Перегляд вихідного коду сторінки Псевдообернена матриця

'''Псевдообернена матриця'''&nbsp;— узагальнення [[обернена матриця|оберненої матриці]] в [[Математика|математиці]], зокрема, в [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]].

Матриця, псевдообернена до матриці <math>\ A</math> позначається як <math>\ A^+</math>.

Найвідомішим є '''псевдообернення Мура-Пенроуза''', яке було незалежно описано {{нп|Е. Г. Мур|Е.&nbsp;Г.&nbsp;Муром|en|E. H. Moore}} в [[1920]] і [[Роджер Пенроуз|Роджером Пенроузом]] в [[1955]].

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив [[Ерік Івар Фредгольм|Фредгольм]].

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення ([[метод найменших квадратів|методом найменших квадратів]]) розв'язку [[СЛАР]].

== Визначення ==

=== Означення Мура ===
<math>\ A^+</math> називається псевдооберненою матрицею до матриці <math>\ A</math>, якщо вона задовольняє такі умови:

# <math>A A^+A = A</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>A A^+</math> чи <math>A^+A</math> не обов'язково дорівнюватимуть [[одинична матриця|одиничній матриці]]);
# <math>A^+A A^+ = A^+;</math>
# <math>(AA^+)^* = AA^+</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (це означає, що <math>AA^+</math>&nbsp;— [[ермітова матриця]]);
# <math>(A^+A)^* = A^+A</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>A^+A</math>&nbsp;— також ермітова матриця);

де <math>A^*</math>&nbsp;— [[ермітово-спряжена матриця]] до матриці <math>A </math>.

<!-- === Означення Пенроуза === -->

=== Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід ===

: <math>A^+ = \lim_{\delta \to 0} (A^* A + \delta I)^{-1} A^*
          = \lim_{\delta \to 0} A^* (A A^* + \delta I)^{-1}</math>

Ці границі існують, навіть якщо <math>(A A^*)^{-1}</math> і <math>(A^* A)^{-1}</math> не комутують.

== Властивості ==
* Псевдообернена матриця завжди існує і вона єдина.
* Псевдообернення [[нульова матриця|нульової матриці]] дорівнює її [[транспонування матриці|транспонуванню]].
* Псевдообернення є оборотним до самого себе:
: <math>(A^+)^+ = A</math>.
* Псевдообернення комутує з транспонуванням, спряженням і [[ермітове спряження|ермітовим спряженням]]:
: <math>(A^T)^+ = (A^+)^T, \qquad (\overline{A})^+ = \overline{A^+}, \qquad (A^*)^+ = (A^+)^*.</math>
* [[Ранг матриці]] дорівнює рангу її псевдооберненої:
: <math>rank\ A^+ = rank\ A</math>
* Псевдообернення добутку матриці <math>A</math> на скаляр <math>\alpha</math> дорівнює добутку матриці <math>A^+</math> на обернене число <math>\alpha^{-1}</math>:
: <math>(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} \; A^+, \quad \forall \alpha \ne 0</math>.
* Якщо вже відома матриця <math>(A^*A)^+</math> чи матриця <math>(AA^*)^+</math>, то їх можна використати для обчислення <math>A^+</math>:
: <math>A^+ = (A^*A)^+ \; A^* </math>
: <math>A^+ = A^* \; (AA^*)^+ </math>.
* Матриці <math>\ A^+ A, \; A A^+</math>&nbsp;— є [[проєкційна матриця|ортогонально-проєкційними матрицями]].
* Якщо матриця <math>\ A_i</math> утворена з матриці <math>\ A</math> за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
: то <math>A_i^+</math> буде утворюватись з <math>\ A^+</math> додаванням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
* Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим <math>a_i \ne \vec 0</math>, то існує [[формула Гревіля]] для вираження <math>A_i^+</math> через <math>A, \; A^+, \; a_i.</math>

== Часткові випадки ==

=== Ортонормовані стовпці чи рядки ===
* Якщо в матриці <math>A</math> ортонормовані '''стовпці''' (<math>A^* A = I</math>), або '''рядки''' (<math>A A^* = I</math>), то:
: <math>A^+ = A^*</math>.

=== Повний ранг ===
* Якщо '''стовпці''' матриці <math>A</math> [[лінійна незалежність|лінійно незалежні]], тоді матриця <math>(A^* A)</math> має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:
: <math>A^+ = (A^* A)^{-1} A^*</math>
Отже <math> A^+ A = I</math>, звідки слідує, що <math>A^+</math>&nbsp;— ліва обернена матриця для ''A''.

* Якщо '''рядки''' матриці <math>A</math> лінійно незалежні, тоді матриця <math>(A A^*)</math> має повний ранг, а отже є [[оборотна матриця|оборотною]]. Тоді:
: <math>A^+ = A^*(A A^*)^{-1}</math>
Отже <math>A A^+ = I</math>, звідки слідує, що <math>A^+</math>&nbsp;— права обернена матриця для ''A''.

* Якщо '''і стовпці і рядки''' лінійно незалежні (що вірно для квадратних невироджених матриць), тоді:
: <math>A^+ = A^{-1}.</math>

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка <math> \delta I \!</math> з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

=== Псевдообернення добутку ===
Якщо матриці <math>A</math> і <math>B</math> такі, що добуток <math>AB</math> визначений, а також:
* або A має ортонормовані '''стовпці''' (<math>A^+=A^*</math>),
* або B має ортонормовані '''рядки''' (<math>B^+=B^*</math>),
* або '''стовпці''' <math>A</math> лінійно незалежні(<math>A^+ A = I</math>) і '''рядки''' <math>B</math> лінійно незалежні(<math>B B^+ = I</math>).
Тоді:
: <math>\ (AB)^+ = B^+ A^+</math>.

