемент|хімічному елементу]] урану (докладніше див. [[Дослід радіоактивності Антуаном Анрі Беккерелем]]).

У [[1898|1898 році]] [[Гергард Шмідт]] та [[П'єр Кюрі]] і [[Марія Склодовська-Кюрі]] відкрили випромінювання [[Торій|торію]]. Пізніше Кюрі відкрили [[полоній]] та [[радій]].

У 1903 році подружжю Кюрі було присуджено [[Нобелівська премія з фізики|Нобелівську премію]]. На сьогодні відомо близько 40 природних елементів, яким властива радіоактивність.

Також, в даний час, крім [[Альфа-розпад|альфа-]], [[бета-розпад|бета-]] і [[гамма-розпад]]ів, помічено розпади з емісією [[нейтрон]]а, [[протон]]а (а також двох протонів), [[Кластерний розпад|кластерна радіоактивність]], [[спонтанний поділ]], [[електронне захоплення]], [[позитронний розпад]] (або β<sup>+</sup>-розпад), а також [[подвійний бета-розпад]] (і його види) зазвичай вважаються різними типами бета-розпаду.

Всі хімічні елементи з [[Атомний номер|атомним номером]], більшим за 83&nbsp;— радіоактивні.

''Природна радіоактивність''&nbsp;— спонтанний розпад ядер елементів, що зустрічаються в природі.

''Штучна радіоактивність''&nbsp;— спонтанний розпад ядер елементів, отриманих штучним шляхом, через відповідні [[Ядерна реакція|ядерні реакції]].

== Типи радіоактивності ==
[[Файл:Alfa beta gamma radiation.svg|150px|thumb|[[Альфа-частинки]] можна повністю зупинити за допомогою аркушу паперу, [[бета-частинки]] за допомогою [[Алюміній|алюмінієвого]] екрану. [[Гамма-промені]] можна зупинити лише із використанням значно істотнішої маси, такої як товстий шар [[свинець|свинцю]].]]
[[Ернест Резерфорд]] експериментально встановив ([[1899]]), що солі урану випромінюють 3 типи променів, які по-різному відхиляються в [[Магнітне поле|магнітному полі]]:

* промені першого типу відхиляються так само, як потік [[Електричний заряд|додатно заряджених]] частинок. Їх назвали [[Альфа-частинка|альфа-променями]];
* промені другого типу відхиляються в магнітному полі так само, як потік негативно заряджених частинок (в протилежну сторону), їх назвали [[Бета-частинки|бета-променями]];
* і промені третього типу, які не відхиляються магнітним полем, назвали [[гамма-промені|гамма-променями]].

[[Спектр]] α- і γ-випромінювань переривисті («дискретні»), а спектр β-випромінювання&nbsp;— неперервний.

'''[[Бета-розпад|β-розпад]] (Бета розпад)'''

Беккерель довів, що β-промені є потоком [[електрон]]ів. β-розпад&nbsp;— прояв [[Слабка взаємодія|слабкої взаємодії]].

''β-розпад''&nbsp;— внутрішньо-[[нуклон]]ний процес, тобто відбувається перетворення [[нейтрон]]а в [[протон]] із вильотом [[електрон]]а й [[Нейтрино|антинейтрино]] з ядра:

: <math>{}^{1}_{0}\textrm{n}\rightarrow {}^{1}_{1}\textrm{p} + {}^{0}_{-1}\textrm{e}</math> + γ

Правило зсуву Содді для β-розпаду:

: <math>{}^{A}_{Z}\textrm{X}\rightarrow {}^{A}_{Z+1}\textrm{Y} + {}^{0}_{-1}\textrm{e}</math> + γ

Приклад:

: <math>{}^{3}_{1}\textrm{H}\rightarrow {}^{3}_{2}\textrm{He} + {}^{0}_{-1}\textrm{e}</math> + γ

Після β-розпаду [[атомний номер]] елемента змінюється і він зміщується на одну клітинку в [[Періодична система елементів|таблиці Менделєєва]].

'''[[Альфа-розпад|α-розпад]] (Альфа розпад)'''

''α-розпадом'' називають мимовільний розпад атомного ядра на ядро-продукт і α-частинку (ядро атома <math>{}^{4}_{2}\textrm{He}</math>).

