Перегляд вихідного коду сторінки Піднесення до степеня

{{Результати обчислення}}
[[Файл:Expo02.svg|thumb|315px|Графік функції {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''x''</sup>}} для різних значень основи ''b'': для 10 (<span style="color:green">зеленим</span>), для основи&nbsp;''e'' (<span style="color:red">червоним</span>), для 2 (<span style="color:blue">синім</span>), і {{sfrac|2}} (<span style="color:cyan">блакитним</span>). Кожна крива проходить через точку {{math|(0, 1)}}, оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 0, дасть значення 1. При {{math|1=''x'' = 1}} значення ''y'' дорівнює основі, оскільки будь-яке число, піднесене до степеня 1, є самим числом.]]

'''Підне́сення до сте́пеня'''&nbsp;— [[бінарна операція]], записується як <math>\ a^n,</math> для ''основи степеня'' <math>\ a</math> та ''показника степеня'' <math>\ n,</math> в результаті застосування отримується ''[[степінь]]''<ref>{{cite book|title=Довідник з елементарної математики|author=К. І. Швецов, Г. П. Бевз|publisher=К. «Наукова думка»|year=1967}}</ref>.

Якщо ''n''&nbsp;— [[натуральне число]], піднесення до степеня відповідає ''n''-кратному [[множення|множенню]]:
: <math>a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n.</math>

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному [[додавання|додаванню]]:
: <math>a \times n = \underbrace{a + \cdots + a}_n.</math>.

Другий степінь називають інакше ''[[квадрат (алгебра)|квадратом]]'', третій степінь&nbsp;— ''[[куб (алгебра)|кубом]],'' четвертий&nbsp;— біквадратом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 7<sup>1</sup> = 7<sup>*</sup>.

== Історія ==
Поняття ''степеня'' використовувалося [[Давньогрецька математика|давньогрецьким]] математиком [[Евклід]]ом для дослідження квадрату прямої<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref>. [[Архімед]] відкрив і довів закон для степенів&nbsp;— 10<sup>''a''</sup>&nbsp;10<sup>''b''</sup>&nbsp;=&nbsp;10<sup>''a''+''b''</sup>, необхідний, щоб оперувати степенями числа 10<ref>For further analysis see [[The Sand Reckoner]].</ref>. У IX столітті перський математик [[Аль-Хорезмі]] використовував терміни ''мал'' для [[Квадрат (алгебра)|квадрата]] і ''кахб'' для [[Куб (алгебра)|куба]], які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як ''m'' і ''k'', відповідно, як видно із роботи {{нп|Аль Каласаді||en|Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī}} до XV століття<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref>.

У кінці XVI століття {{нп|Йост Бургі||en|Joost Burgi}} для степенів використовував римські літери<ref>Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 {{ISBN|1602066841}}</ref>.

На початку XVII століття першу форму сучасного позначення степеня запропонував [[Рене Декарт]] у своїй праці під назвою ''[[Геометрія (Декарт)|La Géométrie]]''; у книзі I і було введено відповідні позначення<ref name="Descartes">René Descartes, ''Discourse de la Méthode'' … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book one, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image page 299.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171008182014/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image |date=8 жовтня 2017 }} From page 299: ''" … Et ''aa'', ou ''a''<sup>2</sup>, pour multiplier ''a'' par soy mesme; Et ''a''<sup>3</sup>, pour le multiplier encore une fois par ''a'', & ainsi a l'infini ; … "'' (… and ''aa'', or ''a''<sup>2</sup>, in order to multiply ''a'' by itself; and ''a''<sup>3</sup>, in order to multiply it once more by ''a'', and thus to infinity ; …)</ref>.

Деякі математики (наприклад, [[Ісаак Ньютон]]) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали [[Многочлен|поліноми]], наприклад, як ''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''.

