Перегляд вихідного коду сторінки Просте розширення поля

'''Просте розширення''' — [[розширення поля]], породжене додаванням до [[поле (алгебра)|поля]] одного елемента. 

== Визначення ==

Розширення поля ''L/K'' називається простим якщо існує елемент θ в [[поле (алгебра)|полі]] ''L'' такий що єдиним підполем поля ''L'', що містить як ''K'' так і θ є саме поле ''L''.

Елемент θ тоді називається '''первісним елементом''' розширення ''L/K''. Просте розширення за допомогою елемента θ позначається ''K(θ)''.

== Класифікація ==

*Якщо θ [[трансцендентний елемент|трансцендентний]] над ''K'', то поле ''K(θ)'' [[ізоморфізм|ізоморфне]] ''K(X)'' — полю [[раціональна функція|раціональних функцій]] з коефіцієнтами з ''K''. Дане розширення — нескінченне.
*Якщо θ [[алгебраїчний елемент|алгебраїчний]] над ''K'', то для θ існує єдиний мінімальний [[многочлен]] <math>f(x) \in K[x]</math> тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого <math>f(\theta) = 0</math>. Тоді поле ''K(θ)'' ізоморфне ''K[θ]'' — [[кільце многочленів|кільцю многочленів]] від елемента ''θ''. Дане розширення в цьому випадку є [[скінченне розширення|скінченним]], його степінь рівний степеню мінімального многочлена елемента θ.

== Властивості ==

*'''[[Теорема про первісний елемент]]''': [[Скінченне розширення]] ''L/K'' є простим [[тоді і тільки тоді]] коли кількість полів ''F'', таких що ''K ⊆ F ⊆ L'' є скінченною.
Зокрема як наслідки з цієї теореми:
* Довільне скінченне [[сепарабельне розширення]] є простим. 
* Якщо ''[L : K]'' порядок розширення є [[просте число|простим числом]], тоді розширення ''L / K'' є простим.
* [[Теорема Люрота]]. Якщо ''K(θ) —'' просте трансцендентне розширення поля ''K,'' то довільне його підполе, що містить ''K'' і не є йому рівним є теж простим трансцендентним розширенням поля ''K.''

== Приклади == 

* Розширення <math>\Complex / \R</math> є простим (породжуючим елементом є [[уявна одиниця|''i'']]).
* Довільне скінченне розширення поля [[раціональне число|раціональних чисел]] є простим, оскільки воно є сепарабельним. 

== Література ==
* {{ван.дер.Варден.Алгебра}}
* {{Ленг.Алгебра}}
* Howie, John Mackintosh (2006), Fields and Galois Theory, London: Springer, ISBN 1852339861 .

[[Категорія:Теорія полів]]