Перегляд вихідного коду сторінки Підстановки плиток

'''Підстановки плиток'''&nbsp;— метод побудови [[Теселяція|мозаїк]]. Найважливіше, що деякі підстановки плиток утворюють [[Аперіодична мозаїка|аперіодичні мозаїки]], тобто, замощення, {{не перекладено|Протоплитка|протоплитки||Prototile}} яких не утвоюють будь-якої мозаїки з [[Паралельне перенесення|паралельним перенесенням]]. Найвідоміші з них&nbsp;— [[Мозаїка Пенроуза|мозаїки Пенроуза]]. Підстановні мозаїки є особливими випадками {{Нп|Правило скінченного поділу|правил скінченного поділу|en|Finite subdivision rule}}, коли не вимагається геометрична рівність плиток.

== Вступ ==

Подстановку плитки описують [[Множина|множиною]] '''протоплиток''' <math>T_1,T_2,\dots, T_m</math>, '''відображенням розширення''' <math>Q</math> та '''правилом поділу''', що задає, як слід ділити розширені протоплитки <math>Q T_i</math> щоб утворити копії деяких протоплиток <math>T_j</math>. Ітеративна підстановка плиток утворює мозаїку на площині, яка називається '''підстановною мозаїкою'''. Деякі підстановні мозаїки [[Періодична функція|періодичні]], тобто мають [[Трансляційна симетрія|трансляційну симетрію]]. Серед неперіодичних підстановних мозаїк деякі є [[Аперіодична мозаїка|аперіодичними]], що означає, що їхні протоплитки не можна розмістити у вигляді періодичної мозаїки.

Простий приклад створення періодичного замощення однією плиткою, а саме квадратом:

<blockquote>
[[Файл:Subst-square.svg]]
</blockquote>

За повторення цієї підстановки все більші й більші ділянки площини покриватимуться квадратною сіткою. Складніший приклад із двох протоплиток наведено нижче.

<blockquote>
[[Файл:Subst-haus.svg]]
</blockquote>

Можна інтуїтивно зрозуміти, як ця процедура утворює підстановну мозаїку всієї [[Площина|площини]]. Математичне визначення наведено нижче. Підстановні мозаїки дуже корисні як шлях до визначення аперіодичних мозаїк, які є об'єктами дослідження багатьох галузей [[Математика|математики]], зокрема [[Теорія автоматів|теорії автоматів]], [[Комбінаторика|комбінаторики]], [[Комбінаторна геометрія|комбінаторної геометрії]], [[Динамічна система|динамічних систем]], [[Теорія груп|теорії груп]], [[Гармонічний аналіз|гармонічного аналізу]] й [[Теорія чисел|теорії чисел]], не кажучи вже про галузі, де ці мозаїки виникли, кристалографію та хімію. Зокрема, мозаїка Пенроуза є прикладом аперіодичної підстановної мозаїки.

== Історія ==

1973 й 1974 року [[Роджер Пенроуз]] відкрив сімейство аперіодичних мозаїк, нині званих [[Мозаїка Пенроуза|мозаїками Пенроуза]]. Перше відкриття дано в термінах «правил поєднання», за якими робота з плитками йшла так само, як зі шматочками [[Пазл|мозаїчної картинки]]. Доведення, що копії цих протоплиток можна з'єднати разом для замощення площини, але ця мозаїка не може утворити періодичної мозаїки, використовує побудову, яку можна розглядати як підстановну мозаїку протоплиток. 1977 року [[Ісраель Ауманн|Роберт Амманн]] виявив кілька наборів аперіодичних протоплиток, тобто. протоплиток, для яких правила суміщення приводять до неперіодичних мозаїк. Зокрема, він перевідкрив перший приклад Пенроуза. Ця праця вплинула на вчених, що працюють у галузі кристалографії, що, в результаті, привело до відкриття [[квазікристал]]ів. І навпаки, інтерес до квазікристалів привів до відкриття деяких цілком упорядкованих аперіодичних мозаїк. Багато з них можна легко описати як підстановні мозаїки.