{{нп|Ніколас Шуке|||Nicolas Chuquet}} використовував форму показникового запису в XV столітті, яку згодом використали {{нп|Геріх Грамматеус|||Henricus Grammateus}} і [[Міхаель Штифель]] у XVI столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 році завдяки Міхаелю Штифелю<ref>Див.:
* [http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171223072700/http://jeff560.tripod.com/e.html |date=23 грудня 2017 }}
* [[Михаель Штифель|Michael Stifel]], ''Arithmetica integra'' (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), [https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&vq=exponens&pg=RA7-PA231#v=onepage&q&f=false page 236.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190313233250/https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&vq=exponens&pg=RA7-PA231#v=onepage&q&f=false |date=13 березня 2019 }} Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він увів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: ''«Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.»'' (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший&nbsp;— 1, 1ʓ&nbsp;— 2, і&nbsp;т.&nbsp;д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степеню залежному від його розташування, який [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисним, здебільшого, при множенні та діленні, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у [[Крістоф Рудольфф|Крістофа Рудольффа]], який, у свою чергу, запозичив їх у книзі [[Фібоначчі|Леонардо Фібоначчі]] ''Liber Abaci'' (1202), де вони використовувались, як скорочення латинських слів ''res''/''radix'' (x), ''census''/''zensus'' (''x''<sup>2</sup>), and ''cubus'' (''x''<sup>3</sup>).]</ref>. У XVI столітті [[Роберт Рекорд]] використовував терміни квадрат, куб, дзензизензик (четвертий степінь), сурсолід (п'ятий), дзензікуб (шостий), другий сурсолід (сьомий), і дзензизензензик (восьмий)<ref>{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|accessdate=2010-03-19|archive-date=16 січня 2018|archive-url=https://web.archive.org/web/20180116081212/http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm}}</ref>. Також для назви 4-го степеня використовували слово ''біквадрат''.

Інший синонім, що існував в історії, '''інволюція'''<ref>Це визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [http://www.m-w.com/dictionary/involution] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071101090344/http://www.m-w.com/dictionary/involution|date=1 листопада 2007}}. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.</ref>, зараз вживають рідко і його не варто плутати [[Інволюція (математика)|із більш загальним значенням]] цього слова.

У 1748 році [[Леонард Ейлер]] написав:<blockquote>...розглянемо експоненти або степені, в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є [[Алгебрична функція|алгебраїчними функціями]], оскільки в них показних мав би бути константою<ref>[[Леонард Ейлер]] (1748) {{Нп|Введення в аналіз нескінченно малих|||Introductio in analysin infinitorum}}, англ. видання, сторінка 75</ref>.</blockquote>Із цим введенням у [[Трансцендентна функція|трансцендентні функції]], Ейлер заклав початок сучасному введенню в [[натуральний логарифм]], що є [[Обернена функція|оберненою функцією]] для ''y'' = [[e (число)|e]]<sup>''x''</sup>.

== Для цілих показників ==

=== Нульовий показник ===
При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101#v=onepage&f=false |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |year=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=0-8311-3086-5}}</ref>:

: <math>b^0=1</math>
: одне з пояснень&nbsp;— <math>b^n/b^n=1</math>

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про [[порожній добуток]].

Більш спірним випадком є випадок 0<sup>0</sup>&nbsp;— [[нуль у нульовому степені]].

=== Від'ємні показники ===
Наведене нижче рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового ''x'':
: <math> x^{-n} = \frac{1}{x^n} </math>

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність {{math|∞}}.

Приведена вище рівність може бути доведена з визначення, якщо продовжити значення показника у від'ємну область цілих чисел.

Для не нульових значень ''x'' і додатних ''n'' рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як
: <math>x^{n} = {x^{n+1}}/{x}, \quad n \ge 1.</math>
Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел ''n'' і ненульових ''x'', випливає, що
: <math>\begin{align}
  x^0    &= {x^{1}}/{x} = 1 \\
  x^{-1} &= {x^{0}}/{x} = {1}/{x}
  \end{align}</math>
і в більш загальній формі для будь-якого ненульового ''x'' і будь-яких невід'ємних цілих ''n'',
: <math>x^{-n} = {1}/{x^n}.</math>
Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел ''n''.

