Перегляд вихідного коду сторінки Псевдоріманів многовид

'''Псевдорімановий многовид''' &nbsp;— [[многовид]], на якому визначено [[метричний тензор]] (квадратична форма), що є невиродженим у кожній точці, але, на відміну від ріманових многовидів, не обов'язково [[Додатноозначена квадратична форма|додатноозначений]]. Зазвичай передбачається, що [[Сигнатура (лінійна алгебра)|сигнатура]] метрики постійна (у разі [[зв'язний простір|зв'язного]] многовида це автоматично випливає з умови невиродженості).

== Означення ==

Нехай <math>M</math> &nbsp;— [[диференційовний многовид]] розмірності <math>n</math> і для кожної точки <math>p \in M</math> [[дотичний простір]] у цій точці позначається <math>T_pM</math>. 

Многовид називається псевдорімановим, якщо задано [[відображення]] ([[метричний тензор]]) <math>g : T_pM \times T_pM \to \mathbb{R},</math> який кожній парі [[Дотичний вектор|векторів із деякого дотичного простору]] ставить у відповідність [[дійсне число]] й задовольняє властивостям симетричності, білінійності, гладкості та існування нуля.

Тобто, для <math>X,Y,Z \in T_pM</math> виконуються такі умови:
* <math>\,g(X,Y) = g(Y,X)</math> — симетричність
* <math>\,g(aX + Y, Z) = a g(X,Z) + g(Y,Z), \; \forall a\in\mathbb{R}</math> — [[Білінійне відображення|білінійність]];
* Якщо для деякого <math>X \in T_pM</math> для всіх <math>Y \in T_pM</math> справедливо <math>\,g(X,Y) = 0,</math> то <math>X = 0.</math>
* Для довільних гладких [[Векторне поле|векторних полів]] <math>\mathcal{X}, \mathcal{Y}, \;</math> <math>g(\mathcal{X}, \mathcal{Y})</math>  є [[Гладка функція|гладкою функцією]] на многовиді <math>M.</math>

Єдиною відмінністю від визначення [[Ріманів многовид|ріманового многовиду]] є відсутність умови додатноозначеності. Тому якщо для ріманових многовидів дотичні простори набувають структуру [[Евклідів простір|евклідового простору]], для псевдоріманових многовидів дотичні простори є лише [[Псевдоевклідів простір|псевдоевклідовими]].

=== Сигнатура ===
Для [[Метричний тензор|метричного тензора]] ''g'' на ''n''-вимірному дійсному многовиді, [[квадратична форма]] {{nowrap|1=''q''(''x'') = ''g''(''X'', ''X'')}} пов'язана з метричним тензором для елементів кожного [[Ортогональний базис|ортогонального базису]] визначає ''n'' дійсних чисел. Згідно [[Закон інерції Сильвестра|закону інерції Сильвестра]], кількість додатних, від'ємних і нульових значень не залежить від вибору ортогонального базису. Для невиродженого метричного тензора нульових значень немає і сигнатура визначена як (''p'', ''q''), де {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''n''}}. Сигнатура не змінюється в усіх точках будь-якої компоненти зв'язності многовида. 

== Приклади ==

* [[Псевдоевклідів простір]] є найпростішим прикладом псевдоріманового многовида.
* [[Ріманів многовид]] можна розглядати як окремий випадок псевдоріманового із сигнатурою (n, 0)
** Псевдоріманові многовиди, які не є власне рімановими, іноді називають '''власне псевдорімановими'''.
* Псевдорімановий многовид сигнатури (1, n) або (n, 1) називають [[Простір Мінковського|простором Мінковського]]. Він є основним{{уточнити}} об'єктом [[загальна теорія відносності|загальної теорії відносності]].

== Геометрія псевдоріманових просторів ==

У локальних координатах метричний тензор може бути записаний як <math>g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i} \mathrm {d} x^{j}.</math> На многовиді однозначно визначена [[зв'язність Леві-Чивіти]] і [[тензор кривини]].

[[Довжина кривої]] визначається за формулою:
:<math>s = \int_l \sqrt{\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i} \mathrm {d} x^{j}}.</math>
Вона може бути дійсною, уявною або рівною нулю (Ізотропна крива). [[Геодезична лінія|Геодезичні лінії]] в псевдоріманових просторах навіть в малих своїх частинах втрачають екстремальні властивості, залишаючись лініями стаціонарної довжини. Довжина деякої дуги може бути більшою або меншою довжини геодезичної лінії, що з'єднує кінці дуги. 

У випадку простору сигнатури (1, n), відрізок геодезичної лінії дійсної довжини дає найбільшу відстань між кінцевими точками (у припущенні, що дугу геодезичної лінії можна вкласти в напівгеодезичну координатну систему у вигляді координатної лінії і що для порівняння беруться гладкі криві дійсної довжини з області, де є визначеною ця координатна система). 

У разі, коли розглядається псевдоевклідів простір сигнатури (1, n), можна будь-яку пряму дійсної довжини прийняти за вісь <math>x_n</math> ортонормованої координатної системи, в якій скалярний квадрат вектора <math>X</math> має вигляд:
:<math>|X|^2 = \sum_{i = 1}^{n-1} x_i^2 + x_n^2</math>

Тут будь-який прямолінійний відрізок дійсної довжини (уздовж осі <math>x_n</math>) буде визначати найдовшу відстань між точками, які є його кінцями.

У разі многовида сигнатури (n, 1) відрізок геодезичної лінії уявної довжини буде мати більшу довжину в порівнянні з іншими гладкими кривими уявної довжини, кінці яких збігаються з кінцями геодезичного відрізка.

На відміну від ріманових многовидів на власне псевдоріманових многовидах неможливо запровадити природну структуру [[метричний простір|метричного простору]], оскільки існують різні точки, відстань між якими дорівнює нулю.

У псевдорімановому многовиді визначається [[секційна кривина]], вона може бути інтерпретована як кривина геодезичної (неізотропної) 2-поверхні, проведеної в даній точці в даному двовимірному напрямку. Якщо значення секційної кривини в кожній точці одне і те ж за всіма двовимірними напрямками, то воно є постійним у всіх точках (теорема Шура) і псевдорімановий многовид в цьому випадку називається псевдорімановим многовидом сталої кривини.

== Див. також ==
* [[Зв'язність Леві-Чивіти]]
* [[Метричний тензор]]
* [[Ріманів многовид]]

== Література==
* {{citation | last1=Bishop|first1=Richard L.|last2=Goldberg|first2=Samuel I. | title = Tensor Analysis on Manifolds|publisher=The Macmillan Company | year=1968|edition=First Dover 1980|isbn=0-486-64039-6}}
* {{citation | last1=Chen|first1=Bang-Yen| title = Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications| publisher=World Scientific Publisher | year=2011|isbn=978-981-4329-63-7}}
* {{citation|title=Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity|volume=103|series=Pure and Applied Mathematics|first=Barrett|last=O'Neill|publisher=Academic Press|year=1983|isbn=9780080570570|url=https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193}}

[[Категорія:Ріманова геометрія]]
[[Категорія:Структури на многовидах]]