Перегляд вихідного коду сторінки Радіан

{{Infobox unit
| image = Circle_radians.gif
| caption = Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола
| standard = [[Похідні одиниці SI]]
| quantity = [[кут]]а
| symbol = рад
| symbol2 = rad
| extralabel = Розмірність
| extradata = безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1&nbsp;{{sfrac|м|м}}
| units1     = [[Тисячна (кут)|мілірадіанах]]
| inunits1   = 1000 мрад
| units2     = [[оберт]]ах
| inunits2   = {{sfrac|1|2{{pi}}}} оберта
| units3     = [[Градус (геометрія)|градусах]]
| inunits3   = {{sfrac|180|{{pi}}}} ≈ 57.296°
| units4     = [[Град (одиниця вимірювання)|градах]]
| inunits4   = {{sfrac|200|{{pi}}}} ≈ 63.662 гон
}}
'''Радіа́н''' (у [[математика|математиці]] та [[фізика|фізиці]])&nbsp;— це одиниця вимірювання площинних [[кут]]ів в [[Міжнародна система одиниць (SI)|Міжнародній системі одиниць SI]].

Один радіан — це площинний кут, утворений двома [[радіус]]ами, так, що довжина [[Дуга кола|дуги]] між ними дорівнює радіусу [[коло|кола]]. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є [[Розмірність фізичної величини|безрозмірнісною одиницею]] вимірювання та має позначення '''рад''' (міжнародне&nbsp;— '''rad''')<ref>[http://zakon5.rada.gov.ua/laws/show/z1022-15. Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914.] Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.</ref>, але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.

== Пояснення ==
Повна довжина кола дорівнює [[Число пі|2π''r'']], де ''r''&nbsp;— радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

: <math>{2\pi}</math>&nbsp;рад&nbsp;<math>= 360^\circ</math>,
: 1 рад (або <math>p^\circ</math>) = <math>\frac{360^\circ}{2\pi} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}295779513^\circ \approx 57^\circ17'44{,}806''</math>.
: <math>{360^\circ}={2\pi}</math>&nbsp;рад,
: <math>{1^\circ}=\frac{2\pi}{360}</math>&nbsp;рад <math>=\frac{\pi}{180}</math>&nbsp;рад.

== Властивості ==
Широке застосування радіанів в [[математичний аналіз|математичному аналізі]] обумовлено тим, що вирази з [[тригонометричні функції|тригонометричними функціями]], аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність
: <math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1,</math>
що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:
: <math>\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}</math>

== Розмірність ==
Радіан є [[Безрозмірнісна фізична величина|безрозмірнісною]] одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1&nbsp;=&nbsp;[[метр|м]]·[[метр|м]]<sup>−1</sup> (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу [[ряд Тейлора|ряду Тейлора]] для [[тригонометричні функції|тригонометричної функції]] sin(''x''):

: <math>\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots.</math>

Якби ''x'' мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту&nbsp;— лінійний доданок ''x'' не можна було б додати до кубічного ''x<sup>3</sup>/3!'', як величини різних розмірностей. Отже, ''x'' мусить бути безрозмірнісним.

Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностями<ref>[https://mash-xxl.info/info/54140/ Радиан электрический]</ref>.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Стерадіан]],
* [[Тригонометрія]],
* [[Полярна система координат]]
*[[Град (одиниця вимірювання)|Гон]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Алєксєєв, В. М.'' Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В.&nbsp;М.&nbsp;Алєксєєв, Р.&nbsp;П.&nbsp;Ушаков;за ред. М.&nbsp;Й.&nbsp;Ядренка.&nbsp;— К. : Вища школа, 1992.&nbsp;— 494 с.&nbsp;— ISBN 5-11-000094-1
* Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В.&nbsp;В.&nbsp;Семенець, М.&nbsp;Ф.&nbsp;Бондаренко, В.&nbsp;А.&nbsp;Дікарев та ін.&nbsp;— Харків : СМІТ, 2002.&nbsp;— 1120с.&nbsp;— ISBN 966-7714-88-8.&nbsp;— ISBN 966-95983-1-1

== Посилання == 
* {{ТС_Буд|частина=Радіан|сторінки =165}}
* «[http://zero2hero.org/article/math/45-ugly-gradusy-i-radiany Углы, градусы и радианы]» — переклад статті [http://betterexplained.com/articles/intuitive-guide-to-angles-degrees-and-radians/ Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained] {{ref-en}}
{{Бібліоінформація}}
{{Одиниці SI}}

[[Категорія:Тригонометрія]]
[[Категорія:Одиниці кута]]
[[Категорія:Похідні одиниці SI]]
[[Категорія:Безрозмірнісні параметри]]
[[Категорія:Природні системи одиниць]]