=== Комбінаторна інтерпретація ===
Для невід'ємних цілих ''n'' і ''m'' степінь ''n''<sup>''m''</sup> є числом [[Функція (математика)|функцій]] із [[Множина|множини]] з ''m'' елементів у множину з ''n'' елементів (див. [[Кардинальне число#Cardinal exponentiation|кардинальне експонування]]). Така функція може бути представлена як ''m''-[[Кортеж (інформатика)|кортежів]] із множини ''n''-елементів (або слово із ''m''-літер, що належить алфавіту, в якому є ''n''-літер).

:{|
|-
| 0<sup>5</sup> = │ { } │ = 0
| Не існує [[Кортеж (інформатика)|5-елементного кортежу]], який можна було б побудувати із пустої множини.
|-
| 1<sup>4</sup> = │ { (1,1,1,1) } │ = 1
| Існує один [[Кортеж (інформатика)|4-елементний кортеж]] із множини з одного елемента.
|-
| 2<sup>3</sup> = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8
| Існує вісім [[Кортеж (інформатика)|3-елементних кортежів]] із множини з двох елементів.
|-
| 3<sup>2</sup> = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9
| Існує дев'ять [[Кортеж (інформатика)|2-елементних кортежів]] із множини з трьох елементів.
|-
| 4<sup>1</sup> = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4
| Існує чотири [[Кортеж (інформатика)|1-елементні кортежі]] із множини з чотирьох елементів.
|-
| 5<sup>0</sup> = │ { () } │ = 1
| Існує лише один [[Кортеж (інформатика)|0-кортеж]].
|}

=== Тотожності і властивості ===
Наступні [[Тотожність|тотожності]] виконуються для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:
: <math>\begin{align}
      b^{m + n} &= b^m \cdot b^n & \color{red}
    \overbrace
    {\color{black}b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{n}\cdot 
    \color{blue}
    \overbrace{\color{black}b\cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{m}
     \color{black} = \overbrace {\color{black}b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{\color{green}m+n}\\
        (b^m)^n &= b^{m\cdot n} & \color{blue}\underbrace{\overbrace{\color{black}b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{\color{red}n}\cdot\overbrace{\color{black}b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{\color{red}n}\cdot\ldots\cdot\overbrace{\color{black} b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}^{\color{red}n}}_{\color{blue}m}\\
  (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n & \overbrace{(bc)\cdot(bc)\cdot \ldots\cdot(bc)}^{n} = \overbrace{b\cdot b\ldots b}^{n}\cdot\overbrace{c\cdot c\ldots c}^{n} \\
        b^n:b^m &= b^{n-m}  &     \frac
    {\overbrace{\color{red} b \cdot b \cdot \ldots \color{black} \cdot b}^{\color{blue} n}}
    {\underbrace{\color{red} b \cdot b \cdot \ldots \color{black} \cdot b}_{\color{blue} m}} \\
    (\frac {b} {c})^n &= \frac{(b)^n}{(c)^n} & \color{red} \underbrace{\color{black}\frac{b}{c}\cdot\frac{b}{c}\cdot\ldots\cdot\frac{b}{c}}_{\color{red}n}=\color{black}\frac{b^n}{c^n}
\end{align}</math>
:

Операція піднесення до степеня не є [[Комутативність|комутативною]]. Як протилежність&nbsp;— операції додавання і множення комутативні.

Наприклад,

{{math|1=2 + 3 = 3 + 2 = 5}} і {{math|1=2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6}},

але {{math|1=2<sup>3</sup> = 8}}, оскільки {{math|1=3<sup>2</sup> = 9}}.

Операція піднесення до степеня також не є [[Асоціативність|асоціативною]].

Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо:

{{math|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9}} і

{{math|1=(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24}},

але 2<sup>3</sup> на 4 дорівнює 8<sup>4</sup> або {{val|4096}}, в той час як 2 на 3<sup>4</sup> дорівнює 2<sup>81</sup> або {{val|2417851639229258349412352}}.

Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху вниз (тобто з асоціативністю ''справа наліво''), а не знизу вгору<ref>{{Cite journal
 | title=A report on primes of the form k · 2<sup>n</sup> + 1 and on factors of Fermat numbers
 | author=Raphael M. Robinson
 | journal=Proc. Amer. Math. Soc.
 | volume=9
 | pages=677
 | date=1958
 | format=pdf
 | url=http://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf
 | accessdate=15 січня 2018
 | archive-date=28 червня 2020
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf
 }}</ref> (з асоціативністю ''зліва направо''):
: <math>b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q}.</math>
[[Google]] і [[WolframAlpha]] у своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, але варто зазначити, що деякі комп'ютерні програми, як-от [[Microsoft Excel]] і [[MATLAB]], виконують операції зліва (зверху вниз), тобто <code>a^b^c</code> розраховується як <code>(a^b)^c</code>.
{{see also|Черговість операцій}}

=== Окремі значення основ ===

==== {{anchor|Base 10}}Степені десятки ====
{{see also|Експоненціальний запис}}
У [[Десяткова система числення|десятковій системі числення]] цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1, за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}} і {{math|1={{val|e=-4}} = {{val|0.0001}}}}.

Степені із основою [[10 (число)|10]] використовуються в науці як [[експоненційний запис]] для позначення дуже великих або дуже малих чисел. Наприклад, {{val|299792458|u=м/с}} ([[швидкість світла]] у вакуумі в метрах на секунду) можна записати так: {{val|2.99792458|e=8|u=м/с}}, а потім [[Апроксимація|апроксимовано]] до {{val|2.998|e=8|u=м/с}}.

[[Префікси одиниць вимірювання]] теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс [[кіло-]] означає {{math|1={{val|e=3}} = {{val|1000}}}}, тому кілометр становить {{val|1000|u=метрів}}.

==== {{anchor|Base 2}}Степені двійки ====
Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто і мають особливі назви, такі як: ''половина'' і ''чверть''.

Степені числа 2 з'являються в [[Теорія множин|теорії множин]], оскільки множина з ''n'' елементів має [[булеан]], множина з усіх її [[Підмножина|підмножин]], який має 2<sup>''n''</sup> елементів.

Цілі [[Степені 2|степені двійки]] важливі у [[Інформатика|комп'ютерній науці]]. Додатні цілі степені 2<sup>''n''</sup> задають максимальну можливу кількість значень для ''n''-[[біт]]ного цілого [[Двійкова система числення|двійкового числа]]; наприклад, [[байт]] може приймати 2<sup>8</sup> = 256 різних значень. [[Двійкова система числення]] дає змогу представляти будь-яке число як суму степенів 2: його можна записати як послідовність цифр 0 і 1, розділених [[Десятковий розділювач|двійковою крапкою]], де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані одиницями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

==== Степені одиниці ====
Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: {{math|1=1<sup>''n''</sup> = 1}}.

==== Степені нуля ====
Якщо показник степеня є додатним числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: {{math|1=0<sup>''n''</sup> = 0}}, де {{math|''n'' > 0}}.

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0<sup>''n''</sup>, де {{math|''n'' < 0}}) є невизначеною, оскільки було виконано [[ділення на нуль]].

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}, в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

==== Степені мінус одиниці ====
Якщо ''n'' є парним цілим, тоді {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = 1}}.

Якщо ''n'' є непарним цілим числом, тоді {{math|1=(−1)<sup>''n''</sup> = −1}}.

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних [[Послідовність|послідовностей]].

=== Великі степені ===
[[Границя числової послідовності]] степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:
: {{math|''b''<sup>''n''</sup> → ∞}} при {{math|''n'' → ∞}} якщо {{math|''b'' > 1}}

Це читається як «''b'' у степені ''n'' прямує до [[Невласне число|+∞]] при ''n'', що прямує до нескінченності коли ''b'' є більшою за одиницю».

Степені чисел із [[Модуль (математика)|абсолютним значенням]], що менше одиниці прямують до нуля:
: {{math|''b''<sup>''n''</sup> → 0}} при {{math|''n'' → ∞}} якщо |''b''| < 1

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:
: {{math|1=''b''<sup>''n''</sup> = 1}} для всіх ''n'' якщо {{math|1=''b'' = 1}}

Степені числа –1 чергують значення 1 і –1 при тому ''n'' змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні ''n''.

