Перегляд вихідного коду сторінки Проєктивний об'єкт

У [[теорія категорій|теорії категорій]], поняття '''проєктивного об'єкта''' узагальнює [[проєктивний модуль|проєктивні модулі]]. Проєктивні об'єкти у [[абелева категорія|абелевих категоріях]] широко використовуються у [[гомологічна алгебра|гомологічній алгебрі]]. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.

== Означення ==
Об'єкт <math>P</math> у категорії <math>\mathcal{C}</math> називається '''проєктивним''' якщо для довільного [[епіморфізм]]а <math>e:E\twoheadrightarrow X</math> і [[морфізм]]а <math>f:P\to X</math>, існує морфізм <math>\overline{f}:P\to E</math> для якого <math>e\circ \overline{f}=f</math>, тобто існує [[комутативна діаграма]]:

[[Файл:Projective object.svg|150px]]

У локально малій категорії <math>\mathcal{C}</math> <math>P</math> є проєктивним якщо і тільки якщо [[функтор Hom]]
: <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math>
зберігає [[епіморфізм]]и.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/851741862|title=Categories for Working Mathematician|last=Mac Lane|first=Saunders|date=1978|publisher=Springer New York|isbn=1441931236|edition=Second|location=New York, NY|oclc=851741862|pages=114}}</ref>

=== Абелеві категорії ===

Нехай <math>\mathcal{C}</math>&nbsp;— локально мала [[абелева категорія]]. У цьому випадку об'єкт <math>P\in\mathcal{C}</math> називається ''проєктивним об'єктом'' якщо

: <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}</math>

є [[точний функтор|точним функтором]], де <math>\mathbf{Ab}</math> є [[категорія (математика)|категорією]] [[абелева група|абелевих груп]].

Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є

* [[Функтор Hom]] <math> \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}</math> переводить [[Коядро (теорія категорій)|коядра]] об'єктів у коядра.
* Функтор Hom <math> \operatorname{Hom}(P,-)</math> переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
* Функтор Hom <math> \operatorname{Hom}(P,-)</math> переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
* Кожна послідовність виду
:: <math>0 \to U \to V \to P \to 0</math>
: є [[точна послідовність|точною]] у <math>{\mathcal C}</math> тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто <math>V</math> є ізоморфним прямій сумі <math> U \oplus P </math>.

== Властивості ==

* [[Кодобуток]] двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/740446073|title=Category theory|last=Awodey|first=Steve|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780199237180|edition=2nd|location=Oxford|oclc=740446073|pages=72}}</ref>
* Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.<ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/740446073|title=Category theory|last=Awodey|first=Steve|date=2010|publisher=Oxford University Press|isbn=9780199237180|edition=2nd|location=Oxford|oclc=740446073|pages=33}}</ref>

== Достатньо проєктивних об'єктів ==
Нехай <math>\mathcal{A}</math>&nbsp;— [[абелева категорія]]. Кажуть, що <math>\mathcal{A}</math> має '''достатньо проєктивних об'єктів''' якщо для кожного об'єкта <math>A</math> у <math>\mathcal{A}</math> існує проєктивний об'єкт <math>P</math> у <math>\mathcal{A}</math> і [[точна послідовність]]

: <math>P \longrightarrow \longrightarrow 0.</math>

Іншими словами <math>p\colon P \to A</math> є [[епіморфізм]]ом.

== Приклади ==
* Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є [[Твердження, еквівалентні аксіомі вибору|еквівалентним]] [[аксіома вибору|аксіомі вибору]].
* Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
* Нехай <math>R</math>&nbsp;— [[кільце (алгебра)|кільце]] з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих <math>R</math>-модулів <math>\mathcal{M}_R</math>. Проєктивними об'єктами у <math>\mathcal{M}_R</math> є [[проєктивний модуль|проєктивні ліві R-модулі]]. Зокрема <math>R</math> є проєктивним об'єктом у <math>\mathcal{M}_R.</math>
* Категорія лівих (правих) <math>R</math>-модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) <math>R</math>-модуля <math>M</math>, можна взяти вільний (а відтак проєктивний) <math>R</math>-модуль <math>F</math> породжений елементами <math>M</math> і канонічна проєкція <math>\pi\colon F\to M</math> буде необхідним сюр'єктивним відображенням.

== Примітки ==
{{reflist}}

== Див. також ==
* [[Ін'єктивний об'єкт]]
* [[Проєктивний модуль]]

[[Категорія:Гомологічна алгебра]]
[[Категорія:Теорія категорій]]