α-розпад є властивістю важких ядер з [[масове число|масовим числом]] А≥200. Всередині таких ядер завдяки властивості насичення [[Сильна взаємодія|ядерних сил]], утворюються відособлення [[Альфа-частинка|α-частинок]], що складаються з двох протонів і двох нейтронів. Утворена таким чином α-частинка дужче відчуває кулонівське відштовхування від інших протонів ядра, ніж окремі протони. Одночасно на α-частинку менше впливає ядерне міжнуклонне притягання за рахунок сильної взаємодії, ніж на решту нуклонів.

Правило зсуву Содді для α-розпаду:

: <math>{}^{A}_{Z}\textrm{X}\rightarrow {}^{A-4}_{Z-2}\textrm{Y} + {}^{4}_{2}\textrm{He}</math>.

Приклад:

: <math>{}^{238}_{92}\textrm{U}\rightarrow {}^{234}_{90}\textrm{Th} + {}^{4}_{2}\textrm{He}</math>.

Внаслідок α-розпаду елемент зміщується на 2 клітинки до початку [[Періодична система хімічних елементів|таблиці Менделєєва]]. Дочірнє ядро, що утворилося в результаті α-розпаду, зазвичай також виявляється радіоактивним і за деякий час теж розпадається.
Процес радіоактивного розпаду відбуватиметься доти, поки не з'явиться стабільне, тобто нерадіоактивне ядро, яким частіше за все є ядра [[свинець|свинцю]] або [[бісмут]]у.

'''[[Гамма-розпад|γ-розпад]] (Гамма розпад)'''

[[Гамма-промені]]&nbsp;— це [[електромагнітна хвиля|електромагнітні хвилі]] із [[довжина хвилі|довжиною хвилі]], меншою за розміри [[атом]]а. Вони утворюються зазвичай при переході ядра атома із [[Збуджений стан квантовомеханічної системи|збудженого стану]] в [[Основний стан квантовомеханічної системи|основний стан]]. При цьому кількість нейтронів чи протонів у ядрі не змінюється, а отже ядро залишається тим самим елементом. Однак випромінювання гамма-променів може супроводжувати й інші ядерні реакції.

== Період напіврозпаду ==
При радіоактивному розпаді відбуваються перетворення ядер атомів. Енергії частинок, які при цьому утворюються, набагато більші від енергій, що виділяються в типових [[хімічна реакція|хімічних реакціях]]. Тому ці процеси практично не залежать від хімічного оточення атома й від сполук, в які цей атом входить. Радіоактивний розпад відбувається мимохіть. Це означає, що неможливо визначити мить, коли розпадеться те чи інше ядро. Однак для кожного типу розпаду є характерний час, за який розпадається половина всіх радіоактивних ядер. Цей час називається [[період напіврозпаду|періодом напіврозпаду]]. Для різних радіоактивних ізотопів період напіврозпаду може лежати в дуже широких межах&nbsp;— від [[наносекунда|наносекунд]] до мільйонів [[рік|років]]. Ізотопи з малим періодом напіврозпаду дуже радіоактивні, але швидко зникають. Ізотопи з великим періодом напіврозпаду слабко радіоактивні, але ця радіоактивність зберігається дуже довгий час.

== Детектування ==
{{main|Детектор частинок}}
Детектування радіоактивного випромінювання засновано на його дії на речовину, зокрема її [[іонізація|іонізації]]. Історично вперше радіація була зареєстрована завдяки почорнінню опроміненої [[фотографія|фотопластинки]]. Фотоемульсії, в яких під дією радіації відбуваються хімічні реакції, і досі залишаються одним із методів детектування. Інший принцип детектування використовується в [[лічильник Гейгера|лічильниках Гейгера]]&nbsp;— виникнення несамостійного [[Газовий розряд|електричного розряду]] в опроміненому газі. [[Дозиметр]]и, які реєструють не окремі акти пролітання швидкої зарядженої частинки, часто використовують зміну властивостей, наприклад [[електропровідність|провідності]], опроміненого матеріалу.

== Одиниці вимірювання ==
Радіоактивність залежить від кількості нестабільних ізотопів і часу їхнього життя. [[Міжнародна система одиниць (SI)]] визначає одиницею вимірювання активності [[Бекерель]]&nbsp;— така кількість радіоактивної речовини, в якій за секунду відбувається один акт розпаду. Практично ця величина не дуже зручна, тому частіше використовують позасистемні одиниці&nbsp;— [[Кюрі]]. Іноді вживається одиниця [[Резерфорд (одиниця)|резерфорд]].