Якщо ''b'' < –1, {{math|1=''b''<sup>''n''</sup>}}, чергується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як ''n'' чергується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні ''n''.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня, змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є
: {{math|(1 + 1/''n'')<sup>''n''</sup> → ''e''}} при {{math|''n'' → ∞}}

=== Степеневі функції ===
[[Файл:Potenssi 1 3 5.png|thumb|left|Степеневі функції для <math>n=1,3,5</math>]]
[[Файл:Potenssi 2 4 6.png|thumb|Степеневі функції для <math>n=2,4,6</math>]]

Функції дійсних значень вигляду <math>f(x) = cx^n</math> із <math>c \ne 0</math> називають степеневими функціями. Коли <math>n</math> є [[Цілі числа|цілим числом]] і <math>n \ge 1</math>, існує дві основні різновидності: для парних і непарних <math>n</math>. В загальному випадку для <math>c > 0</math>, якщо <math>n</math> є парним числом із збільшенням <math>x</math> <math>f(x) = cx^n</math> буде прямувати до [[Нескінченність|нескінченності]] із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні <math>x</math>. Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для <math>y=cx^2</math>, маючи більш плоску форму в середині із збільшенням <math>n</math><ref name=":0">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=Calculus: Early Transcendentals|year=2009|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00howa|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00howa/page/n49 28]|edition=9th}}</ref>. Функції із таким видом [[Симетрія|симетрії]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} називаються [[Парні та непарні функції|парними функціями]].

Коли <math>n</math> є парним, <math>f(x)</math> має [[Асимптота|асимптотичну]] поведінку яка змінюється від додатних <math>x</math> до від'ємних <math>x</math>. Для <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> також прямуватиме до [[Нескінченність|нескінченності]] зі знаком плюс при збільшенні <math>x</math>, але при зменшенні <math>x</math> прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для <math>y=cx^3</math>, маючи більш плоску гладку форму в середині зі збільшенням <math>n</math> і втрачають усю гладкість, перетворюючись у пряму лінію для <math>n=1</math>. Функції з таким видом [[Симетрія|симетрії]] {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} називаються [[Парні і непарні функції|непарними функціями]].

Для <math>c < 0</math>, асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається в усіх випадках<ref name=":0"/>.

=== Список степенів цілих чисел ===
{|class="wikitable" style="text-align:right"
!''n'' !!''n''<sup>2</sup> !!''n''<sup>3</sup> !!''n''<sup>4</sup> !!''n''<sup>5</sup> !!''n''<sup>6</sup> !!''n''<sup>7</sup> !!''n''<sup>8</sup> !!''n''<sup>9</sup> !!''n''<sup>10</sup>
|-
|width="8%"|'''2''' || width="8%"|4|| width="7%"|8|| width="8%"|16|| width="9%"|32|| width="10%"|64|| width="11%"|128|| width="12%"|256|| width="12%"|512|| width="14%"|1&nbsp;024
|-
|'''3''' ||9||27||81||243||729||2&nbsp;187||6&nbsp;561||19&nbsp;683||59&nbsp;049
|-
|'''4''' ||16||64||256||1024||4&nbsp;096||16&nbsp;384||65&nbsp;536||262&nbsp;144||1&nbsp;048&nbsp;576
|-
|'''5''' ||25||125||625||3&nbsp;125||15&nbsp;625||78&nbsp;125||390&nbsp;625||1&nbsp;953&nbsp;125||9&nbsp;765&nbsp;625
|-
|'''6''' ||36||216||1&nbsp;296||7&nbsp;776||46&nbsp;656||279&nbsp;936||1&nbsp;679&nbsp;616||10&nbsp;077&nbsp;696||60&nbsp;466&nbsp;176
|-
|'''7''' ||49||343||2&nbsp;401||16&nbsp;807||117&nbsp;649||823&nbsp;543||5&nbsp;764&nbsp;801||40&nbsp;353&nbsp;607||282&nbsp;475&nbsp;249
|-
|'''8''' ||64||512||4&nbsp;096||32&nbsp;768||262&nbsp;144||2&nbsp;097&nbsp;152||16&nbsp;777&nbsp;216||134&nbsp;217&nbsp;728||1&nbsp;073&nbsp;741&nbsp;824
|-
|'''9''' ||81||729||6&nbsp;561||59&nbsp;049||531&nbsp;441||4&nbsp;782&nbsp;969||43&nbsp;046&nbsp;721||387&nbsp;420&nbsp;489||3&nbsp;486&nbsp;784&nbsp;401
|-
|'''10'''||100||1000||10&nbsp;000&nbsp;||100&nbsp;000||1&nbsp;000&nbsp;000||10&nbsp;000&nbsp;000||100&nbsp;000&nbsp;000||1&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000||10&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000
|}

