Перегляд вихідного коду сторінки Проєкція Мольвейде

[[Файл:Mollweide_projection_SW.jpg|міні|400x400пкс| Проекція світу Мольвейде]]
[[Файл:Mollweide_with_Tissot's_Indicatrices_of_Distortion.svg|міні|400x400пкс| Проекція Мольвейде з [[Еліпс спотворення|індикатрисом деформації Тіссо]]]]
'''Проекція Мольвейде'''— це [[Рівновелика проєкція|рівновелика]] [[Картографічна проєкція|псевдоциліндрична картографічна проекція]], яка зазвичай використовується для карт світу або [[Небесна сфера|небесної сфери]]. Вона також відома як '''проекція Бабіне''', '''гомалографічна проекція''', '''гомолографічна проекція''' та '''еліптична проекція''' . Проекція замінює точність кута та форми на точність пропорцій площі, і  використовується там, де ця властивість необхідна, наприклад на картах із зображенням глобального розподілу.

Проекцію вперше опублікував математик і астроном {{link-interwiki |Карл Моллвайде |text=Карл Брандан Мольвейде |Q=Q61764}} (1774–1825) з [[Лейпциг|Лейпцига]] в 1805 році. Вона була наново відкрита і популяризована у 1857 році [[Жак Бабіне|Жаком Бабіне]], який дав проєкції назву «'''гомалографічної проекції»'''. Варіація «'''гомолографічна''' »виникла внаслідок частого використання в дев'ятнадцятому столітті в зоряних атласах.<ref>''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections'', John P. Snyder, 1993, pp.&nbsp;112&#x2013;113, {{ISBN|0-226-76747-7}}.</ref>
[[Файл:WMAP 2012.png|міні| Зображення зі станції [[WMAP]](2012) [[Реліктове випромінювання|космічного мікрохвильового фонового випромінювання]] . <ref name="Space-20121221">{{Cite web|url=http://www.space.com/19027-universe-baby-picture-wmap.html|title=New 'Baby Picture' of Universe Unveiled|last=Gannon|first=Megan|date=21 грудня 2012|publisher=[[Space.com]]|access-date=21 грудня 2012}}</ref> <ref name="arXiv-20121220">{{Cite journal|last=Bennett|first=C.L.|last2=Larson|first2=L.|last3=Weiland|first3=J.L.|last4=Jarosk|first4=N.|last5=Hinshaw|first5=N.|last6=Odegard|first6=N.|last7=Smith|first7=K.M.|last8=Hill|first8=R.S.|last9=Gold|first9=B.|year=2013|title=Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results|journal=[[The Astrophysical Journal Supplement Series]]|volume=208|issue=2|page=20|arxiv=1212.5225|bibcode=2013ApJS..208...20B|doi=10.1088/0067-0049/208/2/20}}</ref> Спроектоване за допомогою проекції Мольвейде.]]
[[Файл:GLODAP_sea-surf_CFC12_AYool.png|міні| Рівні [[Фреони|фреону]] на поверхні моря, виміряні {{link-interwiki |Глобальний проект аналізу даних океану |text=Глобальним проектом аналізу даних океану |Q=Q3108961}} . Спроектовані за допомогою проекції Мольвейде.]]

== Властивості ==
Мольвейде— це [[Картографічна проєкція|псевдоциліндрична]] проекція, в якій [[екватор]] представлений у вигляді прямої горизонтальної лінії, перпендикулярної до центрального [[Меридіан|меридіана]], що становить половину довжини екватора. Інші [[Паралель|паралелі]] стискаються біля полюсів, тоді як інші меридіани рівномірно віддалені на екваторі. Меридіани під 90 градусами на схід і захід утворюють ідеальне коло, а вся Земля зображена в пропорційному еліпсі 2:1. Пропорція площі еліпса між будь-якою даною паралеллю та екватором така ж, як і пропорція площі на глобусі між цією паралеллю та екватором, але за рахунок спотворення форми, яке є значним на периметрі еліпс, хоча і не такий різкий, як у {{link-interwiki |Синусоїдальна проекція |text=синусоїдальній проекції |Q=Q773174}}.

Спотворення форми можна зменшити за допомогою ''переривчастої'' версії. ''Синусоїдальна переривчаста'' проекція Мольвейде відкидає центральний меридіан на користь чергування пів-меридіанів, які закінчуються під прямим кутом до екватора. Це має ефект поділу земної кулі на частки. Навпаки, ''паралельна переривчаста'' проекція Мольвейде використовує кілька непересічних центральних меридіанів, створюючи ефект кількох еліпсів, з’єднаних на екваторі. Рідше проекцію можна намалювати похило, щоб змістити зони викривлення до океанів, дозволяючи континентам залишатися вірнішими.

