Перегляд вихідного коду сторінки Прямокутник

{{Багатокутник
| name = Прямокутник
| image = Rectangle_Geometry_Vector.svg
| caption = Прямокутник
| type = [[Ізогональність|Напівправильний рівнокутний багатокутник]], [[чотирикутник]], [[паралелограм]], [[ортотоп]]
| edges = 4
| symmetry = [[Діедральна група|Діедрична]] (D<sub>2</sub>), [2], (*22), порядок 4
| schläfli = {&nbsp;} × {&nbsp;}
| wythoff = 
| coxeter = {{ДКД|node_1|2|node_1}}
| area =
| dual = [[Ромб]]
| properties = [[Опуклий многокутник|опуклий]], [[Ізогональність|ізогональний]], [[Описане коло|вписується в коло]] Протилежні кути та сторони конгруентні
}}

'''Прямоку́тник''' (також '''прямокутній рівнобіжник''', '''простокутник'''<ref name="Гайштут О. Г.">{{Книга
|автор = Калинович Ф. П.
|назва = Словник математичної термінології. (Проєкт).Ч. I. Термінологія чистої математики
|рік = 1925
|видавництво = Державне видавництво України
|місце = Київ
|посилання = https://archive.org/details/slov14/page/n57/mode/2up
|ref = Гайштут О. Г. , Ушаков Р. П. Математика: довідник
|сторінок = 128
|відповідальний = Зредагувала Математична Секція Природничого відділу Інституту Української Наукової Мови ВУАН
}}</ref>{{rp|Стор.406}})&nbsp;— це плоска геометрична фігура, [[чотирикутник]], усі [[кут]]и якого [[прямий кут|прямі]]<ref name="Білодід І.К."> {{Книга
|автор = Білодід І.К. та ін.
|відповідальний = під ред. Винника В.О., Жайворонока В.В. та ін.
|назва = Словник української мови в 11 т. (1970-1980)
|рік = 1977
|том = VIII [прир́ода - ряхтл́ивий]
|сторінок = 927
|сторінки = 369
|видавництво = Наукова думка
|місце = Київ 
|посилання = https://archive.org/details/bilodid_slovnyk/Білодід%20І.К.%2C%20Бурячок%20А.А.%20та%20ін.%20Словник%20української%20мови.%20В%2011%20томах.%20Том%208/page/n365/mode/2up
|ref = Білодід І.К.
}}</ref>{{rp|Стор.369, }}<ref>{{Cite web|url=https://slovnyk.ua/index.php?swrd=прямокутник|title=ПРЯМОКУТНИК|website=СЛОВНИК.ua}}</ref>

Також існують інші означення. Прямокутник&nbsp;— це:<br/>
‒ чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні і всі чотири кути однакові;<br/> ‒ паралелограм, у якого всі кути прямі;<ref name = "Білодід І.К." />{{rp|Стор.369,}} {{Sfn|Peter R. Cromwell|1997|с=71}}{{rp|Стор.406}}<br/> ‒ паралелограм, який має принаймні один прямий кут (а отже, всі кути прямі).

Прямокутник, в якого всі чотири сторони мають однакову довжину, називають [[квадрат]]ом.

Прямокутник є окремим випадком [[паралелограм]]а.

Довшу сторону прямокутника називають '''довжиною''' прямокутника, а коротшу&nbsp;— '''шириною''' прямокутника.

[[Відрізок]], що сполучає несусідні (протилежні) вершини називається '''[[Діагональ|діагоналлю]]''' прямокутника.

Прямокутник можна позначити [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] як <math>\{\, \, \} \times \{\, \,\}</math>. Це означає, що прямокутник є результатом [[Декартів добуток множин|декартового добутку]] двох лінійних [[Відрізок|відрізків]].

Аналогом прямокутника у [[Тривимірний простір|тривимірному]] [[Евклідів простір|просторі]] є [[прямокутний паралелепіпед]], а у ''{{mvar|n}}''-вимірному просторі&nbsp;— [[Гіперпрямокутник|ортотоп]] (або ''{{mvar|n}}''-гіперпрямокутник).

'''[[#Схрещені прямокутники|Схрещеним прямокутником]]''' є прямокутник, який перетинає сам себе, дві протилежні сторони якого збігаються із його двома діагоналями.<ref>{{Cite journal |doi=10.1098/rsta.1954.0003 |last1=Coxeter |first1=Harold Scott MacDonald |author1-link=Гарольд Коксетер |last2=Longuet-Higgins |first2=M.S. |last3=Miller |first3=J.C.P. |title=Uniform polyhedra |jstor=91532 |mr=0062446 |year=1954 |journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences |issn=0080-4614 |volume=246 |pages=401–450 |issue=916 |publisher=The Royal Society}}</ref> Він є особливим випадком [[антипаралелограм]]а, а його кути не є прямими.

