Перегляд вихідного коду сторінки Підгрупа

{{Теорія груп|expanded=Basics}}
'''Підгрупою''' групи '''G''' називається [[підмножина]] <math>H</math> [[група|групи]] <math>G</math>, що сама є групою щодо операції, визначеної в <math>G</math>. 

Підмножина <math>H</math> групи <math>G</math> є її підгрупою [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли вона задовольняє такі умови: 

# містить добуток будь-яких двох елементів з <math>H</math>, 
# містить разом зі всяким своїм елементом <math>h</math> [[обернений елемент|обернений]] до нього елемент <math>h^{-1}</math>.

У разі скінченних і [[періодична група|періодичних груп]] перевірка умови 2 є зайвою.
 
Еквівалентно <math>H</math> є підгрупою, якщо виконується умова:
:<math> \forall (x,y) \in H^2, x*y^{-1} \in H </math>


== Приклади ==

* Підмножина групи <math>G</math>, що складається з одного елементу <math>1</math>, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи <math>G</math>. 
* Сама <math>G</math> також є своєю підгрупою. 
* Нехай ''G'' [[абелева група]] елементами якої є
:<math>G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}</math>
і груповою операцією є [[модульна арифметика|додавання за модулем 8]]. Її [[Таблиці Келі|таблиця Келі]] має вигляд:
{| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5 
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">0
| <font color="orange">0 || <font color="red">2 || <font color="orange">4 || <font color="red">6 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">2
| <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">4
| <font color="orange">4 || <font color="red">6 || <font color="orange">0 || <font color="red">2 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="red">6
| <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">1
| <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">3
| <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="red">4 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">5
| <font color="blue">5 || <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="red">6 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <font color="blue">7
| <font color="blue">7 || <font color="blue">1 || <font color="blue">3 || <font color="blue">5 || <font color="red">0 || <font color="red">2 || <font color="red">4 || <font color="red">6
|}
Ця група має дві власні підгрупи: <font color="orange">''J''={0,4}</font color> і <font color="red">''H''={0,2,4,6}</font color>, де ''J'' є також підгрупою ''H''. Таблиця Келі ''H'' є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи ''G''. Група ''G'' є [[циклічна група|циклічною]], як і її підгрупи. 

== Пов'язані визначення ==
* Сама група <math>G</math> і одинична підгрупа називається '''невласними підгрупами''' групи G, всі інші підгрупи H '''власними'''.
* [[Перетин множин|Перетин]] всіх підгруп групи <math>G</math>, що містять всі елементи деякої [[непорожня множина|непорожньої множини]] <math>M</math>, називається підгрупою, породженою множиною <math>M</math>, і позначається <math><M></math>. 
* Якщо <math>M</math> складається з одного елемента <math>a</math>, то <math><a></math> називається '''циклічною підгрупою''' елемента <math>a</math>. 
* Якщо група <math>G_1</math> [[ізоморфізм груп|ізоморфна]] деякій підгрупі <math>H</math> групи <math>G</math>, то кажуть, що група <math>G_1</math> може бути вкладена в групу <math>G</math>.

== Властивості ==
* Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи <math>G</math> є підгрупою групи <math>G</math>. 
* Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп <math>H</math> і <math>K</math> називається підгрупа, породжена об'єднанням множин <math>H\cup K</math>.
* Нехай <math>f : G \rightarrow G' \,</math> — [[гомоморфізм груп]]. Тоді якщо <math>H\,</math> є підгрупою <math>G\,</math>, то <math>f(H)\,</math> є підгрупою <math>G'\,</math>. Якщо <math>H'\,</math> є підгрупою <math>G'\,</math>, то <math>f^{-1}(H')\,</math> є підгрупою <math>G\,</math>. 
* Якщо дані дві групи і кожна з них [[ізоморфізм|ізоморфна]] деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

== Див. також ==
* [[Підструктура (математика)]]
* [[Теорема Лагранжа (теорія груп)]] 
* [[Нормальна підгрупа]]
* [[Характеристична підгрупа]]
* [[Центр групи]]
* [[Теорема Хайоша]]

== Джерела ==
=== Українською ===
* {{ref-uk}} {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* {{Вінберг.Курс алгебри}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Властивості підгруп]]