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

=== Скаляри і вектори ===
Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

* Псевдообернення скаляра <math>x</math> є скаляр
: <math>x^+ = \left\{\begin{matrix} 0, & x=0;
 \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matrix}\right. </math>

* Псевдообернення вектора <math>x</math> є вектор
: <math>x^+ = \left\{\begin{matrix} 0^T, & x = 0;
 \\ {x^* \over x^* x}, & x \ne 0. \end{matrix}\right. </math>

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

== Обчислення ==

=== За допомогою A=BC розкладу ===
Нехай ''r''&nbsp;— [[ранг матриці]] ''A'' розміру <math>m \times n</math>. Тоді ''A'' може бути представлена як <math>A = BC</math>, де ''B''&nbsp;— матриця розміру <math>m \times r</math>, ''C''&nbsp;— матриця розміру <math>r \times n</math>. Тоді

* <math>A^+ = C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*.</math>
чи
* <math>A^+ = C^*(B^*AC^*)^{-1}B^*</math>
: де <math>(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1} = (B^*BCC^*)^{-1} = (B^*AC^*)^{-1}</math>&nbsp;— матриця меншого розміру <math>r \times r</math>.

=== За допомогою QR розкладу ===
Матрицю ''A'' [[QR розклад матриці|представимо у вигляді]] <math>A = QR</math>, де ''Q''&nbsp;— [[унітарна матриця]], <math> Q^*Q = QQ^* = I </math>, і ''R''&nbsp;— верхня [[трикутна матриця]]. Тоді
: <math> A^*A=(QR)^*(QR)=R^*Q^*QR=R^*R</math>,
: <math> A^+ = (R^*R)^+  A^*</math>
…

=== За допомогою SVD розкладу ===
Якщо <math>A = U\Sigma V^*</math>&nbsp;— [[сингулярне представлення матриці]] ''A'', тоді
: <math>A^+ = V\Sigma^+ U^*.</math>

Для [[діагональна матриця|діагональної матриці]], такої як <math>\Sigma</math>, псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень [[головна діагональ|діагональних елементів]] на обернені.

=== За допомогою мінорів ===
Нехай ''k''&nbsp;— [[ранг матриці]] ''A'' розміру <math>m \times n</math>.

Позначимо через <math>A_k \!</math> матрицю складену з ''k'' лінійно незалежних '''стовпців''' матриці ''A'',<br/>
через <math>A_{\overline{k}}</math> позначимо матрицю з ''k'' лінійно незалежних '''рядків''' матриці ''A'',<br/>
через <math>A_{kk \!}</math> матрицю з елементів на перетині <math>A_k \!</math> з <math>A_{\overline{k}}</math>.

Тоді
: <math>A^+ = A_{\overline{k}}^*(A_{\overline{k}} A_{\overline{k}}^*)^{-1} \cdot A_{kk} \cdot (A_k^*A_k)^{-1}A_k^*</math>

== Застосування до СЛАР ==
* Система рівнянь <math>\ A x = b</math> може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки&nbsp;— такі <math>\ x</math> при яких мінімізується <math>\|A x - b\|^2.</math> Це розв'язок методом найменших квадратів.

* Загальний розв'язок системи <math>\ A x = b</math> є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи <math>\ A x = 0.</math>

* За визначенням, загальний розв'язок системи <math> Ax=0 \!</math>&nbsp;— це [[ядро лінійного оператора]] <math> {A} \!</math>:
: <math> \ker {A} = Z(A)y\!</math>
де:
: <math> Z(A)=I-A^+A \!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ([[проєкційна матриця|проектор]] на <math>\ker {A} \!</math>);
: <math> y \!</math>&nbsp;— довільний вектор тієї ж розмірності що і <math>x.\!</math>

* Частковим розв'язком неоднорідної системи є <math>\ x=A^+b,</math> він ортогональний до <math> \ker {A}\!</math> і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.

* Загальний розв'язок
: {| border="1" cellpadding="10"
| <math>\ A x = b</math>
| єдиний розв'язок <br/><math> \det {A^*A} \ne 0 \!</math>
| множина розв'язків <br/><math> \det {A^*A} = 0 \!</math>
|-
| точні розв'язки є <br/><math> b^*Z(A)b = 0 \!</math>
| rowspan=2 | <math>x=A^+b \!</math>
| rowspan=2 | <math>\Omega_x=A^+b + \ker {A} \!</math>
|-
| тільки приблизні розв'язки <br/><math> b^*Z(A)b \ne 0 \!</math>
|}

* Відстань від довільної точки <math>\ y</math> до множини розв'язків <math>\ \Omega_x</math> рівна:
: <math>\| P(A)(y - A^+ b) \| = \| P(A)y - A^+ b \| = \| A^+(Ay-b) \|, </math>
де:
: <math> P(A)=I-Z(A) \!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (проектор ортогональний до <math>\ \ker {A}</math>).

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Ланкастер.Теорія матриць}}
* {{Хорн.Джонсон.Матричний аналіз}}
* {{Golub.Loan.Matrix Computations}}
* {{cite book
|автор=Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville
|назва=Generalized Inverses. Theory and Applications
| розділ=
|сторінки=
|видання=друге
|рік=2003
| розміщення=
|видавництво=Springer
|сторінки=436 с.
}}

[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Типи матриць]]