== Класифікація ==

=== Традиційна ієрархія ===
[[Файл:Класифікація чотирикутників та їх симетрія.png|міні|396x396пкс|Прямокутник в ієрархії чотирикутників.]]
Прямокутник є особливим випадком [[паралелограм]]а, в якому кожна пара прилеглих [[Ребро (геометрія)|сторін]] [[Перпендикулярність|перпендикулярні]].

Паралелограм є особливим різновидом трапеції в якого ''обидві'' пари протилежних сторін [[Паралельність|паралельні]] і мають однакову [[Довжина|довжину]].

Трапеція в свою чергу, це [[Опуклий многокутник|опуклий]] [[чотирикутник]], який має принаймні одну пару [[Паралельність|паралельних]] протилежних сторін.

Опуклий чотирикутник може бути
* '''Простим''': Сторони не перетинаються.
* '''[[Зіркоподібний многокутник|Зіркоподібним]]''': Всі точки чотирикутника видно з точки в середині, без перетину жодної сторони.

=== Альтернативна ієрархія ===
Альтернативним чином прямокутник можна визначити, як такий чотирикутник, що має осі симетрії, через кожну пару протилежних сторін.<ref>[http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf An Extended Classification of Quadrilaterals] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191230004754/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/quadclassify.pdf |date=2019-12-30 }} (An excerpt from De Villiers, M. 1996. ''Some Adventures in Euclidean Geometry.'' University of Durban-Westville.)</ref> Це визначення стосується як прямокутників із прямими кутами, так і схрещених прямокутників.

{{Clear}}

== Ознаки прямокутника ==
[[Опуклий многокутник|Опуклий]] [[чотирикутник]] буде вважатися прямокутником [[тоді й лише тоді]] коли виконується принаймні одне із наступних тверджень: {{Sfn|Peter R. Cromwell|1997|с=71}}{{rp|Стор.406}}<ref>Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, «The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition», Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 {{isbn|1-59311-695-0}}.
</ref><ref>{{cite book |author1=Owen Byer |author2=Felix Lazebnik |author3=Deirdre L. Smeltzer |title=Methods for Euclidean Geometry |url=https://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA53 |accessdate=2011-11-13 |date=19 серпня 2010 |publisher=MAA |isbn=978-0-88385-763-2 |pages=53–}}</ref>
* Якщо в чотирикутнику [[Рівнокутний багатокутник|всі кути рівні]], то він є прямокутником;
* Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником;
* Якщо в [[паралелограм]]і є [[прямий кут]], то він є прямокутником;
* Якщо в [[паралелограм]]і [[діагональ|діагоналі]] мають однакову довжину, то він є прямокутником;
* Якщо в паралелограмі ''ABCD'' [[трикутник]]и ''ABD'' і ''DCA'' є [[Конгруентність (геометрія)|конгруентними]], то він є прямокутником.

