Перегляд вихідного коду сторінки Простір масштабів

{{Простір масштабів}}

Теорія '''про́стору масшта́бів''' ({{lang-en|scale-space theory}})&nbsp;— це основа для [[Багатомасштабна математика|багатомасштабного]] [[Подання знань|подання]] [[Сигнал (теорія інформації)|сигналів]], розроблена спільнотами [[Комп'ютерне бачення|комп'ютерного бачення]], [[Обробка зображень|обробки зображень]] та [[Обробка сигналів|обробки сигналів]] з доповняльними мотивами з [[Фізика|фізики]] та [[Біологічне бачення|біологічного бачення]]. Це формальна теорія для роботи зі структурами зображень на різних {{нп|Масштабний множник|масштабах||Scale (ratio)}} шляхом подавання зображення як однопараметрового сімейства згладжених зображень, '''масштабопросторо́вого подання́''' ({{lang-en|scale-space representation}}), параметрованого розміром [[Ядро згортки (обробка зображень)|ядра]] {{нп|Згладжування (обробка зображень)|згладжування||Smoothing}}, яке використовують для пригнічування дрібномасштабних структур.<ref name=iij62>Ijima, T. "Basic theory on normalization of pattern (in case of typical one-dimensional pattern)". Bull. Electrotech. Lab. 26, 368– 388, 1962. {{ref-ja}}</ref><ref name=wit83 /><ref name=koe84 /><ref name=lin94 /><ref name=lin94review /><ref name=flo97 /><ref name="sporring-etal-1997" /><ref name=rom03 /> Параметр <math>t</math> у цьому сімействі називають ''параметром масштабу'' ({{lang-en|scale parameter}}) з інтерпретацією, що у просторі масштабів структури зображення просторового розміру менше за приблизно <math>\sqrt{t}</math> було значною мірою згладжено на масштабі <math>t</math>.

Основним типом простору масштабів є ''лінійний (гауссів) простір масштабів'', який має широку застосовність, а також привабливу властивість можливості виведення з невеликого набору ''[[Масштабопросторові аксіоми|масштабопросторових аксіом]]''. Відповідна масштабопросторова система охоплює теорію операторів гауссових похідних, які можливо використовувати як основу для вираження великого класу зорових операцій для комп'ютеризованих систем обробки зорової інформації. Ця система також дозволяє робити зорові операції ''[[Інваріантність щодо масштабу|масштабоінваріантними]]'', що необхідно для роботи з варіаціями розміру, які можуть траплятися в даних зображень, оскільки реальні об'єкти можуть мати різні розміри, та й відстань між об'єктом і камерою може бути невідомою й може змінюватися залежно від обставин.<ref name=lin08 /><ref name=lin14compvisrefguide />

== Визначення ==

Поняття простору масштабів застосовують до сигналів довільної кількості змінних. Найпоширеніший випадок у літературі стосується двовимірних зображень, що й подано тут. Для заданого зображення <math>f(x, y)</math> його лінійне (гауссове) ''масштабопросторове подання''&nbsp;— це сімейство похідних сигналів <math>L(x, y; t)</math>, визначене [[Згортка (математичний аналіз)|згорткою]] <math>f(x, y)</math> таким двовимірним [[Гауссове ядро|гауссовим ядром]]

: <math>g(x, y; t) = \frac {1}{{2 \pi t}}e^{-(x^2+y^2)/2t}\, , </math>

що

: <math>L(\cdot, \cdot ; t)\ = g(\cdot, \cdot ; t) * f(\cdot, \cdot) ,</math>

де крапка з комою в аргументі <math> L </math> означає, що згортка виконується лише над змінними <math>x, y</math>, тоді як параметр масштабу <math>t</math> після крапки з комою просто вказує, який рівень масштабу визначають. Це визначення <math> L </math> працює для континууму масштабів <math>t \geq 0</math>, але зазвичай розглядають лише скінченний дискретний набір рівнів у масштабопросторовому поданні.

Параметр масштабу <math>t = \sigma^2</math>&nbsp;— це [[Дисперсія випадкової величини|дисперсія]] [[Гауссів фільтр|гауссового фільтра]], і в граничному випадку для <math> t = 0 </math> фільтр <math> g </math> стає [[Імпульсна функція|імпульсною функцією]], так що <math>L(x, y; 0) = f(x, y), </math> тобто масштабопросторове подання на рівні масштабу <math>t = 0</math> це саме зображення <math> f </math>. Зі збільшенням <math> t </math>, <math> L </math> стає результатом згладжування <math> f </math> все більшим і більшим фільтром, таким чином видаляючи все більше деталей, які містить зображення. Оскільки стандартним відхиленням фільтра є <math>\sigma = \sqrt{t} </math>, значно менші за це значення деталі значною мірою видаляються із зображення за параметра масштабу <math> t </math>, див. графічні ілюстрації в наступному рисунку та в&nbsp;<ref name="lin-cern" />.

<gallery widths="286" heights="205" perrow="2">
Файл:Scalespace0.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=0</math>, що відповідає первинному зображенню <math>f</math>
Файл:Scalespace1.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=1</math>
Файл:Scalespace2.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=4</math>
Файл:Scalespace3.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=16</math>
Файл:Scalespace4.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=64</math>
Файл:Scalespace5.png|Масштабопросторове подання <math>L(x,y;t)</math> в масштабі <math>t=256</math>
</gallery>

=== Чому саме гауссів фільтр? ===

При стиканні із завданням створення багатомасштабного подання можна запитати: чи можливо використовувати для створення простору масштабів будь-який фільтр ''g'' на кшталт фільтру низьких частот із параметром ''t'', який визначає його ширину? Відповідь&nbsp;— ні, оскільки дуже важливо, щоби згладжувальний фільтр не вносив нових паразитних структур на грубих масштабах, які не відповідають спрощенням відповідних структур у тонших масштабах. У літературі з простору масштабів було висловлено низку різних способів сформулювати цей критерій точними математичними термінами.