Щодо дії радіоактивного випромінювання на опромінені речовини, то використовуються ті ж одиниці, що й для [[Рентгенівське проміння|рентгенівського випромінювання]]. Одиницею вимірювання [[Доза випромінювання|дози]] поглинутого йонізуючого випромінювання в системі SI є [[Грей]]&nbsp;— така доза, при якій в [[кілограм]]і речовини виділяється один [[Джоуль]] енергії. Одиницею біологічної дії опромінення в системі SI є [[Зіверт]]. Позасистемна одиниця виділеної при опроміненні енергії&nbsp;— [[рад]].

Така одиниця, як [[Рентген (одиниця)|рентген]] є мірою не виділеної енергії, а йонізації речовини при радіоактивному опроміненні. Для вимірювання біологічної дії опромінювання використовується біологічний еквівалент рентгена&nbsp;— [[бер]].

Для характеристики інтенсивності опромінення використовують одиниці, які описують швидкість набору дози, наприклад, рентген за годину.

== Взаємодія з матерією ==
Під час взаємодії з матерією, ядерне випромінювання здатне суттєво змінювати його фізичні властивості. У твердих тілах ядерне випромінювання викликає різні радіаційні пошкодження (дефекти). Важкі ядерні частинки, проходячи через матерію, вибивають атоми з вузлів кристалічної ґратки, переміщаючи їх у міжвузля. Так утворюються дефекти кристалів типу вакансія + атом у міжвузлі. При досить великій дозі опромінення кристалічне тіло може перейти в аморфний стан. Потоки швидких електронів енергією більше 1 Мев також здатні створювати дефекти типу вакансія + атом у міжвузлі. При енергіях менших 1 Мев втрати електронів зумовлені збудженням та іонізацією атомів і молекул мішені. Основним процесом при поглинанні матерією гамма-випромінювання є фотоіонізація атомів і утворення швидких фотоелектронів (див. [[Фотоефект]]). Останні втрачають свою енергію на іонізацію й збудження атомів мішені, як і при опроміненні швидкими електронами, з тією, однак, різницею, що гамма&nbsp;— кванти проникають на значно більшу глибину, ніж швидкі електрони з тією же енергією.

Альфа, бета та гама промені по-різному поводять себе у магнітному або електричному полях.

[[Файл:Radioact1.tif|безрамки|372x372пкс]]

=== Використання ===
Після захоплення нейтронів ядрами, виникає штучна радіоактивність опроміненого зразка (мішені); за спектрами випромінювання можна проводити радіаційний хімічний аналіз мішені.

Опромінення кремнію потоками повільних нейтронів і радіаційні перетворення {{Нуклід|Si|28|посилання=так}}→{{Нуклід|P|29|посилання=так}} використовується для однорідного [[Легування (електроніка)|легування]] кремнію фосфором.

=== Негативні наслідки ===
Взагалі всі електронні прилади зазнають погіршення (деградація) параметрів у результаті довгого впливу відносно слабкого ядерного випромінювання, або короткочасного впливу потужного ядерного випромінювання.

Ядерне випромінювання, пов'язане з природною радіоактивністю, може викликати неправильне спрацьовування в великих інтегральних схемах.

=== Біологічна дія ===
Радіоактивне опромінення призводить до значного пошкодження живої тканини. Йонізація [[хімічні речовини|хімічних речовин]] в [[Тканина (біологія)|біологічній тканині]] створює можливість хімічних реакцій, які невластиві для біологічних процесів, й до утворення шкідливих речовин. Пошкодження радіацією [[ДНК]] викликає [[мутація|мутації]]. Робота з радіоактивними речовинами вимагає ретельного дотримання [[правила техніки безпеки|правил техніки безпеки]]. Радіоактивні речовини позначаються спеціальним символом, наведеним вгорі сторінки.

Радіоактивні речовини зберігаються в спеціальних контейнерах, сконструйованих таким чином, щоб поглинати радіоактивне випромінювання. Великою проблемою є захоронення [[радіоактивні відходи|радіоактивних відходів]] [[Ядерна енергетика|атомної енергетики]].