== Математичне визначення ==

Розглянемо '''області''' в <math>{\mathbb R}^d</math>, які {{не переведено 5|Патологія (математика)|добре обумовлені|en|well-behaved}}, в тому сенсі, що область є непорожньою компактною підмножиною, яке є [[Замикання (топологія)|замиканням]] своєї [[Внутрішність|внутрішності]].

Візьмемо набір ділянок <math>\mathbf{P} = \{ T_1, T_2,\dots, T_m \}</math> як протоплитки. '''Розміщення''' протоплитки <math>T_i</math>&nbsp;— це пара <math>( T_i, \varphi )</math>, де <math>\varphi</math> є [[Ізометрія (математика)|ізометрією]] <math>{\mathbb R}^d</math>. Образ <math>\varphi(T_i)</math> називають областю розміщення. '''Мозаїка T'''&nbsp;— це набір областей розміщення протоплиток, у якому внутрішні області протоплиток не мають спільних частин. Ми кажемо, що мозаїка '''T''' є '''мозаїкою на W''', якщо '''W''' є об'єднанням областей розміщення з '''T'''.

Підстановка плиток у літературі часто недостатньо добре визначена. Точне визначення таке{{sfn|Frettlöh|2005|с=619-639}}.

'''Підстановка плитки''' для протоплиток '''P'''&nbsp;— це пара <math>(Q, \sigma)</math>, де <math>Q: {\mathbb R}^d \to {\mathbb R}^d</math> є [[Лінійне відображення|лінійним відображенням]], усі [[Власні вектори та власні значення|власні значення]] якого за модулем більші від одиниці, а '''правила підстановки''' <math>\sigma</math> відображають <math>T_i</math> в плитку <math>Q T_i</math>. Підстановка плитки <math>\sigma</math> порджує відображення з будь-якої плитки '''T''' області '''W''' у плитку <math>\sigma(\mathbf{T})</math> області <math>Q_\sigma(\mathbf{W})</math>

: <math>\sigma(\mathbf{T}) = \bigcup_{(T_i,\varphi) \in \mathbf{T}} \{ ( T_j, Q \circ \varphi \circ Q^{-1} \circ \rho ) : (T_j, \rho) \in \sigma(T_i) \} .</math>

Зауважимо, що протоплитки можна вивести з підстановки плиток. Таким чином, немає необхідності включати їх до підстановки плиток <math>(Q,\sigma)</math> {{sfn|Vince|2000|p=329—370}}.

Будь-яке замощення <math>{\mathbb R}^d</math>, будь-яка скінченна частина якого конгруентна підмножині деякого
<math>\sigma^k(T_i)</math>, називають підстановною мозаїкою (для підстановки плитки <math>(Q, \sigma)</math>).

== Див. також ==
* [[Мозаїка «вертушка»]]

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Література ==
* {{книга-ру|автор=N. Pytheas Fogg|ответственный=Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.|заглавие=Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics|серия=Lecture Notes in Mathematics|том=1794|место=Berlin|издательство=[[Springer-Verlag]]|год=2002|isbn=3-540-44141-7|zbl=1014.11015}}
* {{статья|автор=D. Frettlöh|ref=Frettlöh|заглавие=Duality of Model Sets Generated by Substitutions|издание=Romanian J. of Pure and Applied Math|выпуск=50|год=2005}}
* {{книга-ру|автор=Vince A.|вклад=Digit Tiling of Euclidean Space|заглавие=Directions in Mathematical Quasicrystals|ответственный=M. Baake, R.V. Moody|издательство=AMS|год=2000|место=Providence|том=13|серия=CRM Monograph series|ref=Vince}}

== Посилання ==
* Dirk Frettlöh's and Edmund Harriss's [https://web.archive.org/web/20060718125201/http://tilings.math.uni-bielefeld.de/tilings/index Encyclopedia of Substitution Tilings]
{{Бібліоінформація}}
{{Геометричні мозаїки}}

[[Категорія:Замощення]]