== Властивості ==
Основні властивості прямокутника<ref>[http://ua.onlinemschool.com/math/formula/rectangle/ Прямокутник. Формули та властивості прямокутника]</ref>:
* Оскільки прямокутник є окремим випадком [[паралелограм]]а, то він має всі властивості паралелограма. {{Sfn|Peter R. Cromwell|1997|с=71}}{{rp|Стор.406}} Зокрема, протилежні сторони рівні та паралельні; протилежні кути рівні.
* Діагоналі прямокутника рівні.
* Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
* Кожна діагональ прямокутника ділить його на два рівні трикутники.
* Висоти прямокутника є одночасно і його сторонами.
* Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло; його центр лежить в точці перететину діагоналей, а діагональ прямокутника дорівнює діаметру даного кола.
* У прямокутник можна вписати коло, тільки якщо він&nbsp;— [[квадрат]].
* [[Квадрат (алгебра)|Квадрат]] діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його не протилежних сторін.
* Групою симетрії прямокутника (так само як і [[ромб]]а), який не є квадратом, є [[4-група Кляйна]] {{Mvar|K<sub>4</sub>}} <br/>Прямокутник має дві [[Вісь симетрії|осі симетрії]], що проходять через середини протилежних сторін; Ці прямі є осями [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] 2-го порядку та [[Обертова симетрія|обертової симетрії]] 2-го порядку (поворот на кут 180°). Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]]&nbsp;— знаходиться в точці перетину діагоналей (в ньому перетинаються осі симетрії).
* Його {{Не перекладено|Двоїстий багатокутник|двоїстим багатокутником|en|Dual polygon}} є [[ромб]], отже, середини сторін прямокутника є вершинами ромба. <br/> '''Порівняльна таблиця властивостей двоїстих прямокутника та ромба'''<ref> {{Стаття|автор=Michael De Villiers|ref=
|заголовок=Generalizing Van Aubel Using Duality
|url=https://www.researchgate.net/publication/324463294_Generalizing_Van_Aubel_Using_Duality
|рік=Oct. 2000 |том=|сторінки=303–307|issn=|doi=10.1080/0025570X.2000.11996859
|журнал=''Mathematics Magazine'' 73 (4)
|мова=англ.}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
!Прямокутник
!Ромб
|-
|Всі ''кути'' рівні.
|Всі ''сторони'' рівні.
|-
|Протилежні сторони рівні.
|Протилежні кути рівні.
|-
|Центр рівновіддалений від вершин, отже прямокутник має описане коло
|Центр рівновіддалений від сторін, отже ромб має вписане коло
|-
|Дві осі симетрії ділять навпіл протилежні сторони.
|Дві осі симетрії ділять навпіл протилежні кути.
|-
|Діагоналі мають однакову довжину.
|Діагоналі перетинаються під прямим кутом
|}

* Прямокутниками можна [[Теселяція|замостити]] площину без проміжків та накладень.

== Формули ==
[[Файл:PerimeterRectangle.svg|thumb|150px|Формула для визначення периметра прямокутника]]
[[Файл:Прямокутник.png|ліворуч|безрамки|256x256пкс]]
Нехай прямокутник ''АВСВ'' має довжину <math>\ell</math> і ширину <math>w</math>. Тоді:
* '''[[Площа]]''' прямокутника: <math>S = \ell \cdot w\,</math>,
Також площу можна визначити за формулою: <math>S = \frac{d^2}{2}  \cdot \sin{\varphi}\,</math>,

де {{Tmath|\varphi}}&nbsp;— гострий кут між діагоналями прямокутника.
* '''[[Периметр]]''' прямокутника: <math>P = 2\ell + 2w = 2(\ell + w)\,</math>;
* Довжина кожної діагоналі дорівнюватиме <math>d=\sqrt{\ell^2 + w^2}</math>,
* '''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''': <math>R= \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\ell^2 + w^2} </math>;
* якщо <math>\ell = w\,</math>, прямокутник є [[квадрат]]ом.

Деякі '''механічні характеристики''' плоского перерізу прямокутної форми: <math>\ell</math>&nbsp;— довжина основи прямокутника, ''<big>{{mvar|h}}</big>'' <big>—</big> висота прямокутника.<ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=Rectangular+mechanical+properties|title=Rectangular mechanical properties|website=www.wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>
{| class="wikitable"
|+Моменти інерції плоского перерізу
!
![[Файл:Прямокутник 1.png|безрамки]]
! rowspan="6" |
![[Файл:Прямокутник 2.png|безрамки]]
|-
|[[Моменти інерції плоских перерізів|'''Момент інерції''']] <math>J_{x}</math> відносно осі ''<big>{{mvar|x}}</big>''<ref name="rect">{{cite web|url=http://www.efunda.com/math/areas/rectangle.cfm|title=Rectangular area|website=eFunda engineering Fundamentals|publisher=eFunda|language=англ.}}</ref>
|<math>\frac{\ell \cdot h^3}{12}</math>
|<math>\frac{\ell \cdot h^3}{3}</math>
|-
|[[Моменти інерції плоских перерізів|'''Момент інерції''']] <math>J_{y}</math> відносно осі ''<big>{{mvar|y}}</big>''<ref name="rect" />
|<math>\frac{\ell^3 \cdot h}{12}</math>
|<math>\frac{\ell^3 \cdot h}{3}</math>
|-
|[[Геометричні характеристики перерізів#Відцентровий момент інерції|'''Відцентровий момент інерції''']] <math>J_{xy}</math>
|<math>0</math>
|<math>- \frac{\ell^2 \cdot h^2}{4}</math>
|-
|[[Полярний момент інерції|'''Полярний момент інерції''']] <math>J_{p}</math> <br/>(відносно полюса O)
|<math>\frac{\ell \cdot h \cdot (\ell^2 + h^2)}{12}</math>
|<math>\frac{\ell \cdot h \cdot (\ell^2 + h^2)}{3}</math>
|-
|[[Радіус інерції перерізу|'''Радіуси інерції''']]
|<math>i_{x}=\sqrt{\frac{J_x}{A}} = \frac{h}{2\sqrt{3}}</math> <br/> <math>i_{y}=\sqrt{\frac{J_y}{A}} = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}</math>
|<math>i_{x} = \frac{h}{\sqrt{3}}</math> <br/> <math>i_{y}= \frac{\ell}{\sqrt{3}}</math>
|-
|[[Момент опору|'''Осьовий момент опору''']] (при згині) <math>W_{x}</math><br/>(Вісь ''<big>{{mvar|x}}</big>'' є нейтральною віссю)
|<math>\frac{\ell \cdot h^2}{6}</math>
!
|
|}
[[Файл:Recplane.svg|ліворуч|200x200пкс]]
[[Момент інерції]] матеріальної пластини прямокутної форми шириною <math>w</math> та висотою ''<big>{{mvar|h}}</big>'' з [[Маса|масою]] ''<big>{{mvar|m}}</big>'' (вісь обертання проходить через центр прямокутника перпендикулярно до його площини): <math>I_c = \frac {h^2 + w^2}{12} \cdot m\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<ref name="serway">{{cite book
|url=https://archive.org/details/physicsforscient02serw/page/202
|title=Physics for Scientists and Engineers, second ed.
|author=Raymond A. Serway
|year=1986
|publisher=Saunders College Publishing
|page=[https://archive.org/details/physicsforscient02serw/page/202 202]
|isbn=0-03-004534-7
}}</ref>