Висновок з кількох різних поданих аксіоматичних виведень полягає в тому, що гауссів простір масштабів становить ''канонічний'' спосіб породження лінійного простору масштабів, заснований на істотній вимозі, що при переході від тонкого до будь-якого грубішого масштабу не повинні створюватися нові структури.<ref name=iij62/><ref name=koe84/><ref name=lin94/><ref name=flo97/><ref name=lin08/><ref name="Babaud-EtAl" /><ref name="Yuille-Poggio" /><ref name="Lindeberg-1990" /><ref name="Pauwels-EtAl" /><ref name="Lindeberg-1997" /><ref name="Weickert-1999" /><ref name="Lin11" /><ref name="Lin13-AIEP" /> До умов, званих ''[[Масштабопросторові аксіоми|масштабопросторовими аксіомами]]'', які використовували для виведення унікальності гауссового ядра, належать {{нп|лінійність|||Linearity}}, {{нп|інваріантність щодо зміщення|||Shift invariance}}, [[Напівгрупа|напівгрупова]] структура, непосилення [[Локальний екстремум|локальних екстремумів]], [[Інваріантність щодо масштабу|масштабова]] та {{нп|обертова інваріантність|||Rotational invariance}}. У працях&nbsp;<ref name="Pauwels-EtAl" /><ref>M. Felsberg and G.Sommer "[http://dev.ipol.im/~reyotero/bib/bib_all/2004_Felsberg_Sommer_monogenic_scalespace_JMIV.pdf The Monogenic Scale-Space: A Unifying Approach to Phase-Based Image Processing in Scale Space]", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 21(1): 5–28, 2004. {{ref-en}}</ref><ref>R. Duits, L. Florack, J. de Graaf and B. ter Haar Romeny "[https://research.tue.nl/files/1995486/595679.pdf On the Axioms of Scale Space Theory]", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 20(3): 267–298, 2004. {{ref-en}}</ref> цю унікальність, заявлену в аргументах на основі інваріантності щодо масштабу, піддають критиці, й пропонують альтернативні самоподібні масштабопросторові ядра. Гауссове ядро, проте, є унікальним вибором відповідно до масштабопросторової аксіоматики на основі причинності<ref name=koe84/> або непосилення локальних екстремумів.<ref name="Lindeberg-1997" /><ref name="Lin11" />

=== Альтернативне визначення ===

''Еквівалентно'', масштабопросторове сімейство можливо визначити як розв'язок [[рівняння дифузії]] (наприклад, у термінах [[рівняння теплопровідності]]),

: <math>\partial_t L = \frac{1}{2} \nabla^2 L,</math>

з початковою умовою <math>L(x, y; 0) = f(x, y)</math>. Це формулювання масштабопросторового подання ''L'' означає, що можливо інтерпретувати значення яскравості зображення ''f'' як «розподіл температури» в площині зображення, і що процес, який породжує масштабопросторове подання як функцію від ''t'', відповідає [[Дифузія|дифузії]] тепла в площині зображення за час ''t'' (за припущення, що теплопровідність матеріалу дорівнює довільно обраній сталій ½). Хоча цей зв'язок може здатися поверховим читачеві, не знайомому з [[Диференціальні рівняння|диференціальними рівняннями]], насправді дійсно основне масштабопросторове формулювання в термінах непосилення локальних екстремумів виражається через умову знаку на [[Частинна похідна|частинні похідні]] в 2+1-вимірному об'ємі, породженому простором масштабів, відтак у рамках [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]]. Крім того, детальний аналіз дискретного випадку показує, що рівняння дифузії забезпечує об'єднувальний зв'язок між безперервним і дискретним просторами масштабів, що також узагальнюється на нелінійні простори масштабів, наприклад, із застосуванням [[Анізотропна дифузія|анізотропної дифузії]]. Отже, можна сказати, що основним способом породження простору масштабів є рівняння дифузії, і що гауссове ядро виникає як [[функція Гріна]] цього конкретного диференціального рівняння в частинних похідних.

== Мотивації ==
Мотивація для породження масштабопросторового подання заданого набору даних походить від базового спостереження, що об'єкти реального світу складаються з різних структур на різних {{нп|Масштабний множник|масштабах||Scale (ratio)}}. Це означає, що об'єкти реального світу, на противагу до ідеалізованих математичних об'єктів, таких як [[Точка|точки]] або [[Пряма|прямі]], можуть виглядати по-різному залежно від масштабу спостереження. Наприклад, поняття «дерево» доречне в масштабі метрів, тоді як такі поняття, як листя та молекули, доречніші в тонших масштабах. Для системи [[Комп'ютерне бачення|комп'ютерного бачення]], яка аналізує невідому сцену, немає способу знати апріорі, які {{нп|Масштабний множник|масштаби||Scale (ratio)}} підходять для опису цікавих структур у даних зображення. Отже, єдиним розумним підходом є розглядати описи в кількох масштабах, щоб мати можливість вловлювати невідомі варіації масштабу, які можуть мати місце. У граничному випадку масштабопросторове подання розглядає подання на всіх масштабах.<ref name=lin08/>

Інша мотивація концепції простору масштабів походить від процесу виконання фізичних вимірювань на реальних даних. Щоби виділяти будь-яку інформацію з процесу вимірювання, до даних необхідно застосовувати ''оператори нескінченно малого розміру''. В багатьох галузях інформатики та прикладної математики розмір оператора вимірювання при теоретичному моделюванні задачі не враховується. З іншого боку, масштабопросторова теорія явним чином включає потребу в не нескінченно малому розмірі операторів зображення як невід'ємній частини будь-якого вимірювання, а також будь-якої іншої операції, яка залежить від вимірювання в реальному світі.<ref name=lin94review/>

Існує тісний зв'язок між масштабопросторовою теорією та біологічним баченням. Багато масштабопросторових операцій демонструють високий ступінь подібності з профілями рецептивних полів, записаними на сітківці й перших етапах зорової кори ссавців. У цьому відношенні систему простору масштабів можливо розглядати як теоретично обґрунтовану парадигму для попередньої обробки зорової інформації, яку до того ж було ретельно перевірено алгоритмами та експериментами.<ref name=lin94/><ref name=lin08/>

== Гауссові похідні ==

На будь-якому масштабі в просторі масштабів ми можемо застосовувати до масштабопросторового подання оператори локальних похідних:

: <math>L_{x^m y^n}(x, y; t) = \left( \partial_{x^m y^n} L \right)(x, y; t) .</math>

Через комутативну властивість між оператором похідної та оператором гауссового згладжування такі ''масштабопросторові'' ''похідні'' ({{lang-en|scale-space derivatives}}) можливо еквівалентно обчислювати шляхом згортання первинного зображення з операторами похідних гауссіанів. З цієї причини їх часто також називають ''гауссовими похідними'' ({{lang-en|Gaussian derivatives}}):

: <math>L_{x^m y^n}(\cdot, \cdot; t) = \partial_{x^m y^n} g(\cdot, \cdot;\, t) * f (\cdot, \cdot).</math>

Унікальність операторів гауссових похідних як локальних операцій, виведених із масштабопросторового подання, можливо отримати аналогічними аксіоматичними виведеннями, які використовують для виведення унікальності гауссового ядра для масштабопросторового згладжування.<ref name=lin94/><ref name="Koenderink-vanDoorn" />

=== Зорова попередня обробка ===

Ці оператори гауссових похідних, своєю чергою, можливо об'єднувати за допомогою лінійних або нелінійних операторів у великий спектр різних типів виявлячів ознак, які в багатьох випадках можливо добре моделювати за допомогою [[Диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]]. Зокрема, інваріантність (або, точніше, ''коваріантність'') до локальних геометричних перетворень, таких як обертання або локальні афінні перетворення, можливо отримати шляхом розгляду диференціальних інваріантів за відповідного класу перетворень або, як варіант, шляхом унормовування операторів гауссових похідних на локально визначену систему координат, визначену, наприклад, з бажаного спрямування в області зображення, або шляхом застосування бажаного локального афінного перетворення до локального фрагмента зображення (докладніше див. у статті про [[афінне пристосовування форми]]).