== Раціональні показники ==
{{Main article|Корінь (математика)}}
[[Файл:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|Зверху до низу вказані графіки функцій: ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]

'''Коренем ''n''-го степеня''' [[Число|числа]] ''b'' є число ''x'' таке що {{math|1=''x<sup>n</sup>'' = ''b''}}.

Якщо ''b'' є додатним дійсним числом і ''n'' є додатним цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння {{math|1=''x<sup>n</sup>'' = ''b''}}. Цей розв'язок називається '''головним [[Корінь (математика)|коренем ''n''-го степеня]]''' для ''b''. Він позначається виразом {{radic|''b''|''n''}}, де {{radic|&nbsp;&nbsp;}} [[символ]] '''корінь'''; аналогічним чином, головний корінь можна записати як ''b''<sup>1/''n''</sup>. Наприклад: {{math|1=4<sup>1/2</sup> = 2}}, {{math|1=8<sup>1/3</sup> = 2}}.

Факт, що <math>x=b^{1/n}</math> є розв'язком для <math>x^n=b</math>, випливає із наступного запису:
: <math>x^n = \underbrace{ b^\frac{1}{n} \times b^\frac{1}{n} \times \cdots \times b^\frac{1}{n} }_n = b^{\left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} \right)} = b^\frac{n}{n} = b^1 = b.</math>

Якщо ''n'' є [[Парність (математика)|парним]], тоді {{math|1=''x<sup>n</sup>'' = ''b''}} при умові, що ''b'' [[додатне число]], має два дійсні розв'язки, якими є додатний і від'ємний корені ''n''-го степеня, тобто, {{math|''b''<sup>1/''n''</sup> > 0}} і {{math|−(''b''<sup>1/''n''</sup>) < 0.}} Якщо ''b'' від'ємне, то рівняння не має розв'язку у вигляді дійсного числа при парних ''n''.

Якщо ''n'' непарне, тоді {{math|1=''x<sup>n</sup>'' = ''b''}} має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде {{math|''b''<sup>1/''n''</sup>}} додатним, якщо ''b'' є додатним, і від'ємним, якщо ''b'' від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа ''b'' до [[Раціональні числа|раціонального]] степеня ''u''/''v'', де ''u'' є цілим і ''v'' є додатним цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

: <math>b^\frac{u}{v} = \left(b^u\right)^\frac{1}{v} = \sqrt[v]{b^u} =  \left(b^\frac{1}{v}\right)^u = \left(\sqrt[v]{b}\right)^u.</math>

Піднесення від'ємного дійсного числа ''b'' до раціонального степеня ''u''/''v'', де ''u''/''v'' є правильним дробом, дає результат, що є додатним дійсним числом, якщо ''u'' є парним, і таким чином ''v'' є непарним, оскільки тоді ''b''<sup>''u''</sup> є додатним; і дає від'ємний дійсний результат, якщо ''u'' і ''v'' обидва є непарними, оскільки тоді ''b''<sup>''u''</sup> є від'ємним. Випадок, коли ''u'' є непарним, а ''v'' є парним, не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа ''x'', щоб {{math|1=''x''<sup>2''k''</sup> = −1}}; при задаванні значення ''b''<sup>''u''/''v''</sup> у такому випадку необхідно використовувати [[Уявна одиниця|уявну одиницю]] ''i''.
<!--Число <math> y = x^{p/q} \, </math>, де p і q&nbsp;— [[ціле число|цілі числа]], якщо <math> y^q = x^p \, </math>.
Наприклад, <math> x^{1/2} </math>&nbsp;— це число, яке дорівнює квадратному кореню числа <math> x </math>.-->

