Перегляд вихідного коду сторінки Радіальна базисна функція

'''Радіальна базисна функція (РБФ)'''&nbsp;— [[дійснозначна функція]], чиє значення залежить від відстані до [[Початок координат|початку системи координат]], тобто <math>\phi(\bf{x}) = \phi(\|\bf{x}\|)</math>, або від відстані до деякої іншої точки <math>\bf c</math>, яка називається ''центром'', тоді <math>\phi\left(\mathbf{x}, \mathbf{c}\right) = \phi\left(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\right\|\right)</math>. Функція <math>\phi</math>, що задовольняє умові <math>\phi\left(\mathbf{x}\right) = \phi\left(\left\|\mathbf{x}\right\|\right)</math>, є {{Нп|Радіальна функція|радіальною функцією||radial function}}. Нормою зазвичай є [[евклідова відстань]], хоча можлива будь-яка [[Метрика (математика)|функція відстані]].

Суми радіальних базисних функцій зазвичай використовують для {{Нп|Апроксимація функції|апроксимації заданих функцій||Function approximation}}. Процес апроксимації можна розглядати як просту [[Штучна нейронна мережа|нейронну мережу]]. Саме в такому контексті вони й виникли у роботі {{Нп|Девід Брумхед|Девіда Брумхеда||David Broomhead}} та Девіда Луї у 1988 році<ref>[http://www.anc.ed.ac.uk/rbf/intro/node8.html Radial Basis Function networks] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140423232029/http://www.anc.ed.ac.uk/rbf/intro/node8.html |date=2014-04-23 }}</ref><ref>{{cite journal |first = David H. |last = Broomhead |first2 = David |last2 = Lowe |title = Multivariable Functional Interpolation and Adaptive Networks |journal = Complex Systems |volume = 2 |pages = 321–355 |year = 1988 |url = https://www.complex-systems.com/pdf/02-3-5.pdf |archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714173428/https://www.complex-systems.com/pdf/02-3-5.pdf |archivedate = 2014-07-14 |ref = harv }}</ref>, що походить з дослідження
{{Нп|Майкл Джеймс Пауелл|Майкла Пауелла||Michael J. D. Powell}} 1977 року.<ref>{{cite journal |title = Restart procedures for the conjugate gradient method |author = {{Нп|Майкл Джеймс Пауелл|Michael J. D. Powell||Michael J. D. Powell}} |journal = [[Mathematical Programming]] |publisher = Springer |volume = 12 |number = 1 |pages = 241—254 |year = 1977 |url = https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01593790.pdf |doi=10.1007/bf01593790}}</ref><ref>{{cite thesis |type = M.Sc. |first = Ferat |last = Sahin |title = A Radial Basis Function Approach to a Color Image Classification Problem in a Real Time Industrial Application |publisher = [[Virginia Tech]] |year = 1997 |quote = Radial basis functions were first introduced by Powell to solve the real multivariate interpolation problem. |page = 26 |url = http://scholar.lib.vt.edu/theses/available/etd-6197-223641/unrestricted/Ch3.pdf |accessdate = 10 липня 2018 |archiveurl = https://web.archive.org/web/20151026005931/http://scholar.lib.vt.edu/theses/available/etd-6197-223641/unrestricted/Ch3.pdf |archivedate = 26 жовтня 2015 |deadurl = yes }}</ref><ref name="CITEREFBroomheadLowe1988">{{Harvnb|Broomhead|Lowe|1988|p=347}}: «We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work.»</ref><!--this doesn't seem to be working, probably a bug with {{sfn}}:<ref>{{sfn|Broomhead|Lowe|1988|p=347}}: «We would like to thank Professor M.J.D. Powell at the Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics at Cambridge University for providing the initial stimulus for this work.»</ref>-->
РБФ також використовуються як {{Нп|Ядро радіальних базисних функцій|ядро||Radial basis function kernel}} в [[Метод опорних векторів|методі опорних векторів]].<ref>{{cite web |url=https://beta.oreilly.com/learning/intro-to-svm |title=Introduction to Support Vector Machines |last=VanderPlas |first=Jake |publisher=[O'Reilly] |date=6 травня 2015 |website= |access-date=14 травня 2015 |archive-date=2015-09-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150905100859/https://beta.oreilly.com/learning/intro-to-svm }}</ref>