Коли оператори гауссових похідних та диференціальні інваріанти використовують таким чином як виявлячі базових ознак у кількох масштабах, ці незавершені перші етапи зорової обробки часто називають ''зоровою попередньою обробкою'' ({{lang-en|visual front-end}}). Цю загальну систему застосовували до широкого спектру задач комп'ютерного бачення, включно з [[Виявляння ознак (комп'ютерне бачення)|виявлянням]] та [[Класифікування (машинне навчання)|класифікуванням ознак]], [[Масштабопросторове сегментування|сегментуванням]] та [[Зіставляння зображень|зіставлянням зображень]], [[Оцінювання руху|оцінюванням руху]], обчисленням сигналів про [[Форма предмету|форму]], та {{нп|Розпізнавання об'єктів|розпізнаванням об'єктів||Object recognition}}. Набір операторів гауссових похідних до певного порядку часто називають [[N-струмінь|''N''-струменем]], він становить базовий тип ознак масштабопросторової системи.

== Приклади виявлячів ==

Дотримуючись ідеї вираження зорових операцій у термінах диференціальних інваріантів, обчислюваних на кількох масштабах із застосуванням операторів гауссових похідних, ми можемо виразити [[Виявляння контурів|виявляч контурів]] із набору точок, який задовольняє вимогу, щоби величина градієнта

: <math>L_v = \sqrt{L_x^2 + L_y^2}</math>

набувала локального максимуму в напрямку градієнта

: <math>\nabla L = (L_x, L_y)^T.</math>

Шляхом диференціальногеометричних розробок можливо показати,<ref name=lin94/> що цей [[Диференціальне виявляння контурів|диференціальний виявляч контурів]] можливо еквівалентно виразити з перетинів нуля диференціальним інваріантом другого порядку

: <math>{\tilde L}_v^2 = L_x^2 \, L_{xx} + 2 \, L_x \, L_y \, L_{xy} + L_y^2 \, L_{yy} = 0</math>

які задовольняють таку умові знаку на диференціальному інваріанті третього порядку:

: <math>{\tilde L}_v^3 = L_x^3 \, L_{xxx} + 3 \, L_x^2 \, L_y \, L_{xxy} + 3 \, L_x \, L_y^2 \, L_{xyy} + L_y^3 \, L_{yyy} < 0.</math>

Аналогічно, багатомасштабні [[Виявляння плям|виявлячі плям]] на будь-якому заданому фіксованому масштабі<ref name=lin98 /><ref name=lin08/> можливо отримати з локальних максимумів та мінімумів або [[Оператор Лапласа|оператора Лапласа]] (що також називають [[Лапласіан гауссіана|лапласіаном гауссіана]])

: <math>\nabla^2 L = L_{xx} + L_{yy} \, </math>

або [[Визначник гессіана|визначника матриці Гессе]]

: <math>\operatorname{det} H L(x, y; t) = (L_{xx} L_{yy} - L_{xy}^2).</math>

Аналогічним чином виявлячі кутів та виявлячі хребтів і долин можливо виразити як локальні максимуми, мінімуми або перетини нуля багатомасштабних диференціальних інваріантів, визначених із гауссових похідних. Алгебричні вирази для операторів виявляння кутів і хребтів, проте, є дещо складнішими, й читача відсилають по додаткові відомості до статей про [[виявляння кутів]] і [[Виявляння хребтів|хребтів]].

Масштабопросторові операції також часто використовують для вираження грубо—точних методів ({{lang-en|coarse-to-fine methods}}), зокрема для таких завдань, як [[Зіставляння зображень|зіставляння]] та [[Масштабопросторове сегментування|багатомасштабне сегментування зображень]].

== Обирання масштабу ==

Подана на даний момент теорія описує добре обґрунтовану систему для ''подавання'' структур зображень у кількох масштабах. Проте в багатьох випадках також необхідно обирати локально доречні масштаби для подальшого аналізу. Така потреба в ''обиранні масштабу'' ({{lang-en|scale selection}}) постає з двох основних причин: (i) об'єкти реального світу можуть мати різний розмір, і цей розмір може бути невідомим системі бачення, та (ii) відстань між об'єктом та камерою може змінюватися, й ця інформація про відстань також може бути невідомою апріорно. Дуже корисною властивістю масштабопросторового подання є те, що подання зображень можливо робити [[Інваріантність щодо масштабу|інваріантними до масштабів]] шляхом автоматичного обирання локального масштабу<ref name=lin08/><ref name=lin14compvisrefguide /><ref name=lin98 /><ref name=lin98b /><ref name=lin99cvhandbook /><ref>[https://doi.org/10.1007/s10851-016-0691-3 T. Lindeberg "Temporal scale selection in time-causal scale space", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 58(1): 57–101, 2017.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin17SSVM>[https://dx.doi.org/10.1007/s10851-017-0766-9 T. Lindeberg "Spatio-temporal scale selection in video data", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 60(4): 525–562, 2018.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin18SIIMS>[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1160646%22&dswid=9503 T. Lindeberg "Dense scale selection over space, time and space-time", SIAM Journal on Imaging Sciences, 11(1): 407–441, 2018.] {{ref-en}}</ref> на основі [[Локальний максимум|локальних максимумів]] (або [[Локальний мінімум|мінімумів]]) над масштабами масштабонормованих [[Похідна|похідних]]

: <math>L_{\xi^m \eta^n}(x, y; t) = t^{(m+n) \gamma/2} L_{x^m y^n}(x, y; t)</math>

де <math>\gamma \in [0,1]</math>&nbsp;— параметр, пов'язаний з розмірністю ознаки зображення. Цей алгебричний вираз для ''операторів масштабонормованих гауссових похідних'' походить із введення ''<math>\gamma</math>-нормованих похідних'' відповідно до