== Застосування ==
Радіоактивні речовини можна використовувати для отримання енергії в умовах, коли інші [[джерело енергії|джерела енергії]] не доступні, наприклад, на [[космічний апарат|космічних апаратах]], призначених для польотів до віддалених [[планета|планет]] [[Сонячна система|Сонячної системи]]. Енергія, яка виділяється під час радіоактивного розпаду в таких пристроях, може бути перетворена на електричну за допомогою [[Термоелектричні явища|термоелементів]].

В [[медицина|медицині]] радіоактивне опромінення використовується при лікуванні деяких форм [[Карцинома|раку]], розраховуючи на те, що ракові клітини, які швидко діляться, чутливіші до опромінення, а тому вражатимуться швидше.

Метод [[мічені атоми|мічених атомів]] дозволяє провести аналіз [[Обмін речовин|обміну речовин]] в організмі й допомагає при діагностиці захворювань.

[[Датування]] за радіоактивними ізотопами допомагає встановити вік предметів та порід й застосовується в [[геологія|геології]], [[археологія|археології]], [[палеонтологія|палеонтології]].

Радіоактивність і [[Радіоактивні матеріали|радіоактивні речовини]] також широко використовуються в різних сферах наукових досліджень.

У практиці фізичних досліджень джерелами потужного ядерного випромінювання є ядерні реактори, слабкого&nbsp;— препарати, що містять штучні радіоактивні елементи.

== Йонізівні випромінювання ==
Усі види радіоактивних випромінювань, що супроводжують радіоактивність, називають [[Іонізуюче випромінювання|іонізівними випромінюваннями]]. Йонізівне випромінювання&nbsp;— процес збудження та [[Іонізація|йонізації]] [[атом]]ів речовини при проходженні крізь них гамма-квантів та частинок, що утворилися внаслідок α- та β-розпаду. У разі проходження, наприклад, гамма-квантів крізь речовину, кванти перетворюються на пару електрон-позитрон за умови, що енергія гамма-кванту перевищує енергію цих двох частинок (>1 [[Електронвольт|МеВ]]). α-частинки швидко втрачають всю енергію, бо збуджують всі атоми, що трапляються на їх шляху (1-10&nbsp;см на повітрі, 0,01-0,2&nbsp;мм у рідинах). β-частинки менш ефективно взаємодіють з речовинами (2-3&nbsp;м на повітрі, 1-10&nbsp;мм у рідинах). γ-кванти найпроникливіші. Нейтрони, що не мають електричного заряду, безпосередньо не іонізують атоми. Проте в результаті взаємодії нейтронів з ядрами виникають швидкі заряджені частинки та гамма-кванти, що є іонізівними частинками.

Під час тривалого перебування людини в зоні радіоактивного випромінювання, відбувається йонізація та збудження її клітин. Внаслідок цього, клітини вступають у нові хімічні реакції та утворюють нові хімічні речовини, що порушують нормальне функціонування [[організм]]у. Міра дії йонізівних випромінювань це поглинута доза випромінювання (Грей), що рівна відношенню переданої йонізівними випромінюваннями енергії до маси речовини (D=E/m). Потужність дози випромінювання вимірюється відношення поглинутої дози випромінювання до часу (P<sub>в</sub>=D/t).

Радіоактивне випромінювання використовують при [[Рентгенологія|рентгенологічному]] обстеженні.

== Математика радіоактивного розпаду ==
{{hatnote|Математичні подробиці експоненційного розпаду в загальному випадку дивись у [[експоненційний розпад]].}}
{{hatnote|Пов'язані виведення дивись у [[період напіврозпаду]].}}

=== Універсальний закон радіоактивного розпаду ===
Радіоактивність є дуже частим прикладом [[експоненційний розпад|експоненційного розпаду]]. Закон швидше описує статистичну поведінку великої кількості ядер ніж індивідуальний випадок. В наступних формулах, кількість ядер або сукупність ядер ''N'', є звісно дискретною змінною ([[Натуральні числа|натуральне число]])&nbsp;— але для будь-якого фізичного прикладу ''N'' настільки велике (''L'' = 10<sup>23,</sup> [[Число Авогадро|стала Авогадро]]), що його можна трактувати як неперервну змінну. Диференціальні рівняння для моделювання ядерного розпаду потребують [[диференціальне числення]].