Мольвейде або його властивості надихнули на створення кількох інших проекцій, включаючи {{link-interwiki |Проекція гомолозину Гуда |text=гомолозин Гуда |Q=Q1189702}}, [[Проєкція Ван дер Ґрінтена|ван дер Ґрінтена]] та {{link-interwiki |Евморфна проекція Боггса |text=евморфний Боггса |Q=Q18205604}}.<ref>[https://pubs.er.usgs.gov/publication/pp1395 ''Map Projections – A Working Manual''], [[United States Geological Survey|USGS]] Professional Paper 1395, John P. Snyder, 1987, pp.&nbsp;249&#x2013;252</ref>

== Математичне формулювання ==
Проекція перетворюється з широти та довготи на карту координат ''x'' та ''y'' за допомогою таких рівнянь: <ref name="MathWorldMollweide"><templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|urlname=MollweideProjection|title=Mollweide Projection|author=Weisstein, Eric W.}}</ref>

: <math>\begin{align} x &= R \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \left( \lambda - \lambda_{0} \right) \cos \theta, \\[5px] y &= R \sqrt 2 \sin \theta ,\end{align}</math>

де ''θ'' – допоміжний кут, визначений

: <math>2\theta + \sin 2\theta = \pi \sin \varphi \qquad (1)</math>

і ''λ'' — довгота, ''λ''0 — центральний меридіан, ''φ'' — широта, а ''R'' — радіус земної кулі, що проектується. Карта має площу 4{{Pi}}''R'' {{Sup|2}}, що відповідає площі поверхні твірного глобуса. Координата ''x'' має діапазон [−2''R''{{Radical|2}}, 2''R''{{Radical|2}}], а координата ''y'' має діапазон [− ''R''{{Radical|2}}, ''R''{{Radical|2}}].

Рівняння (1) можна розв’язати з швидкою збіжністю (але повільною поблизу полюсів) за допомогою ітерації [[Метод Ньютона|Ньютона–Рафсона]] : <ref name="MathWorldMollweide"/>

: <math>\begin{align} \theta_0 &= \varphi, \\ \theta_{n+1} &= \theta_n - \frac{2 \theta_n + \sin 2\theta_n - \pi \sin \varphi}{2 + 2 \cos 2\theta_n}.\end{align}</math> <ref group="note">The formula in the text helps the reader confirm that the formula is correct. For [[Чисельні методи|numerical computation]] the denominator should be changed, starting with the double angle identity.
</ref>

Якщо ''φ'' = ±{{Ндріб|{{pi}}|2}}, то також ''θ'' = ±{{Ндріб|{{pi}}|2}} . У такому випадку ітерацію слід обійти; інакше може виникнути [[ділення на нуль]].

Існує [[Вираз замкненої форми|замкнуте]] обернене перетворення: <ref name="MathWorldMollweide"/>

: <math>\begin{align} \varphi &= \arcsin \frac{2 \theta + \sin 2\theta}{\pi}, \\[5px] \lambda &= \lambda_{0} + \frac{\pi x}{2 R \sqrt{2} \cos \theta}, \end{align}</math>

де ''θ'' можна знайти за співвідношенням

: <math>\theta = \arcsin \frac{y}{R \sqrt{2}}. \,</math>

Зворотні перетворення дозволяють знайти широту і довготу, що відповідають картографічним координатам ''x'' і ''y''.

== Дивись також ==

* [[Перелік картографічних проєкцій|Список картографічних проекцій]]
* {{iw|Проекція Айтоффа|||Aitoff projection}}
* {{iw|Проекція молотка|||Hammer projection}}
* Сімейство {{iw|гіпереліптична проекція Тоблера|гіпереліптичних проекцій Тоблера||Tobler hyperelliptical projection}}

== Примітки ==
{{Reflist|group=note}}

== Список літератури ==
{{Reflist}}

== Зовнішні посилання ==

* [https://web.archive.org/web/20120207150913/http://www.uff.br/mapprojections/Mollweide_en.html Інтерактивний Java-аплет для вивчення деформацій (площа, відстань і кут) проекції карти Моллвайде]
* [http://mathworld.wolfram.com/MollweideProjection.html Проекція Mollweide в Mathworld]
{{Картографічні проєкції}}
[[Категорія:Картографічні проєкції]]