: <math>\partial_{\xi} = t^{\gamma/2} \partial_x\quad</math> і <math>\quad\partial_{\eta} = t^{\gamma/2} \partial_y.</math>

Може бути теоретично показано, що модуль обирання масштабу, який працює за цим принципом, задовольнятиме такій ''властивості коваріантності щодо масштабу'' ({{lang-en|scale covariance property}}): якщо для певного типу ознаки зображення передбачається локальний максимум у певному зображенні на певному масштабі <math>t_0</math>, то за масштабування зображення коефіцієнтом масштабу <math>s</math> цей локальний максимум над масштабами у зміненому зображенні зміниться до рівня масштабу <math>s^2 t_0</math>.<ref name=lin98 />

=== Масштабоінваріантне виявляння ознак ===
{{Див. також|Інваріантність щодо масштабу}}
Дотримуючись цього підходу гамма-нормованих похідних, можливо показати, що можливо виразити різні типи ''масштабопристосованих та [[Інваріантність щодо масштабу|масштабоінваріантних]] [[Виявляння ознак (комп'ютерне бачення)|виявлячів ознак]]''<ref name=lin08/><ref name=lin14compvisrefguide/><ref name=lin98/><ref name=lin98b/><ref name=lin99cvhandbook/><ref>[https://doi.org/10.1007/s10851-012-0378-3 T. Lindeberg ``Scale selection properties of generalized scale-space interest point detectors", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 46(2): 177–210, 2013.] {{ref-en}}</ref><ref>[https://doi.org/10.1007/s10851-014-0541-0 T. Lindeberg ``Image matching using generalized scale-space interest points", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 52(1): 3–36, 2015.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin17SSVM/> для таких завдань як [[виявляння плям]], [[Виявляння кутів|кутів]], [[Виявляння хребтів|хребтів]], [[Виявляння контурів|контурів]] та [[Виявляння просторово-часових особливих точок|просторово-часових особливих точок]] (докладний опис формулювання цих масштабоінваріантних виявлячів ознак див. у конкретних статтях на ці теми). Крім того, рівні масштабу, отримувані автоматичним обиранням, можливо використовувати, щоби визначати особливі області для подальшого [[Афінне пристосовування форми]]<ref name=lingar97 /> для отримання афінноінваріантних особливих точок,<ref name="Baumberg-2000" /><ref name="Mikolajczyk-Schmid" /> або для визначення рівнів масштабу для обчислення пов'язаних {{нп|Описувач зображення|описувачів зображення||Image descriptor}}, таких як локально масштабопристосовані [[N-струмінь|''N''-струмені]].

Нещодавні праці показали, що таким чином можливо виконувати й складніші операції на кшталт масштабонезалежного {{нп|розпізнавання об'єктів|||Object recognition}}, обчислюючи локальні описувачі зображення (''N''-струмені чи локальні гістограми спрямування градієнтів) у масштабопристосованих особливих точках, отриманих із масштабопросторових екстремумів нормованого [[Оператор Лапласа|оператора Лапласа]] (див. також [[масштабоінваріантне ознакове перетворення]]<ref name="Lowe-2004" />) або визначника матриці Гессе (див. також [[прискорені стійкі ознаки]]);<ref name="Bay-EtAl" /> див. також статтю ''Scholarpedia'' про [http://www.scholarpedia.org/article/Scale_Invariant_Feature_Transform масштабоінваріантне ознакове перетворення]<ref name="Lindeberg-Scholarpedia" /> про загальніший погляд на підходи до розпізнавання об'єктів на основі відгуків рецептивних полів<ref name="Lin13-AIEP" /><ref name="Schiele-Crowley" /><ref name="Linde-Lindeberg-2004" /><ref name="Linde-Lindeberg-2012" /> у термінах операторів гауссових похідних або їхніх наближень.

== Пов'язані багатомасштабні подання ==

[[Піраміда (обробка зображень)|Піраміда]] зображення&nbsp;— це дискретне подання, в якому простір масштабів дискретизують як у просторі, так і в масштабі. Для [[Інваріантність щодо масштабу|масштабоінваріантності]] коефіцієнти масштабу слід вибирати експоненційно, наприклад, як цілі степені 2 або {{Math|{{sqrt|''2''}}}}. За правильної побудови, відношення частот дискретизації у просторі та масштабі залишають сталим, тоді імпульсний відгук ідентичний на всіх рівнях піраміди.<ref name="Burt-Adelson" /><ref>[http://doi.org/10.1109/TPAMI.1984.4767504 Crowley, J. L. and Stern, R. M. (1984) Fast Computation of the Difference of Low Pass Transform, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6:212-222] {{ref-en}}</ref><ref name="Crowley-Sanderson" /><ref name="Lindeberg-Bretzner"/> Існують швидкі, ''Ο''(''N''), алгоритми для обчислювання масштабоінваріантної піраміди зображення, в якій зображення або сигнал багаторазово згладжується, і відтак субдискретизується. Значення для простору масштабів між зразками в піраміді можливо легко оцінювати, застосовуючи інтерполяцію в межах масштабів і між ними, й уможливлюючи оцінки масштабу та положення з екстрароздільністю.<ref name="Lindeberg-Bretzner" />

У масштабопросторовому поданні існування безперервного параметра масштабу дозволяє відстежувати перетини нуля над масштабами, що дає так звану ''глибоку структуру'' ({{lang-en|deep structure}}). Для ознак, визначених як {{нп|Перетин нуля|перетини нуля||Zero crossing}} [[Диференціальний інваріант|диференціальними інваріантами]], [[теорема про неявну функцію]] безпосередньо визначає [[Траєкторія|траєкторії]] крізь масштаби,<ref name=lin94/><ref name=lin92jmiv /> і на тих масштабах, де відбуваються розгалуження, локальну поведінку можливо моделювати за допомогою {{нп|Теорія особливостей|теорії особливостей||Singularity theory}}.<ref name=lin94/><ref name=lin92jmiv/><ref name="Koendering-vanDoorn-1986" /><ref name="Damon-1995" /><ref name="FloKui-2000">[https://doi.org/10.1023/A:1008304909717 Florack, L., Kuijper, A. The topological structure of scale-space images. Journal of Mathematical Imaging and Vision 12, 65–79, 2000.] {{ref-en}}</ref>

Розширення теорії лінійного простору масштабів стосуються формулювання нелінійних масштабопросторових концепцій, краще пристосованих до конкретних цілей.<ref name="Romeny-1994" /><ref name="Weickert-1998" /> Ці ''{{нпні|Нелінійний простір масштабів|нелінійні простори масштабів||Non-linear scale-space}}'' ({{lang-en|non-linear scale-spaces}}) часто починаються з еквівалентного дифузійного формулювання концепції простору масштабів, яке згодом розширюють нелінійним чином. Таким чином було сформульовано велику кількість еволюційних рівнянь, умотивованих різними специфічними вимогами (додаткову інформацію див. у вищезгаданій літературі). Проте слід зазначити, що не всі ці нелінійні простори масштабів задовольняють подібним «приємним» теоретичним вимогам, як і концепція лінійного гауссового простору масштабів. Тож іноді можуть виникати несподівані артефакти, і слід бути дуже обережними, щоби не використовувати термін «масштабопросторове» для взагалі будь-якого типу однопараметрових сімейств зображень.

