Перегляд вихідного коду сторінки Простір Lp

{{DISPLAYTITLE:Простір ''L<sup>p''</sup>}}
'''Просторами <math>L^p</math>''' в математиці називаються простори [[вимірна функція|вимірних функцій]], які при піднесенні до степеня <math>p\,</math> (де <math>p \geqslant 1</math>) є [[Інтеграл Лебега|інтегровними за Лебегом]].

<math>\ L^p</math> — найважливіший клас [[Банахів простір|банахових просторів]]. Окрім того, <math>\ L^2</math> — класичний приклад [[Гільбертів простір|гільбертового простору]].

== Побудова простору L<sup>p</sup> ==

'''Визначення 1.''' Нехай задано [[простір з мірою]] <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math>. Зафіксуємо <math>1 \leqslant p < \infty</math> і розглянемо [[множина|множину]] [[вимірна функція|вимірних функцій]], визначених на цьому просторі, таких що
: <math>\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.</math>
Позначимо цю множину <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> або просто <math>\mathcal{L}^p</math>.

'''Теорема 1.''' <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> є [[Лінійний простір|лінійним простором]]. Доведення одержується з елементарних властивостей [[Інтеграл Лебега|інтеграла Лебега]], а також [[нерівність Мінковського|нерівності Мінковського]].

На цьому лінійному просторі можна ввести [[напівнорма|напівнорму]]:
: <math>\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{\frac{1}{p}}.</math>
Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є [[нерівність трикутника|нерівністю трикутника]] для цієї напівнорми.

'''Замітка 1.''' Введена таким чином напівнорма не є [[норма (математика)|нормою]], бо якщо <math>f(x) = 0\,</math> [[майже всюди]], то <math>\|f\|_p = 0</math>, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з [[напівнорма|напівнормою]] в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині [[міра|міри]] нуль.

'''Визначення 2.''' Введемо на <math>\mathcal{L}^p</math> [[відношення еквівалентності]]:
:<math>f \!\sim g</math>, якщо <math>f(x) = g(x)\,</math> [[майже всюди]].

Це відношення розбиває простір <math>\mathcal{L}^p\,</math> на [[класи еквівалентності]], причому напівнорми будь-яких двох представників ''одного і того ж класу'' збігаються.

Тоді на побудованому [[Фактор-простір|фактор-просторі]] (тобто множині класів еквівалентності) <math>\mathcal{L}^p/\sim</math> можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

'''Визначення 3.''' Фактор-простір <math>\left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right)</math> з побудованою на ньому нормою називається простором <math>L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> або просто <math>L^p\,</math>.

При <math>0<p<1\,</math>, <math>L_p\,</math> не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при <math>0<p<1\,</math> <math>\forall f,g\in L_p(\Omega):\{\int\limits_\Omega|f(x)+g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}\geq \{\int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}+\{\int\limits_\Omega |g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}</math>), проте утворюють [[метричний простір|метричні простори]]. 

== Повнота простору L<sup>p</sup> ==

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику
: <math>d(f,\;g) = \|f-g\|_p,</math>
а отже і поняття збіжності.

'''Визначення 3.''' Нехай є послідовність функцій <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p</math>. Тоді ця послідовність збігається до функції <math>f\in L^p</math>, якщо
: <math>\|f_n-f\|_p \to 0</math> при <math>n \to \infty.</math>

'''Теорема 2.''' Простір <math>L^p\,</math> є повним, тобто будь-яка [[фундаментальна послідовність]] <math>L^p\,</math> збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, <math>L^p\,</math> — [[банахів простір]].

== Простір L<sup>2</sup> ==

У випадку <math>p=2\,</math> введена вище норма породжується [[скалярний добуток|скалярним добутком]]. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як [[ортогональність]], [[проєкція]] і ін.

'''Визначення 4.''' Введемо на просторі <math>L^2</math> скалярний добуток таким чином:
: <math>\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x)\,\overline{g(x)} \mu(dx)</math>
у випадку, якщо дані [[Комплекснозначна функція|функції комплекснозначні]], або
: <math>\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x)\,{g(x)} \mu(dx),</math>
якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:
: <math>\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},</math>
тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого <math>L^p\,</math>, одержуємо:

'''Теорема 3.''' Простір <math>L^2\,</math> — [[Гільбертів простір|гільбертів]].

