Перегляд вихідного коду сторінки Просте число Волла — Суня — Суня

В [[Теорія чисел|теорії чисел]] '''просте число Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня''' (англ. ''Wall-Sun-Sun'') або '''просте число Фібоначчі&nbsp;— Віферіха''' (''Fibonacci-Wieferich'')&nbsp;— одне з ймовірно існуючих [[просте число|простих чисел]] певного виду, пов'язаних з [[Числа Фібоначчі|числами Фібоначчі]].

== Визначення ==
Нехай <math>p</math> просте число. Послідовність [[Числа Фібоначчі|чисел Фібоначчі]] за модулем <math>p</math> утворює [[Періодична послідовність|періодичну послідовність]]. Мінімальна довжина періоду цієї послідовності називається [[період Пізано|періодом Пізано]] і позначається як <math>\pi(p)</math>. Оскільки <math>F_0 = 0</math>, звідси випливає, що <math>p</math> ділить <math>F_{\pi(p)}</math>. Просте <math>p</math>, таке що <math>p^2</math> ділить <math>F_{\pi(p)}</math> називається '''простим Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня'''.

=== Еквівалентні визначення ===
Просте число <math>p \ne 2,5</math> називається простим Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня, якщо <math>p^2</math> ділить [[число Фібоначчі]] <math>F_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)}</math>, де [[символ Лежандра]] <math>\left(\tfrac{p}{5}\right)</math> визначається як:
: <math>\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 1, &\text{if}\ p \equiv \pm1 \pmod 5\\ -1, &\text{if}\ p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}</math>

Просте число <math>p</math> називається простим Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня, якщо <math>L_p \equiv 1 \pmod {p^2}</math>, де <math>L_p</math>&nbsp;— <math>p</math>-е [[число Люка]].

== Існування ==
Вивчаючи період Пізано, Дональд Волл встановив, що не існує простих чисел Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня, менших за 10000.

Існує гіпотеза, що простих чисел Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня нескінченно багато, однак станом на серпень 2022 року жодного такого простого числа знайдено не було.

В 2007 році Річард Макінтош (''Richard J. McIntosh'') та Ерік Ретґер (''Eric L. Roettger'') показали, що якщо вони існують, то мають бути більші за 2⋅10<sup>14</sup>.<ref name="McIntosh Roettger">{{cite journal |first=R. J. |last=McIntosh |first2=E. L. |last2=Roettger |title=A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=76 |issue=260 |year=2007 |pages=2087–2094 |url=http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf |doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2|bibcode=2007MaCom..76.2087M |doi-access=free }}</ref> В 2010 році Франсуа Доре (''François G. Dorais'') та Домінік Клайв (''Dominic Klyve'') посунули межу до 9,7⋅10<sup>14</sup>.<ref>{{Cite journal |last=Dorais |first=F. G. |last2=Klyve |first2=D. W. |url=http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf |title=Near Wieferich primes up to 6.7&nbsp;×&nbsp;10<sup>15</sup> |year=2010 |accessdate=2022-08-25 |archive-date=2011-08-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110806041844/http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf }}</ref> У грудні 2011 року було розпочато пошук простих Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня в проєкті [[PrimeGrid]], однак він був зупинений в травні 2017 року.<ref>[http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=7436&nowrap=true#107809] at PrimeGrid</ref> В листопаді 2020 року PrimeGrid розпочав новий проєкт з одночасним пошуком [[Просте число Віферіха|простих Віферіха]] та Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня. Станом на серпень 2022 року PrimeGrid дійшов до межі у 14,4⋅10<sup>18</sup> та продовжує пошук ''майже'' простих чисел Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня.

=== Майже прості Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня ===
Просте число <math>p</math>, що задовільняє рівнянню <math>F_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)} \equiv Ap \pmod{p^2}</math> для малих значень <math>\mid A \mid</math>, називається майже простим Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня. PrimeGrid шукає майже прості за умовою |A| ≤ 1000. Відомо декілька випадків, коли A = ±1 ({{OEIS|id=A347565}}).

== Історія ==
Прості числа Волла&nbsp;— Суня&nbsp;— Суня названі на честь Дональда Волла (''Donald Dines Wall'')<ref name=Wall1960>{{Citation |first=D. D. |last=Wall |title=Fibonacci Series Modulo m |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=67 |issue=6 |year=1960 |pages=525–532 |doi=10.2307/2309169 |jstor=2309169 }}</ref> і братів близнюків Чжи Хон Суня (''Zhi Hong Sun'') та Чжи Вей Суня (''Zhi Wei Sun''), які в 1992 році показали, якщо перша умова [[Велика теорема Ферма|великої теореми Ферма]] не виконується для певного простого <math>p</math>, то <math>p</math> має бути простим числом Фібоначчі&nbsp;— Віферіха. Таким чином, до того, як велика теорема Ферма була доведена [[Ендрю Джон Вайлс|Ендрю Вайлсом]], пошук простих Фібоначчі&nbsp;— Віферіха мав на меті знайти потенційний контрприклад.

== Див. також ==
* [[Числа Фібоначчі]]
* [[Послідовність Люка]]
* [[Період Пізано]]
* [[Просте число Віферіха]]

== Примітки ==
{{reflist}}

[[Категорія:Класи простих чисел]]