==== Процес з одним розпадом ====
Розглянемо випадок розпаду [[нуклід]]у {{math|''A''}} в інший нуклід {{math|''B''}} через якийсь процес {{math|''A → B''}} (утворення інших частинок подібних до [[електронне нейтрино]] {{SubatomicParticle|Electron antineutrino}} і [[електрон]]ів e<sup>-</sup> в [[бета-розпад]]і, не значимо для нас). Розпад нестабільних ядер цілком випадковий і неможливо передбачити коли певний атом розпадеться.<ref name="not-predict">{{cite web|url=http://www.iem-inc.com/prhlfr.html|title=Decay and Half Life|accessdate= 2009-12-14}}</ref> Однак, розпад однаково ймовірний будь-коли. Отже, для певного радіоізотопу кількість розпадів {{math|&minus;d''N''}}, які очікуються впродовж маленького проміжку часу {{math|d''t''}} пропорційний до кількості наявних атомів {{math|''N''}}, що є<ref name=Patel>{{cite book|last=Patel|first=S.B.|title=Nuclear physics : an introduction|year=2000|publisher=New Age International|location=New Delhi|isbn=9788122401257|pages=62&ndash;72}}</ref>

: <math>-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} \propto N.</math>

Різні радіонукліди розпадаються з різними швидкостями, отже кожний має свою сталу розпаду <math>\lambda</math>. Очікуваний розпад {{math|&minus;d''N''/''N''}} є пропорційним до приросту часу, {{math|d''t''}}:

{{Equation box 1
|indent=:
|title=
|equation=<math> -\frac{\mathrm{d}N}{N} = \lambda \mathrm{d}t</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

Мінус свідчить, що величина {{math|''N''}} зменшується з часом, бо розпади відбуваються один за іншим. Розв'язком цього [[Диференціальні рівняння|диференціального рівняння]] першого порядку є [[Функція (математика)|функція]]:

: <math>N(t) = N_0\,e^{-{\lambda}t} = N_0\,e^{-t/ \tau}, \,\!</math>

де {{math|''N''<sub>0</sub>}} це значення {{math|''N''}} в час {{math|''t''}} = 0.<ref name=Patel/>

У будь-який момент часу {{math|''t''}} ми маємо:

: <math> N_A + N_B = N_\mathrm{total} = N_{A0}, </math>

де {{math|''N''{{sub|total}}}} це стале число частинок, воно явно дорівнює початковій кількості ядер речовини {{math|''A''}}.

Якщо кількість нерозпалих ядер {{math|''A''}} є:

: <math>N_A = N_{A0}e^{-{\lambda}t} \,\!</math>

тоді кількість ядер {{math|''B''}}, тобто кількість розпалих ядер {{math|''A''}} така

: <math> N_B = N_{A0} - N_A = N_{A0} - N_{A0}e^{-{\lambda}t} = N_{A0} \left ( 1 - e^{-{\lambda}t} \right ).</math>

Кількість розпадів спостережених за певний проміжок часу підкоряється [[Розподіл Пуассона|розподілу Пуассона]]. Якщо середня кількість розпадів є {{math|''<nowiki><N></nowiki>''}}, тоді ймовірність кількості розпадів {{math|''N''}} становить<ref name=Patel/>
: <math> P(N) = \frac{\langle N \rangle^N \exp(-\langle N\rangle)}{N!} .</math>

==== Ланцюговий розпад ====

===== Ланцюг з двох розпадів =====
Тепер розглянемо випадок з двох розпадів у ланцюзі: один нуклід {{math|''A''}} розпадається в інший {{math|''B''}}, тоді {{math|''B''}} розпадається ще в наступний {{math|''C''}}, тобто ''{{math|A → B → C}}''. Попереднє рівняння не можна застосувати до ланцюга розпадів, але його можна узагальнити. Оскільки {{math|''A''}} розпадається в {{math|''B''}}, ''тоді'' {{math|''B''}} розпадається в {{math|''C''}}, активність речовини {{math|''A''}} додає нукліди {{math|''B''}}, ''до того'' як ці нукліди речовини {{math|''B''}} розпадуться. Інакше кажучи, кількість ядер речовини другого покоління {{math|''B''}} збільшується у висліді розпаду речовини {{math|''A''}} і зменшується внаслідок власного розпаду в речовину третього покоління {{math|''C''}}.<ref name="Introductory Nuclear Physics 1988">Introductory Nuclear Physics, K.S. Krane, 1988, John Wiley & Sons Inc, ISBN 978-0-471-80553-3</ref> Сума цих двох доданків і дає закон для ланцюга розпаду для двох нуклідів:

: <math>\frac{\mathrm{d}N_B}{\mathrm{d}t} = -\lambda_B N_B + \lambda_A N_A.</math>

Швидкість зміни {{math|''N<sub>B</sub>''}}, яка є {{math|d''N{{sub|B}}''/d''t''}}, стосується змін кількості {{math|''A''}} і {{math|''B''}}, {{math|''N<sub>B</sub>''}} може зростати оскільки {{math|''B''}} утворюється з {{math|''A''}} і убувати оскільки {{math|''B''}} утворює {{math|''C''}}.

Переформулювання із використанням попередніх результатів:

{{Equation box 1
|indent=:
|title=
|equation=<math> \frac{\mathrm{d}N_B}{\mathrm{d}t} = - \lambda_B N_B + \lambda_A N_{A0} e^{-\lambda_A t} </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

Нижні індекси просто вказують на відповідні нукліди, тобто {{math|''N{{sub|A}}''}} це кількість нуклідів типу {{math|''A''}}, {{math|''N''{{sub|''A''0}}}} це початкова кількість нуклідів типу {{math|''A''}}, {{math|''λ{{sub|A}}''}} це стала розпаду для {{math|''A''}}&nbsp;— і схоже для нукліда {{math|''B''}}. Розв'язання рівняння для {{math|''N<sub>B</sub>''}} дає:

: <math> N_B = \frac{N_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} \left ( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}\right ) . </math>

Природно, це рівняння зводиться до попереднього у випадку якщо {{math|''B''}} є стабільним нуклідом ({{math|''λ{{sub|B}}''}} = 0):

: <math> \lim_{\lambda_B\rightarrow 0} \left [ \frac{N_{A0}\lambda_A}{\lambda_B - \lambda_A} \left ( e^{-\lambda_A t} - e^{-\lambda_B t}\right ) \right ] = \frac{N_{A0}\lambda_A}{0 - \lambda_A} \left ( e^{-\lambda_A t} - 1 \right ) = N_{A0} \left ( 1- e^{-\lambda_A t} \right ), </math>

як показано вище для одиничного розпаду. Розв'язок можна знайти через використання [[Інтегрувальний множник|інтегрувального множника]], де інтегрувальний множник є {{math|''e''{{sup|&lambda;{{sub|''B''}}''t''}}}} і потім взяти визначений інтеграл від <math>0</math> до <math>t.</math>

===== Ланцюг кількох розпадів =====
Для загального випадку будь-якої кількості послідовних розпадів у ланцюзі розпадів, тобто {{math|A<sub>1</sub> → A<sub>2</sub> &middot;&middot;&middot; → A<sub>''i''</sub> &middot;&middot;&middot; → A<sub>''D''</sub>}}, де {{math|''D''}} це кількість розпадів і {{math|''i''}} це індекс ({{math|''i'' {{=}} {{sub|1, 2, 3, ...''D''}}}}), кожну сукупність нуклідів можна знайти у виразах попередніх сукупностей. У випадку {{math|''N''<sub>2</sub> {{=}} 0}}, {{math|''N''<sub>3</sub> {{=}} 0}},…, {{math|''N<sub>D</sub>'' {{=}} 0}}. Використовуючи попередній результат в рекурсивній формі:

: <math> \frac{\mathrm{d}N_j}{\mathrm{d}t} = - \lambda_j N_j + \lambda_{j-1} N_{(j-1)0} e^{-\lambda_{j-1} t}. </math>

Загальний розв'язок для рекурсивної задачі можна отримати через '''''рівняння Бейтмана''''':<ref name="general solution of Bateman">{{cite journal|last=Cetnar|first=Jerzy|title=General solution of Bateman equations for nuclear transmutations|journal=Annals of Nuclear Energy|date=May 2006|year=2006|volume=33|issue=7|pages=640–645|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0306454906000284|doi=10.1016/j.anucene.2006.02.004}}</ref>

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Рівняння Бейтмана'''
|equation=<math> N_D = \frac{N_1(0)}{\lambda_D} \sum_{i=1}^D \lambda_i c_i e^{-\lambda_i t} </math>

<math> c_i = \prod_{j=1, i\neq j}^D \frac{\lambda_j}{\lambda_j - \lambda_i} </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