Розширення першого порядку ізотропного гауссового простору масштабів забезпечує ''афінний (гауссів) простір масштабів''.<ref name=lin94/> Один із мотивів цього розширення витікає із загальної потреби в обчисленні описувачів зображень для об'єктів реального світу, які розглядають за {{нпні|Перспективна модель камери|перспективної моделі камери||perspective camera model}}. Щоб обробляти такі нелінійні деформації локально, часткової інваріантності (або, правильніше, {{нп|Коваріантне перетворення|коваріантності||Covariant transformation}}) до локальних {{нп|Афінна деформація|афінних деформацій||Affine deformation}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Affine deformation]] (→ [[:en:Deformation (physics)#Affine deformation]]) перекладена як [[Деформація]], хоча хотіли [[Афінна деформація]] (SashkoR0B0T)--> може бути досягнуто шляхом розгляду афінних гауссових ядер, форми яких визначаються локальною структурою зображення;<ref name=lingar97/> теорію та алгоритми див. у статті про [[афінне пристосовування форми]]. Справді, цей афінний простір масштабів також можливо виразити з неізотропного розширення лінійного (ізотропного) рівняння дифузії, все ще перебуваючи в класі лінійних [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]].

Існує загальніше розширення гауссової масштабопросторової моделі на афінні та просторово-часові простори масштабів.<ref name=lin94/><ref name=lingar97/><ref name=Lin11>[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A440633&dswid=-7078 Lindeberg, T. Generalized Gaussian scale-space axiomatics comprising linear scale-space, affine scale-space and spatio-temporal scale-space, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 40(1): 36–81, 2011.] {{ref-en}}</ref><ref name="Lin13-AIEP">[https://dx.doi.org/10.1016/B978-0-12-407701-0.00001-7 Lindeberg, T. Generalized axiomatic scale-space theory, Advances in Imaging and Electron Physics, Elsevier, volume 178, pages 1–96, 2013.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin16-JMIV>[https://doi.org/10.1007/s10851-015-0613-9 T. Lindeberg (2016) "Time-causal and time-recursive spatio-temporal receptive fields", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 55(1): 50–88.] {{ref-en}}</ref> На додачу до змінюваності над масштабами, для обробки яких було розроблено первинну масштабопросторову теорію, ця ''узагальнена масштабопросторова теорія'' ({{lang-en|generalized scale-space theory}})<ref name="Lin13-AIEP" /> охоплює також й інші типи змінюваності, викликанні геометричними перетвореннями в процесі формування зображення, включно зі змінюваністю в напрямку огляду, наближуваною локальними афінними перетвореннями, та відносним рухом об'єктів світу та спостерігача, наближуваним локальними [[Перетворення Галілея|перетвореннями Галілея]]. Ця узагальнена масштабопросторова теорія веде до передбачень щодо профілів рецептивних полів, які мають добре якісне узгодження з профілями рецептивних полів, вимірюваними за допомогою записів нейронів у біологічному зорі.<ref name=Lin13BICY>[https://dx.doi.org/10.1007/s00422-013-0569-z Lindeberg, T. A computational theory of visual receptive fields, Biological Cybernetics, 107(6): 589–635, 2013.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin13PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0066990 Lindeberg, T. Invariance of visual operations at the level of receptive fields, PLoS ONE 8(7):e66990, 2013] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin16-JMIV/><ref name=Lin21/>

Існують тісні взаємозв'язки між масштабопросторовою та [[вейвлет]]ною теоріями, хоч ці два поняття багатомасштабного подання й було розроблено з дещо різних посилок. Була також робота й над іншими [[Багатомасштабні підходи|багатомасштабними підходами]], такими як [[Піраміда (обробка зображень)|піраміди]] та різноманітні інші ядра, які не використовують або не вимагають тих же вимог, що й справжні масштабопросторові описи.

== Відношення до біологічного зору та слуху ==

Існують цікаві зв'язки між масштабопросторовим поданням та біологічним зором і слухом. Нейрофізіологічні дослідження біологічного зору показали, що існують профілі [[Рецептивне поле|рецептивних полів]] у [[Сітківка|сітківці]] й [[Зорова кора|зоровій корі]] ссавців, які можливо добре моделювати лінійними операторами гауссових похідних, у деяких випадках також доповненими неізотропною афінною масштабопросторовою моделлю, просторово-часовою масштабопросторовою моделлю, та/або нелінійними комбінаціями таких лінійних операторів.<ref name=Lin11 /><ref name=Lin13BICY/><ref name=Lin13PONE /><ref name=Lin16-JMIV/><ref name=Lin21>[https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2021.e05897 Lindeberg, T. (2021) Normative theory of visual receptive fields, Heliyon 7(1): e05897] {{ref-en}}</ref><ref name="DeAngelis-EtAl" /><ref name="Young-1987" /><ref>[https://doi.org/10.1163/156856801753253582 Young R.A., Lesperance R.M., Meyer W.W. (2001) The Gaussian derivative model for spatio-temporal vision: I. Cortical model. Spat. Vis. 14: 261-319] {{ref-en}}</ref><ref>[https://doi.org/10.1163/156856801753253591 Young R.A. Lesperance R.M. (2001) The Gaussian derivative model for spatio-temporal vision: II. Cortical data. Spat. Vis. 14: 321-389] {{ref-en}}</ref>

Стосовно біологічного слуху, існують профілі [[Рецептивне поле|рецептивних полів]] у {{нп|Нижнє двогорб'я|нижньому двогорб'ї||Inferior colliculus}} та {{нп|Первинна слухова кора|первинній слуховій корі||Primary auditory cortex}}, які можливо добре моделювати спектрально-часовими рецептивними полями, які можливо добре моделювати гауссовими похідними над логарифмічними частотами та віконними перетвореннями Фур'є над часом, де віконні функції є часовими масштабопросторовими ядрами.<ref name=LinFri15PONE>[https://dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0119032 T. Lindeberg and A. Friberg "Idealized computational models of auditory receptive fields", PLOS ONE, 10(3): e0119032, pages 1–58, 2015] {{ref-en}}</ref><ref name=LinFri15SSVM>[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A789795&dswid=4949 T. Lindeberg and A. Friberg (2015) ``Scale-space theory for auditory signals", Proc. SSVM 2015: Scale-Space and Variational Methods in Computer Vision, Springer LNCS 9087: 3–15.] {{ref-en}}</ref>