== Типи ==
Часто використовувані типи радіальних базисних функцій (підставляємо <math display="inline">r = \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\right\|</math>):
* [[Функція Гауса|Гаусова]]:<math display="block">\phi\left(r\right) = e^{-\left(\varepsilon r\right)^2}</math>
* [[Мультиквадратична функція|Мультиквадратична]]:<math display="block">\phi\left(r\right) = \sqrt{1 + \left(\varepsilon r\right)^2} </math>
* [[Зворотна квадратична функція|Зворотна квадратична]]:<math display="block">\phi\left(r\right) = \dfrac{1}{1+\left(\varepsilon r\right)^2} </math>
* [[Зворотна мультиквадратична функція|Зворотна мультиквадратична]]:<math display="block">\phi\left(r\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\varepsilon r\right)^2}} </math>
* [[Поліноміальний сплайн]]:<math display="block">\begin{aligned}
\phi\left(r\right) &= r^k,& k&=1,3,5,\dotsc
\\
\phi\left(r\right) &= r^k \ln\left(r\right),& k&=2,4,6,\dotsc
\end{aligned}</math>
* {{Нп|Тонкий пластинчатий сплайн|||Thin plate spline}} <br/>(спеціальний полігармонічний сплайн):<math display="block">\phi\left(r\right) = r^2 \ln\left(r\right)</math>
* [[Лінійна функція|Лінійна]]:<math display="block">\phi(r) = r\,</math>
* [[Кубічна функція|Кубічна]]:<math display="block">\phi(r) = r^3\,</math>
* Функція Вендленда<ref>Wendland H., ''Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree'', Advances in Comp. Mathematics, 4, 1995.</ref>:<math display="block">\phi(r) = \begin{cases}\left(1-\frac{r}{R}\right)^4\left(4\frac{r}{R}+1\right), & \frac{r}{R} < 1 \\ 0, & \frac{r}{R} \geqslant 1 \end{cases}</math>
* Функція Ву<ref>Wu Z., ''Multivariate compactly supported positive definite radial functions'', Advances in Computational Mathematics, 4(3), 1996.</ref>:<math display="block">\phi(r) = \begin{cases}\left(1-\frac{r}{R}\right)^4\left(4+16\frac{r}{R}+12\left(\frac{r}{R}\right)^2+3\left(\frac{r}{R}\right)^3\right), & \frac{r}{R} < 1 \\ 0, & \frac{r}{R} \geqslant 1 \end{cases}</math>

== Апроксимація ==

Радіальні базисні функції зазвичай використовуються для побудови {{Нп|Апроксимація функції|апроксимації функцій||Function approximation}} у вигляді <math display="block">y\left(\mathbf{x}\right) = \sum_{i=1}^N w_i \, \phi\left(\left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\right\|\right),</math>
де функція, яка апроксимується <math>y\left(\mathbf{x}\right)</math> представлена у вигляді суми <math>N</math> радіальних базисних функцій, кожна з яких береться з різним центром <math>\mathbf{x}_{i}</math>, і множиться на відповідну вагу <math>w_{i}</math>. Ваги <math>w_{i}</math> можна оцінити за допомогою матричних методів [[Метод найменших квадратів|лінійних найменших квадратів]], бо функція, яка апроксимується є ''лінійною'' відносно вагів <math>w_{i}</math>.