==== Альтернативні шляхи розпаду ====
В усіх попередніх прикладах, початковий нуклід розпадався лише в один продукт. Розглянемо випадок коли один початковий нуклід може розпадатись в один з двох продуктів, тобто або двома процесами ''{{math|A → B}}'' і ''{{math|A → C}}'' одночасно. Для будь-якого часу {{math|''t''}} маємо:

: <math> N = N_A + N_B + N_C </math>

оскільки загальна кількість ядер залишається тією самою. Диференціюємо щодо часу:

: <math> \begin{align}
\frac{\mathrm{d}N_A}{\mathrm{d}t} & = - \left(\frac{\mathrm{d}N_B}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}N_C}{\mathrm{d}t} \right) \\
- \lambda N_A & = - N_A \left ( \lambda_B + \lambda_C \right ) \\
\end{align}</math>

визначення ''підсумкова стала розпаду'' {{math|&lambda;}} в термінах суми ''часткових сталих розпаду'' {{math|&lambda;<sub>''B''</sub>}} і {{math|&lambda;<sub>''C''</sub>}}:

: <math> \lambda = \lambda_B + \lambda_C . </math>

Зауважте, що
: <math> \frac{\mathrm{d}N_A}{\mathrm{d}t} < 0,\frac{\mathrm{d}N_B}{\mathrm{d}t} > 0, 
\frac{\mathrm{d}N_C}{\mathrm{d}t} > 0.
</math>

Розв'язуючи це рівняння для {{math|''N{{sub|A}}''}}:

: <math> N_A = N_{A0} e^{-\lambda t} .</math>

де {{math|''N''<sub>''A''0</sub>}} це початкова кількість ядер A. Сталі розпаду {{math|''λ{{sub|B}}''}} і {{math|''λ{{sub|C}}''}} визначають імовірність розпаду в {{math|''B''}} або {{math|''C''}} так:

: <math> N_B = \frac{\lambda_B}{\lambda} N_{A0} \left ( 1 - e^{-\lambda t} \right ),</math>

: <math> N_C = \frac{\lambda_C}{\lambda} N_{A0} \left ( 1 - e^{-\lambda t} \right ).</math>

тому що частина ядер {{math|''λ{{sub|B}}''/''λ''}} розпадається в {{math|''B''}}, а частина ядер {{math|''λ{{sub|C}}''/''λ''}} розпадається в {{math|''C''}}.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==
* {{книга
|автор        = [[Булавін Леонід Анатолійович|Булавін Л. А.]], [[Тартаковський Віктор Костянтинович|Тартаковський В. К.]]
|заголовок    = Ядерна фізика
|рік          = 2005
|видавництво  = Знання
|місто        = {{К.}}
|сторінок     = 439
}}
* [[Біленко Іван Іванович|Біленко І.&nbsp;І.]]&nbsp;Фізичний словник.&nbsp;— К.: Вища школа, Головне видав. 1979.&nbsp;— 336 с.
* [[Гродзинський Дмитро Михайлович|Гродзинський Д. М.]] Природна радіоактивність рослин і ґрунтів.&nbsp;— Київ: Наукова думка, 1965. -216 с.
* Динс Дж., Винйард Дж., Радіаційні ефекти у твердих тілах, пер. з англ., М., 1960;
* Шпольський Е. В., Атомна фізика, 7 изд., т. 2, М., 1984;
* Сивухін Д. В., Загальний курс фізики. Атомна і ядерна фізика, ч. 1-2, М., 1986-89;
* Акерман А. Ф., Грудский М. Я., Смирнов В. В., Вторинне електронне випромінювання із твердих тіл під дією гамма-квантів, М., 1986.

== Посилання ==
* [http://leksika.com.ua/13030406/ure/radioaktivnist {{УРЕ}}]
* ''[[Кучер Володимир Антонович|Кучер В.]]'' [https://zbruc.eu/node/60972 Значінє радіоактивности матерії для культури будучности] // [[Діло (газета)|Дїло]], 13.01.1917.

== Примітки ==
{{reflist}}
{{Authority control}}
[[Категорія:Радіоактивність| ]]
[[Категорія:Надпопулярні статті]]
[[Категорія:Показникові функції]]
[[Категорія:Фізичні явища]]
[[Категорія:Пуассонівські точкові процеси]]