== Дійсні показники степеня ==
[[#Тотожності і властивості|Тотожності й властивості]], вказані вище для цілих степенів, є вірними і для додатних дійсних чисел з нецілими показниками. Однак рівність

: <math>(b^r)^s = b^{r\cdot s}</math>

не може послідовно поширюватися на випадки, коли ''b'' є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

=== Границі раціональних степенів ===
Дійсне число є [[границя числової послідовності|границею послідовності]] раціональних наближень. Якщо
: <math> a = \lim_{n\rightarrow\infty} a_n  </math>

де <math> a_n </math>&nbsp;— раціональні числа, то

: <math> x^a = \lim_{n\rightarrow\infty} x^{a_n} </math>.

=== Показникова функція ===
{{Main article|Показникова функція}}

Одна з важливих математичних констант [[e (число)|{{mvar|e}}]], що також називається [[e (число)|числом Ейлера]], приблизно дорівнює 2,718 і є основою [[Натуральний логарифм|натурального логарифму]]. Хоча піднесення у степінь числа ''e'', по суті, можна трактувати як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені, як виявилося, мають свої корисні і витончені властивості. Серед іншого, ці властивості дають змогу узагальнити степені ''e'' природним способом до інших типів степенів, як-от степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація ''e''<sup>''x''</sup> зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається '''показниковою функцією''', exp(''x''), яку можна визначити {{iw|Characterizations of the exponential function|багатьма способами|en|Characterizations of the exponential function}}, наприклад таким:
: <math>\exp(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac x n \right)^n </math>

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння
: <math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y).</math>

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних і [[Комплексне число|комплексних]] значень змінної ''x''. [[Експонента матриці]] добре визначена для [[Квадратна матриця|квадратних матриць]] (у випадку яких експоненційне рівняння виконується, лише коли матриці ''x'' і ''y'' є комутативними) і є корисною для вирішення систем [[Лінійне диференціальне рівняння|лінійних диференційних рівнянь]].

== Дії зі степенями ==
При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються ''правилами дій зі степенями''<ref>Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник&nbsp;— С. 27</ref>:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються
: <math> x^a \cdot x^b = x^{a+b} </math>

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.
: <math>\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}</math>

3. При піднесені числа в якомусь степені до іншого степеню показники перемножуються.
: <math> \left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b} </math>

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь із показником 0 одержуємо 1, так <math>3^0 =1</math>

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатним степенем. Таким чином,
: <math>3^{-4}=\frac{1}{3^4} </math>.

Аналогічно,
: <math>\frac{1}{2^{-4}}=2^4 </math>

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,
: <math>8^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{8^{2}}=(2)^2=4 </math>

== Функції ==
* [[Експоненційна функція|Експонента]]
* [[Степенева функція]]
* [[Многочлен]]

== У комбінаториці ==
{{Main|[[Розміщення (комбінаторика)|Розміщення]]}}
У [[комбінаторика|комбінаториці]] кількість можливих розміщень із повтореннями із ''n'' елементів по ''m'' дорівнює ''n''<sup>''m''</sup><ref>{{cite book|
title=Элементы дискретной математики|
author=Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В.|
year=2002|
publisher=НГТУ|
isbn=5-7782-0332-2}}</ref>:
: <math>\hat P (n, m) = n^m</math>

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти <math>\hat P (4, 3) = 4^3 = 64</math> тризначних числа.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
{{commons|Exponential function}}
* [[Експонента (функція)|Експонента]]
* [[Логарифм]]
* [[Рівняння xʸ = yˣ]]
* [[Нуль у нульовому степені]]

== Джерела ==
* {{Завало.Курс алгебри}}
* {{cite book|title=Довідник з елементарної математики|author=К. І. Швецов, Г. П. Бевз|publisher=К. «Наукова думка»|year=1967}}.

== Посилання ==
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/stepin Динамічні математичні моделі FIZMA.neT] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210913064943/http://fizma.net/index.php?idi=alg%2Fstepin |date=13 вересня 2021 }}

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Гіпероперації}}

[[Категорія:Елементарна математика]]
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Бінарні операції]]
[[Категорія:Показникові функції]]