Такі методи апроксимації зокрема використовуються{{citation needed|date=July 2013}} в [[Часовий ряд|часових рядах]], при [[Теорія управління|управлінні]] [[Нелінійна система|нелінійними системами]] додаючи достатньо просту [[Теорія хаосу|хаотичну]] поведінку та при 3D реконструкції у [[Комп'ютерна графіка|комп'ютерній графіці]].

== Мережа РБФ ==
{{main|Мережа радіальних базисних функцій}}

[[Файл:Unnormalized radial basis functions.svg|thumb|350px|right|Дві ненормалізовані Гаусові радіальні базисні функції одного вхідного виміру. Базисна функція відцентрована відносно <math display="inline">x_1 = 0.75</math> та <math display="inline">x_2 = 3.25</math>.]]

Суму <math display="block">y\left(\mathbf{x}\right) = \sum_{i=1}^N w_i \, \phi\left(\left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\right\|\right),</math>можна інтерпретувати як доволі просту одношарову штучну мережу, яка називається [[Мережа радіальних базисних функцій|мережею радіальних базисних функцій]] в якій РБФ відіграють роль [[Функція активації|функцій активації]] мережі. Можна показати, що будь-яку неперервну функція на відрізку можна [[Інтерполяція|інтерполювати]] <!-- я не впевнений що неперервні функції інтерполюють. Інтерполюють набір точок в якусь функцію. Може апроксимують? --> з довільною точністю, як суму такого вигляду, якщо використати достатньо велике число <math>N</math> РБФ.

Апроксимація <math display="inline">y\left(\mathbf{x}\right)</math> є диференційовною відносно ваг <math>w_{i}</math>. Тому ваги можуть бути навчені за допомогою стандартних ітераційних методів для [[Штучна нейронна мережа|нейронних мереж]].

Використання радіальних базових функцій таким способом дає розумний інтерполяційний підхід, за умови, що тренувальна множина вибрана таким чином, що вона охоплює весь діапазон систематично (ідеально мати рівновіддалені точки). Проте, без поліноміального доданку, ортогонального радіальним базисним функціям, оцінки за межами тренувальної множини, як правило, погано виконуються.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Подальше читання ==
* {{Citation |last1 = Buhmann |first1 = Martin D. |title = Radial Basis Functions: Theory and Implementations |publisher = [[Cambridge University Press]] |isbn = 978-0-521-63338-3 |year = 2003 }}.
* {{cite journal | last1 = Hardy | first1 = R.L. | year = 1971 | title = Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces | url = | journal = Journal of Geophysical Research | volume = 76 | issue = 8| pages = 1905–1915 | doi=10.1029/jb076i008p01905 | bibcode=1971JGR....76.1905H}}
* {{cite journal | last1 = Hardy | first1 = R.L. | year = 1990 | title = Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988 | url = | journal = Comp. math Applic | volume = 19 | issue = 8/9| pages = 163–208 | doi=10.1016/0898-1221(90)90272-l}}
* {{Citation |last1 = Press |first1 = WH |last2 = Teukolsky |first2 = SA |last3 = Vetterling |first3 = WT |last4 = Flannery |first4 = BP |year = 2007 |title = [[Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing]] |edition = 3rd |publisher = Cambridge University Press| publication-place=New York |isbn = 978-0-521-88068-8 |chapter = Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation|chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=139 }}
* Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
* {{cite journal | last1 = Sirayanone | first1 = S. | last2 = Hardy | first2 = R.L. | year = 1995 | title = The Multiquadric-biharmonic Method as Used for Mineral Resources, Meteorological, and Other Applications | url = | journal = Journal of Applied Sciences and Computations | volume = 1 | issue = | pages = 437–475 }}

== Див. також ==
* [[Мережа радіальних базисних функцій]]
* [[Метод опорних векторів]]
* [[Машинне навчання]]

{{Authority control}}
{{math-stub}}

[[Категорія:Теорія наближення]]
[[Категорія:Інтерполяція]]
[[Категорія:Нейронні мережі]]
[[Категорія:Чисельні методи]]