Перегляд вихідного коду сторінки Піраміда (геометрія)

[[Файл:Pyramid irregular 6 no lettes.svg|thumb|150px|Неправильна шестигранна піраміда.]]
[[Файл:Twierdzenie Krzysztonia.jpg|thumb|150px|Елементи піраміди.]]
{{Otheruses|Піраміда}}
'''Пірамі́да''' (від {{lang-el|πυραμίς}}, [[родовий відмінок|род. відм.]] {{lang-el2|πῡρᾰμῐ́δος}})&nbsp;— [[багатогранник]], який складається з плоского [[багатокутник]]а і точки (яка не лежить у [[площина|площині]] основи) та всіх [[відрізок|відрізків]], що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Піраміда буває тупокутною (якщо який-небудь двогранний кут між бічною гранню і основою більше 90 градусів) і гострокутною. 

'''Пряма піраміда''' це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над [[Центроїд|центром]] її основи. Не правильні піраміди називають '''похиленими пірамідами'''. '''Правильна піраміда''' має в основі [[правильний многокутник]].<ref>William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.46</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180225234757/https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 |date=2018-02-25 }}</ref>

== Опис ==
[[Поверхня]] піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань&nbsp;— [[трикутник]]. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною&nbsp;— сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є [[перпендикуляр]], опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва&nbsp;— [[чотиригранник]].

Надалі розглядатимемо лише піраміди з [[опуклий багатокутник|опуклим багатокутником]] в основі. Такі піраміди називаються опуклими [[многогранник]]ами.

Правильна піраміда (довершена)&nbsp;— якщо її основою є [[правильний багатокутник]], центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди&nbsp;— [[пряма]], яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані&nbsp;— рівні [[рівнобедрений трикутник|рівнобедрені трикутники]].

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається [[апофема|апофемою]]. Бічною [[поверхня|поверхнею]] піраміди називається сума площ її бічних граней.

== Формули ==
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br/> <math>S_b = \frac{1}{2} p l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>,<br/>де '''''P'''''&nbsp;— периметр, '''''l'''''&nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&nbsp;— бічне ребро, <math> \alpha</math>&nbsp;— кут при вершині піраміди
* [[Об'єм]] піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':<br/> <math>V = \frac{1}{3} S h</math>

== Особливі випадки піраміди ==

=== Правильна піраміда ===
Піраміда називається правильною, якщо основою її є [[правильний багатокутник]], а вершина проєктується в центр основи.
Тоді вона має такі властивості:
* Бічні ребра правильної піраміди рівні;
* В правильній піраміді всі бічні грані&nbsp;— [[Конгруентність (геометрія)|конгруентні]] трикутники;
* В будь-яку правильну піраміду можна як [[Вписана сфера|вписати]], так і [[Описана сфера|описати навколо неї сферу]];
* Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює <math>\pi</math>, а кожен з них відповідно <math>\frac{\pi}{n}</math>, де <math>n</math>&nbsp;— кількість сторін багатокутника основи<ref>''Готман Э.'' [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120122015916/http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm |date=22 січня 2012 }} // Квант.&nbsp;— 1998.&nbsp;— №&nbsp;4.</ref>;
* Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку [[периметр]]а основи на апофему.
* [[Тілесний кут]] при вершині правильної ''n''-кутної піраміди{{Sfn|Harish Chandra Rajpoot|2015}}
: <math>\Omega = 2\pi-2n \cdot\arcsin\left ( \frac{2H \cdot \sin \left ( \frac{\pi }{n} \right ) }{4H^2+a^2 \cdot \left ( \cot \left ( \frac{\pi }{n} \right ) \right )^2 } \right )</math>

=== Прямокутна піраміда ===
Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

=== Тетраедр ===
[[Чотиригранник|Тетраедром]] називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «[[правильний тетраедр]]». Правильна трикутна піраміда&nbsp;— це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

== Властивості ==
Такі три твердження є [[Еквівалентність механічних та електромагнітних величин|еквівалентними]]:
# Бічні ребра піраміди рівні;
# Бічні ребра піраміди нахилені до [[Площина|площини]] її основи під рівними кутами;
# Проєкція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:
# Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
# Двогранні кути при основі піраміди рівні;
# Вершина піраміди проєктується до центру кола, вписаного в її основу.

[[Зрізана піраміда]] утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

== Див. також ==
{{commonscat|Pyramids (geometry)}}
* [[Багатогранний конус]]
* [[Зрізана піраміда]]
* [[Кубічна піраміда]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* ''Погорєлов О. В.'' [https://web.archive.org/web/20120406133223/http://shkola.ua/book/view/83 Геометрія: Стереометрія]: підруч. для 10—11 кл. серед. шк.&nbsp;— 6-те вид.&nbsp;— К. : Освіта, 2001.— 128 с.&nbsp;— ISBN 966-04-0334-8.
* Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / О.&nbsp;М.&nbsp;Афанасьєва [та ін.].&nbsp;— Тернопіль: Навчальна книга&nbsp;— Богдан, 2003.&nbsp;— 264 с.&nbsp;— ISBN 966-692-161-8.
* ''Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін.'' Нарисна геометрія: підручник для вузів.&nbsp;— К. : Вища школа,1993.&nbsp;— 134 с.
* {{Стаття|author=Mr Harish Chandra Rajpoot|title=Mathematical Analysis of Regular Spherical Polygons (Spherical Geometry by HCR)|видання=M.M.M. University of Technology|pages=4-5|ref=Harish Chandra Rajpoot|year=2015|place=Gorakhpur-273010 (UP) India|мова=англ.|місяць=Jan|посилання=https://www.researchgate.net/publication/332864790_Mathematical_Analysis_of_Regular_Spherical_Polygons_Spherical_Geometry_by_HCR}}

== Посилання ==
* {{ТС_Буд|частина=Піраміда |сторінки =151}}
{{Math-stub}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Многогранники|П]]