== Глибоке навчання та простір масштабів ==

У сфері класичного комп'ютерного зору масштабопросторова теорія зарекомендувала себе як теоретична основа для попередньої зорової обробки, при цьому гауссові похідні становлять канонічну модель для першого шару рецептивних полів. З появою [[Глибоке навчання|глибокого навчання]] також розпочалася робота над використанням гауссових похідних або гауссових ядер як загальної основи для рецептивних полів у глибоких мережах.<ref name=Jac16>[https://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2016/papers/Jacobsen_Structured_Receptive_Fields_CVPR_2016_paper.pdf Jacobsen, J.J., van Gemert, J., Lou, Z., Smeulders, A.W.M. (2016) Structured receptive fields in CNNs. In: Proceedings of Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 2610–2619.] {{ref-en}}</ref><ref name=Wor19>[https://openreview.net/forum?id=S1eS24HlUH Worrall, D., Welling, M. (2019) Deep scale-spaces: Equivariance over scale. In: Advances in Neural Information Processing Systems (NeurIPS 2019), pp. 7366–7378.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin20>[https://doi.org/10.1007/s10851-019-00915-x Lindeberg, T. (2020) Provably scale-covariant continuous hierarchical networks based on scale-normalized differential expressions coupled in cascade. J. Math. Imaging Vis. 62, 120–148.] {{ref-en}}</ref><ref name=Lin22>[https://doi.org/10.1007/s10851-021-01057-9 Lindeberg, T. (2022) Scale-covariant and scale-invariant Gaussian derivative networks. J. Math. Imaging Vis. 64, 223–242.] {{ref-en}}</ref><ref name=Pin21>[https://arxiv.org/abs/2106.03412 Pintea, S. L., Tömen, N., Goes, S. F., Loog, M., & van Gemert, J. C. (2021). Resolution learning in deep convolutional networks using scale-space theory. IEEE Transactions on Image Processing, 30, 8342-8353.] {{ref-en}}</ref> Використовуючи перетворювальні властивості гауссових похідних та гауссових ядер при масштабувальних перетвореннях, можливо отримати масштабову коваріантність/еквіваріантність та масштабоінваріантність глибокої мережі для обробки структур зображення в різних масштабах теоретично обґрунтованим чином.<ref name=Lin20/><ref name=Lin22/> Також було розроблено підходи для отримання масштабової коваріантності/еквіваріантності та масштабоінваріантності за допомогою навчених фільтрів у поєднанні з декількома масштабовими каналами.<ref name=Sos20>[https://openreview.net/forum?id=HJgpugrKPS Sosnovik, I., Szmaja, M., Smeulders, A. (2020) Scale-equivariant steerable networks. In: International Conference on Learning Representations.] {{ref-en}}</ref><ref name=Bek20>[https://openreview.net/pdf?id=H1gBhkBFDH Bekkers, E.J.: B-spline CNNs on Lie groups (2020) In: International Conference on Learning Representations.] {{ref-en}}</ref><ref name=Jan21>[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1515273&dswid=-3165 Jansson, Y., Lindeberg, T. (2021) Exploring the ability of CNNs to generalise to previously unseen scales over wide scale ranges. In: International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2020), pp. 1181–1188.] {{ref-en}}</ref><ref name=Sos21>[https://www.bmvc2021-virtualconference.com/assets/papers/1258.pdf Sosnovik, I., Moskalev, A., Smeulders, A. (2021) DISCO: Accurate discrete scale convolutions. In: British Machine Vision Conference.] {{ref-en}}</ref><ref name=Jan22>[https://doi.org/10.1007/s10851-022-01082-2 Jansson, Y., Lindeberg, T. (2022) Scale-invariant scale-channel networks: Deep networks that generalise to previously unseen scales, Journal of Mathematical Imaging and Vision, dot:10.1007/s10851-022-01082-2.] {{ref-en}}</ref> Зокрема, використовуючи поняття масштабової коваріантності/еквіваріантності та масштабоінваріантності, можливо забезпечувати надійне функціювання глибоких мереж на масштабах, не охоплених тренувальними даними, таким чином забезпечуючи масштабове узагальнювання.<ref name=Lin20/><ref name=Lin22/><ref name=Jan21/><ref name=Jan22/>

== Нюанси втілювання ==

При втілюванні масштабопросторового згладжування на практиці існує низка різних підходів, які можливо застосовувати в термінах безперервного або дискретного гауссового згладжування, втілення в області Фур'є, в термінах пірамід на основі біноміальних фільтрів, що наближують гауссів, або з використанням рекурсивних фільтрів. Докладніше це висвітлено в окремій статті про [[Втілення простору масштабів]].

== Див. також ==

* [[Різниця гауссіанів]]
* [[Функція Гаусса]]
* [[MIP-текстурування|''MIP''-текстурування]]