== Простір L<sup>∞</sup> ==

Розглянемо простір <math>\mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням
: <math>\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess}\sup\limits_{x\in X} |f(x)|,</math>
одержуємо  банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається '''рівномірною'''. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:
: <math>f_n \to f</math> у <math>L^{\infty}</math>, якщо <math>\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>.

== Властивості просторів L<sup>p</sup> ==

* Із збіжності функцій майже всюди '''не''' випливає збіжність в просторі <math>L^p\,</math>. Нехай <math>f_n(x)=n^{1/p}\,</math> при <math>x\in(0,1/n]</math> і <math>f_n(x)=0\,</math> при <math>x\in(1/n,1]</math>, <math>f_n\in L^p</math>. Тоді <math>f_n \to 0</math> майже всюди. Але <math>\|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1</math>. Зворотне твердження також невірне.
* Якщо <math>\|f_n-f\|_p \to 0</math> при <math>n\to \infty</math>, то існує ''підпослідовність'' <math>f_{n_k}</math>, така що <math>f_{n_k} \to f</math> майже всюди.
* <math>L^p\,</math> функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай <math>L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — підмножина <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math>, що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді <math>L^p_{C^{\infty}}</math> всюди щільна в <math>L^p</math>.
* <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — [[сепарабельний простір]].
* Якщо <math>\mu \,</math> — скінченна міра, наприклад, [[ймовірність]], і <math>1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty</math>, то <math>L^q \subset L^p</math>. Зокрема <math>L^2 \subset L^1</math>, тобто [[випадкова величина]] зі скінченним другим [[моменти випадкової змінної|моментом]] має скінченний перший момент.

== Простори спряжені L<sup>p</sup> ==

Нехай <math>\left(L^p\right)^{\star}</math> є простором [[Спряжений простір|спряженим]] до <math>L^p\,</math> (так званий ''копростір''). За визначенням, елемент <math>g \in \left(L^p\right)^{\star}</math> є [[Лінійний функціонал|лінійним функціоналом]] на <math>L^p\,</math>.

'''Теорема 4.''' Якщо <math>1 < p < \infty</math>, то <math>\left(L^p\right)^{\star}</math> [[ізоморфізм|ізоморфний]] <math>L^q\,</math> (пишемо <math>\left(L^p\right)^{\star} \cong L^q</math>), де <math>1/p+1/q=1\,</math>. Будь-який лінійний функціонал на <math>L^p\,</math> має вигляд:
: <math>g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),</math>
де <math>\tilde{g}(x)\in L^q</math>.

Через симетрію рівняння <math>1/p+1/q=1\,</math> сам простір <math>L^p\,</math> є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до <math>L^q\,</math>, а отже:
: <math>\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.</math>

Цей результат справедливий і для випадку <math>p=1\,</math>, тобто <math>\left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}</math>. Проте <math>\left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1</math> і, зокрема <math>\left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1</math>.

== Простори l<sup>p</sup>, 1 ≤ p ≤ ∞ ==

Нехай <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)</math>, де <math>m\,</math> — [[зліченна міра]] на <math>\mathbb{N}</math>, тобто <math>m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}</math>. Тоді якщо <math>p<\infty</math>, то й простір <math>L^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)</math> є множиною [[числова послідовність|послідовностей]] <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, таких що
: <math>\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.</math>
Відповідно, норма на цьому просторі задається
: <math>\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.</math>
Одержаний нормований простір позначається <math>l^p\,</math>.

Якщо <math>p=\infty</math>, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою
: <math>\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.</math>
Одержаний нормований простір позначається  <math>l^{\infty}</math>. Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши <math>p=2\,</math>, ми одержуємо гільбертів простір <math>l^2\,</math>,  норма якого породжена скалярним добутком
: <math>\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n  \overline{y_n},</math>
якщо послідовності комплекснозначні, і
: <math>\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},</math>
якщо вони дійсні.

Простір, дуальний <math>l^p\,</math>, де <math>1 \leqslant p < \infty</math> ізоморфний <math>l^q\,</math>, <math>1/p+1/q=1\,</math>.

== Див. також ==
* [[Простір Гарді]]
* [[Ін'єктивний метричний простір]]

== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Банах. КФА Лінійні операції}}
* {{Банах.Диференціальне та інтегральне числення}}
* {{Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2}}
* {{Колмогоров.Фомин}}

{{Функційний аналіз}}
[[Категорія:Нормовані простори|Lp]]
[[Категорія:Банахові простори|Lp]]
[[Категорія:Ряди]]
[[Категорія:Топологічні простори функцій]]
[[Категорія:Теорія міри]]