[[Файл:Recplaneoff.svg|ліворуч|202x202пкс]]
[[Момент інерції]] матеріальної пластини прямокутної форми шириною <math>w</math> та висотою ''<big>{{mvar|h}}</big>'' з [[Маса|масою]] ''<big>{{mvar|m}}</big>'' (вісь обертання проходить через середину сторони прямокутника перпендикулярно до його площини): <math>I_c = \frac {4h^2 + w^2}{12} \cdot m\,\!</math>





== Теореми ==
[[Ізопериметрична нерівність]] для прямокутників доводить, що серед усіх прямокутників із заданим [[периметр]]ом, квадрат матиме найбільшу [[площа|площу]].

Лінії проведені через середні точки сторін будь-якого [[чотирикутник]]а із [[Перпендикулярність|перпендикулярними]] [[Діагональ|діагоналями]] утворюють прямокутник.

[[Паралелограм]] із рівними за довжиною діагоналями є прямокутником.

[[Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник]]<ref>[http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/cyclic-incentre-rectangle.html Cyclic Quadrilateral Incentre-Rectangle] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110928154652/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/cyclic-incentre-rectangle.html |date=28 вересня 2011 }} with interactive animation illustrating a rectangle that becomes a 'crossed rectangle', making a good case for regarding a 'crossed rectangle' as a type of rectangle.</ref> говорить, що центри вписаних кіл чотирьох трикутників, які задані вписаним у інше коло чотирикутником утворюють прямокутник.

{{нп|Теорема про Британський прапор||en|British flag theorem}} стверджує, що якщо вершини прямокутника позначені як ''A'', ''B'', ''C'', і ''D'', для будь-якої точки ''P'' в тій самій площині в середині прямокутника буде виконуватися рівність:<ref>{{cite journal |author1=Hall, Leon M. |author2=Robert P. Roe  |lastauthoramp=yes |title=An Unexpected Maximum in a Family of Rectangles |journal=Mathematics Magazine |volume=71 |issue=4 |year=1998 |pages=285–291 |url=http://web.mst.edu/~lmhall/Personal/HallRoe/Hall_Roe.pdf |jstor=2690700}}
</ref>
: <math>\displaystyle (AP)^2 + (CP)^2 = (BP)^2 + (DP)^2.</math>

== Схрещені прямокутники ==
Схрещений прямокутник (такий, що перетинає сам себе) складається із двох протилежних сторін звичайного прямокутника і двох діагоналей. Схрещений прямокутник, так само, є різновидом схрещеного чотирикутника. Він має той самий {{нп|порядок вершин||en|vertex arrangement}}. Він представлений двома ідентичними трикутниками із спільною вершиною, але геометричний перетин не розглядається як вершина.

Схрещений чотирикутник іноді асоціюють із [[Краватка-метелик|краваткою-метеликом]] або формою [[метелик]]а. [[Тривимірний опис об'єкта|Тривимірну]] прямокутну каркасну конструкцію із [[Дріт|дроту]] можна скрутити таким чином, що вона прийме форму метелика. Схрещений прямокутник іноді називають «кутовою вісімкою».