== Примітки ==

{{reflist|refs=
<ref name=wit83>
[https://www.ijcai.org/Proceedings/83-2/Papers/091.pdf Witkin, A. P. "Scale-space filtering", Proc. 8th Int. Joint Conf. Art. Intell., Karlsruhe, Germany,1019–1022, 1983.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=koe84>
Koenderink, Jan "[http://image.diku.dk/imagecanon/material/Koenderink84.pdf The structure of images]", Biological Cybernetics, 50:363–370, 1984 {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin94>[http://www.csc.kth.se/~tony/book.html Lindeberg, T., Scale-Space Theory in Computer Vision, Kluwer Academic Publishers, 1994], {{ISBN|0-7923-9418-6}} {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin94review>
{{Cite news|
author = T. Lindeberg |
title = Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales|
journal = Journal of Applied Statistics (Supplement on Advances in Applied Statistics: Statistics and Images: 2) |
volume = 21 |
number = 2 |
url=http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A457189&dswid=1292 |
pages = 224–270 |
year = 1994 |
doi = 10.1080/757582976}} {{ref-en}}</ref>
<ref name=flo97>
Florack, Luc, Image Structure, Kluwer Academic Publishers, 1997. {{ref-en}}</ref>
<ref name="sporring-etal-1997">[https://www.springer.com/sgw/cda/frontpage/0,,5-40356-72-33673666-0,00.html Sporring, Jon et al. (Eds), Gaussian Scale-Space Theory, Kluwer Academic Publishers, 1997.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060211161901/http://www.springer.com/sgw/cda/frontpage/0,,5-40356-72-33673666-0,00.html |date=2006-02-11 }} {{ref-en}}</ref>
<ref name=rom03>{{cite book|last=ter Haar Romeny|first=Bart M.|title=Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis: Multi-scale Computer Vision Theory and Applications, written in Mathematica|url=https://books.google.com/books?id=JaMSBwAAQBAJ|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4020-8840-7}} {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin08 >
{{Cite encyclopedia
| author=Lindeberg, Tony
| title=Scale-space
| encyclopedia=Encyclopedia of Computer Science and Engineering
| editor=Benjamin Wah
| publisher=John Wiley and Sons
| volume = IV
| pages = 2495–2504
| year = 2008
| doi=10.1002/9780470050118.ecse609
| url = http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A441147&dswid=-9523
| isbn=978-0470050118
}} {{ref-en}}</ref>
<ref name="lin-cern">
[http://www.csc.kth.se/~tony/cern-review/cern-html/node2.html Graphical illustration of basic ideas of scale-space representation at http://www.csc.kth.se/~tony/cern-review/cern-html/node2.html] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Babaud-EtAl">
[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=11298&dl=GUIDE&coll=GUIDE J. Babaud, A. P. Witkin, M. Baudin, and R. O. Duda, Uniqueness of the Gaussian kernel for scale-space filtering. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 8(1), 26–33, 1986.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Yuille-Poggio">[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=11297&dl=ACM&coll=ACM A. Yuille, T.A. Poggio: Scaling theorems for zero crossings. IEEE Trans. Pattern Analysis & Machine Intelligence, Vol. PAMI-8, no. 1, pp. 15–25, Jan. 1986.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Lindeberg-1990">[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A472968&dswid=-704 Lindeberg, T., "Scale-space for discrete signals," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. PAMI-12, No. 3, March 1990, pp. 234–254.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Pauwels-EtAl">
[http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=628701 Pauwels, E., van Gool, L., Fiddelaers, P. and Moons, T.: An extended class of scale-invariant and recursive scale space filters, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 17, No. 7,  pp. 691–701, 1995.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Lindeberg-1997">
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A456533&dswid=-4517 Lindeberg, T.: On the axiomatic foundations of linear scale-space: Combining semi-group structure with causality vs. scale invariance. In: J. Sporring et al. (eds.) Gaussian Scale-Space Theory: Proc. PhD School on Scale-Space Theory, (Copenhagen, Denmark, May 1996), pages 75–98, Kluwer Academic Publishers, 1997.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Weickert-1999">[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=607668&dl=ACM&coll=ACM Weickert, J. Linear scale space has first been proposed in Japan. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 10(3):237–252, 1999.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Koenderink-vanDoorn">
[https://doi.org/10.1109/34.141551 Koenderink, Jan and van Doorn, Ans: "Generic neighbourhood operators", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 14, pp 597–605, 1992.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin98>
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A453064&dswid=4881 Lindeberg, Tony "Feature detection with automatic scale selection", International Journal of Computer Vision, 30, 2, pp 77–116, 1998.] {{ref-en}}
</ref>
<ref name=lin98b>
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A452310&dswid=-9862 Lindeberg, Tony "Edge detection and ridge detection with automatic scale selection", International Journal of Computer Vision, 30, 2, pp 117–154, 1998.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin99cvhandbook>
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A450871&dswid=9686 Lindeberg, Tony, "Principles for automatic scale selection", In: B. Jähne (et al., eds.), Handbook on Computer Vision and Applications, volume 2, pp 239—274, Academic Press, Boston, USA, 1999.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=lingar97>
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A472972&dswid=-6171 Lindeberg, T. and Garding, J.: Shape-adapted smoothing in estimation of 3-D depth cues from affine distortions of local 2-D structure, Image and Vision Computing, 15,~415–434, 1997.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Baumberg-2000">
[http://csdl2.computer.org/persagen/DLAbsToc.jsp?resourcePath=/dl/proceedings/&toc=comp/proceedings/cvpr/2000/0662/01/0662toc.xml&DOI=10.1109/CVPR.2000.855899 Baumberg, A.: Reliable feature matching across widely separated views, Proc. Computer Vision Pattern Recognition, I:1774–1781, 2000.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Mikolajczyk-Schmid">
[http://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/research/affine/det_eval_files/mikolajczyk_ijcv2004.pdf Mikolajczyk, K. and Schmid, C.: Scale and affine invariant interest point detectors, Int.  Journal of Computer Vision, 60:1, 63 – 86, 2004.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Lowe-2004">
[http://citeseer.ist.psu.edu/lowe04distinctive.html Lowe, D. G., “Distinctive image features from scale-invariant keypoints”, International Journal of Computer Vision, 60, 2, pp. 91–110, 2004.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Bay-EtAl">
[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1077314207001555 H. Bay, A. Ess, T. Tuytelaars and L. van Gool,  "Speeded-up robust features (SURF)", Computer Vision and Image Understanding, 110:3, 2008, pages 346–359] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Lindeberg-Scholarpedia">
[http://www.scholarpedia.org/article/Scale_Invariant_Feature_Transform Lindeberg, T. “Scale-invariant feature transform”, Scholarpedia, 7(5):10491, 2012.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Schiele-Crowley">
[https://doi.org/10.1023%2FA%3A1008120406972 B. Schiele and J. L. Crowley "Recognition without correspondence using multidimensional receptive field histograms", International Journal of Computer Vision, 36:1, 31–50, 2000] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Linde-Lindeberg-2004">
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A451227&dswid=1354 O. Linde and T. Lindeberg "Object recognition using composed receptive field histograms of higher dimensionality", Proc. International Conference on Pattern Recognition (ICPR'04), Cambridge, U.K. II:1–6, 2004.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Linde-Lindeberg-2012">
[http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A465703&dswid=-3121 O. Linde and T. Lindeberg "Composed complex-cue histograms: An investigation of the information content in receptive field based image descriptors for object recognition",  Computer Vision and Image Understanding, 116:4, 538–560, 2012.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Burt-Adelson">Burt, Peter and Adelson, Ted, "[https://www.seas.upenn.edu/~cse399b/LaplacianPyramid.pdf The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220123223830/https://www.seas.upenn.edu/~cse399b/LaplacianPyramid.pdf |date=2022-01-23 }}", IEEE Trans. Communications, 9:4, 532–540, 1983. {{ref-en}}</ref>
<ref name="Crowley-Sanderson">
[http://www-prima.inrialpes.fr/Prima/Homepages/jlc/papers/Crowley-Sanderson-PAMI87.pdf  Crowley, J. L. and Sanderson, A. C. "Multiple resolution representation and probabilistic matching of 2-D gray-scale shape", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 9(1), pp 113–121, 1987.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin92jmiv>
T. Lindeberg (1992) [https://dx.doi.org/10.1007/BF00135225 Scale-space behaviour of local extrema and blobs, J. of Mathematical Imaging and Vision, 1(1), pages 65—99.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Koendering-vanDoorn-1986">
Jan Koenderink and Andrea van Doorn, A. J. (1986), ‘[https://link.springer.com/article/10.1007/BF00318204 Dynamic shape]’,{{closed access}} Biological Cybernetics 53, 383–396. {{ref-en}}</ref>
<ref name="Damon-1995">
Damon, J. (1995), ‘[https://core.ac.uk/download/pdf/81189379.pdf Local Morse theory for solutions to the heat equation and Gaussian blurring]’, Journal of Differential Equations 115(2), 386–401. {{ref-en}}</ref>
<ref name="Romeny-1994">
ter Haar Romeny, Bart M. (Editor), [https://books.google.com/books?id=Fr2rCAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false Geometry-Driven Diffusion in Computer Vision], Kluwer Academic Publishers, 1994. {{ref-en}}</ref>
<ref name="Weickert-1998">
[http://www.mia.uni-saarland.de/weickert/book.html Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing, Teuber Verlag, Stuttgart, 1998.] {{ref-en}}</ref>
<ref name="Young-1987">
Young, R. A. "[https://www.researchgate.net/profile/Richard_Young9/publication/20001242_The_Gaussian_derivative_model_for_spatial_vision_I_Retinal_mechanisms/links/5a159a174585153b546c8f2e/The-Gaussian-derivative-model-for-spatial-vision-I-Retinal-mechanisms.pdf The Gaussian derivative model for spatial vision: Retinal mechanisms]", Spatial Vision, 2:273–293, 1987. {{ref-en}}</ref>
<ref name="DeAngelis-EtAl">[http://ohzawa-lab.bpe.es.osaka-u.ac.jp/ohzawa-lab/pdf/TINS95.pdf DeAngelis, G. C., Ohzawa, I., and Freeman, R. D., "Receptive-field dynamics in the central visual pathways", Trends Neurosci. 18: 451–458, 1995.]{{Недоступне посилання}} {{ref-en}}</ref>
<ref name=Lindeberg-Bretzner>
T. Lindeberg and L. Bretzner (2003) [http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A440700&dswid=-4789 "Real-time scale selection in hybrid multi-scale representations", Proc. Scale-Space'03, Isle of Skye, Scotland, Springer Lecture Notes in Computer Science, volume 2695, pages 148–163.] {{ref-en}}</ref>
<ref name=lin14compvisrefguide>
T. Lindeberg (2014) [http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A1392833&dswid=-6426 "Scale selection", Computer Vision: A Reference Guide, (K. Ikeuchi, Editor), Springer, pages 701–713.] {{ref-en}}</ref>
}}