Внутрішня частина схрещеного прямокутника може мати {{нп|полігональна густина|полігональну густину|en|polygon density}}, що дорівнює ±1 для кожного трикутника, в залежності від того як закручено цей прямокутник, за годинниковою стрілкою чи проти.

Схрещений прямокутник не є [[Рівнокутний багатокутник|рівнокутним]]. Сума його [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніх кутів]] (двох гострих і двох [[Кут|розгорнутих кутів]]), як і в будь-якого схрещеного прямокутника, дорівнює 720°.<ref>{{Стаття
|автор=Michael De Villiers
|ref=
|заголовок=Stars: A Second Look
|url=https://www.researchgate.net/publication/264520455_Stars_A_second_look
|рік=1999
|том=
|сторінки=
|issn=
|doi=
|журнал=Mathematics in School, 28(5)
|мова=англ.
|accessdate=2024-06-22
|archivedate=2016-03-03
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160303182521/http://mysite.mweb.co.za/residents/profmd/stars.pdf
}}Retrieved 2011-11-13.</ref>

Прямокутник і схрещений прямокутник є чотирикутниками, що мають наступні спільні властивості:
* Протилежні сторони мають однакову довжину.
* Дві діагоналі мають однакову довжину.
* Він має дві прямі, що визначають [[Відбиття (геометрія)|дзеркальну симетрію]] і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] порядку 2 (через 180°).

[[Файл:Crossed rectangles.png|320px]]

== Інші види прямокутників ==
[[Файл:Saddle rectangle example.png|thumb|'''Сідловий прямокутник''' має 4 не планарні вершини і утворений {{нп|Скорочення (геометрія)|частковим усіканням|en|Alternation (geometry)}} із вершин [[Прямокутний паралелепіпед|прямокутного паралелепіпеда]], що є єдиною внутрішньою [[Мінімальна поверхня|мінімальною поверхнею]], яка визначається як лінійна комбінація чотирьох вершин. На малюнку показано синім показано 4 ребра прямокутника, і дві діагоналі зеленим, всі вони є діагоналями прямокутних граней паралелепіпеда.]]

У [[Сферична геометрія|сферичній геометрії]], '''сферичним прямокутником''' називають фігуру із чотирма ребрами, які є дугами [[Велике коло|великого кола]], які утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину. Сферична геометрія є найпростішою формою еліптичної геометрії. Поверхня сфери в Евклідовій геометрії є не Евклідовою поверхнею в розумінні еліптичної геометрії.

В [[Еліптична геометрія|еліптичній геометрії]], '''еліптичним прямокутником''' є фігура у еліптичній площині, чотири ребра якої є еліптичними дугами, які також утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

У [[гіперболічна геометрія|гіперболічній геометрії]], '''гіперболічним прямокутником''' є фігура в гіперболічній площині, чотири ребра якої є гіперболічними дугами, які утворюють між собою однакові кути менші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

{{Clear}}

== Див. також ==
* [[Паралелограм]]
* [[Чотирикутник]]
* [[Трапеція]]
* [[Квадрат]]
* [[Прямокутний паралелепіпед]]
* [[Гіперпрямокутник]]
* [[Задача про найбільший порожній прямокутник]]
* [[Золотий прямокутник]]
* [[Прямокутне число]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = Гайштут О. Г. , Ушаков Р. П. , Шамович О. А.
|заголовок = 
|рік = 2013
|тираж = 
|ISBN = 978-966-178-327-9
|серія = 
|allpages = 624
|columns = 
|pages = 
|том = 
|видавництво = Літера ЛТД
|частина = 
|місце = Київ
|видання = 
|відповідальний = 
|посилання = https://chtyvo.org.ua/authors/Haishtut_Oleksandr/Matematyka_dovidnyk_dlia_abituriientiv_ta_uchniv_zahalnoosvitnikh_navchalnykh_zakladiv/
|оригінал = 
|посилання частина = 
|ref = Гайштут О. Г. , Ушаков Р. П. Математика: довідник
|назва = Математика: довідник для абітурієнтів та учнів загальноосвітніх закладів
}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=Rectangle|title=Rectangle}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Rectangle|title=Rectangle}}
* Довжик М. В. [https://ua.onlinemschool.com/math/formula/rectangle/ «Прямокутник. Формули та властивості прямокутника»]. на сайті OnlineMSchool

[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Типи чотирикутників]]