== Література ==

* {{Cite encyclopedia
| author=Lindeberg, Tony
| title=Scale-space
| encyclopedia=Encyclopedia of Computer Science and Engineering
| editor=Benjamin Wah
| publisher=John Wiley and Sons
| volume = IV
| pages = 2495–2504
| year = 2008
| doi=10.1002/9780470050118.ecse609
| url = http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A441147&dswid=366
| isbn=978-0470050118
}} {{ref-en}}
* [http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A457189&dswid=-658 Lindeberg, Tony: Scale-space theory: A basic tool for analysing structures at different scales, in J. of Applied Statistics, 21(2), pp. 224–270, 1994.] (довший ''pdf''-посібник з простору масштабів) {{ref-en}}
* [https://cds.cern.ch/record/400314/files/p27.pdf Lindeberg, Tony: Scale-space: A framework for handling image structures at multiple scales, Proc. CERN School of Computing, 96(8): 27-38, 1996.] {{ref-en}}
* [https://faculty.idc.ac.il/arik/LODSeminar/05ScaleSpace/romeny_scalespace.pdf Romeny, Bart ter Haar: Introduction to Scale-Space Theory: Multiscale Geometric Image Analysis, Tutorial VBC ’96, Hamburg, Germany, Fourth International Conference on Visualization in Biomedical Computing.] {{ref-en}}
* [https://link.springer.com/article/10.1007/BF01262401 Florack, Luc, Romeny, Bart ter Haar, Viergever, Max, & Koenderink, Jan: Linear scale space, Journal of Mathematical Imaging and Vision volume 4: 325–351, 1994.] {{ref-en}}
* [http://kth.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A450871&dswid=-1968 Lindeberg, Tony, "Principles for automatic scale selection", In: B. Jähne (et al., eds.), Handbook on Computer Vision and Applications, volume 2, pp 239—274, Academic Press, Boston, USA, 1999.] (посібник із підходів до автоматичного обирання масштабу) {{ref-en}}
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Scale-space_theory Lindeberg, Tony: "Scale-space theory"] In: Encyclopedia of Mathematics, ({{нп|Мікель Хейзвінкель|Michiel Hazewinkel||Michiel Hazewinkel}}, ed) Kluwer, 1997. {{ref-en}}
* Web archive backup: [https://web.archive.org/web/20070731095249/http://wagga.cs.umass.edu/~manmatha/cmpsci670/lecturespdf/lecture10.pdf Lecture on scale-space at the University of Massachusetts] (pdf) {{ref-en}}

== Посилання ==

* [http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html Степені десяти, інтерактивний ''Java''-посібник на вебсайті ''Molecular Expressions''] {{ref-en}}
* {{Cite web|url=http://cobalt056.bpe.es.osaka-u.ac.jp/ohzawa-lab/teaching/AA_RFtutorial.html|title=Space-Time Receptive Fields of Visual Neurons|last=Ohzawa|first=Izumi|publisher=Osaka University|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060218122122/http://cobalt056.bpe.es.osaka-u.ac.jp:80/ohzawa-lab/teaching/AA_RFtutorial.html|archivedate=18 лютого 2006}} {{ref-en}}
* [http://www.mathworks.fr/matlabcentral/fileexchange/42927-find-peaks-using-scale-space-approach Виявляння піків в одновимірних даних з використанням масштабопросторового підходу], з ліцензією ''BSD'' ''MATLAB''

[[Категорія:Комп'ютерний зір]]
[[Категорія:Обробка зображень]]