Перегляд вихідного коду сторінки Проблеми Гільберта

'''Проблеми Гільберта'''&nbsp;— список з 23 кардинальних проблем математики, представлений [[Гільберт Давид|Давидом Гільбертом]] на [[Міжнародний конгрес математиків|II&nbsp;Міжнародному Конгресі математиків]] у [[Париж]]і в [[1900]] році. Повний список з 23 проблем був опублікований пізніше в 1902 році в англійському перекладі [[Мері Френсіс Вінстон Ньюсон]] у [[Бюлетень Американського математичного товариства|Бюлетені Американського математичного товариства]] (Bulletin of the American Mathematical Society)<ref>David Hilbert, {{cite web | title=Mathematical Problems | url=http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/home.html}} ''[[Bulletin of the American Mathematical Society]]'', vol. 8, no. 10 (1902), pp. 437–479. Earlier publications (in the original German) appeared in ''Göttinger Nachrichten'', 1900, pp. 253–297, and ''Archiv der Mathematik und Physik'', 3rd series, vol. 1 (1901), pp. 44–63, 213–237.</ref> Тоді ці проблеми (які охоплювали основи математики, [[алгебра|алгебру]], [[теорія чисел|теорію чисел]], [[геометрія|геометрію]], [[топологія|топологію]], алгебраїчну геометрію, [[групи Лі]], дійсний і комплексний аналіз, [[диференціальні рівняння]], математичну фізику і [[теорія ймовірностей|теорію імовірностей]], а також [[варіаційне числення]]) не були розв'язані. В наші часи розв'язані 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчасто, щоб зрозуміти, розв'язана вона чи ні, інша, далека від розв'язання,&nbsp;— фізична, а не математична). З 5 проблем, що залишилися, дві не розв'язані ніяк, а три розв'язані тільки для часткових випадків.

== Список проблем ==
{| class="standard"
|-
|align="right"|[[Континуум-гіпотеза|1]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref>Результати Геделя і Коена (Cohen) показують, що ні континуум-гіпотеза, ні її заперечення не суперечить [[аксіоматична теорія множин|системі аксіом Цермело-Френкеля]] (стандартній системі аксіом теорії множин). Таким чином, континуум-гіпотезу в цій системі аксіом неможливо ні довести, ні спростувати. Ведуться суперечки про те, чи є результат Коена повним розв'язком задачі</ref>
|Проблема Кантора про потужність континууму ([[Континуум-гіпотеза]])
|-
|align="right"|2
|bgcolor="#FFE2B6"|'''нема консенсусу'''<ref>[[Курт Гедель]] [[Теореми Геделя про неповноту|довів]], що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики</ref>
|Несуперечливість аксіом арифметики.
|-
|align="right"|3
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|[[Третя проблема Гільберта]]&nbsp;— [[рівноскладеність]] рівновеликих [[многогранник]]ів
|-
|align="right"|[[Четверта проблема Гільберта|4]]
|bgcolor="#FFE2B6"|'''занадто розпливчаста'''<ref>Згідно з Ровом (Rowe) і Греєм (Gray) (див. далі), більшість проблем були розв'язані. Деякі з них не були досить точно сформульовані, однак досягнуті результати дозволяють розглядати їхній як «розв'язані». Ров і Грей говорять про четверту проблему як про таку, яка занадто нечітко поставлена, щоб судити про те, розв'язана вона, чи ні.</ref>
|Перерахувати [[Метрика простору|метрики]], у яких прямі є [[Геодезична лінія|геодезичними]]
|-
|align="right"|[[П'ята проблема Гільберта|5]]
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Чи всі неперервні [[група (математика)|групи]] є [[Група Лі|групами Лі]]?
|-
|align="right"|6
|bgcolor="#FFE2B6"|'''не математична'''
|Математичний виклад аксіом фізики
|-
|align="right"|7
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Довести, що число <math>2^{\sqrt{2}}</math> є трансцендентним (або хоча би ірраціональним).<ref>Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у загальнішому вигляді: якщо ''а'' ≠ 0, 1&nbsp;— [[алгебраїчне число]], і ''b''&nbsp;— алгебраїчне, але ірраціональне, то ''a<sup>b</sup>''&nbsp;— [[трансцендентне число]]</ref></td>
|-
|align="right"|8
|bgcolor="#FFB2B2"|'''відкрита'''<ref>Проблема №&nbsp;8 містить дві відомі проблеми, обидві з яких залишаються нерозв'язаними. Перша з них, [[Гіпотеза Рімана]], є однією із семи [[Проблеми тисячоліття|проблем тисячоліття]], що були позначені як «Проблеми Гільберта» 21-го століття</ref>
|Проблема простих чисел ([[гіпотеза Рімана]] і [[проблема Гольдбаха]])
|-
|align="right"|9
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частково&nbsp;розв'язана'''<ref>Проблема №&nbsp;9 була розв'язана для абелевого випадку; неабелів випадок залишається нерозв'язаним</ref>
|Доведення найзагальнішого закону взаємності в будь-якому числовому полі
|-
|align="right"|10
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref>[[Матіясевич Юрій Володимирович|Юрій Матіясевич]] у 1970 році довів алгоритмічну нерозв'язність задачі про побудову універсального алгоритму, що визначає, чи є довільне діофантове рівняння розв'язним</ref>
|Задача про можливість розв'язання [[діофантове рівняння|діофантових рівнянь]]
|-
|align="right"|11
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Вивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами
|-
|align="right"|12
|bgcolor="#FFB2B2"|'''відкрита'''
|Поширення теореми Кронекера про абелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності
|-
|align="right"|13
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Неможливість розв'язання загального рівняння сьомого степеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох змінних
|-
|align="right"|14
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Доведення скінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи<ref>Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В.&nbsp;Л.&nbsp;Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.</ref>
|-
|align="right"|15
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частково&nbsp;розв'язана'''
|Строге обґрунтування обчислювальної геометрії Шуберта
|-
|align="right"|16
|bgcolor="#FFFFB2"|'''частково&nbsp;розв'язана'''<ref>Перша (алгебраїчна) частина проблеми №&nbsp;16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують&nbsp;— їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані&nbsp;— див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів&nbsp;— невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем&nbsp;— для чого кожному з них довелося написати по книзі</ref>
|Топологія алгебраїчних кривих і поверхонь<ref>Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen»] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120205025851/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html |date=2012-02-05 }}{{ref-de}}. Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 англійського перекладу тексту анонсу]{{ref-en}}), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.</ref>
|-
|align="right"|17
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Представлення визначених форм у вигляді суми квадратів
|-
|align="right"|18
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref>Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297—336; 1912, 72, S. 400—412.</ref><ref>Рів і Грій також називають проблему №&nbsp;18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як [[гіпотеза Кеплера]]) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми №&nbsp;16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.</ref>
|Скінченність кількості [[кристалографічна група|кристалографічних груп]]; нерегулярні заповнення простору конгруентними багатогранниками; [[Задача про пакування куль|найщільніше пакування куль]]
|-
|align="right"|19
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Чи завжди розв'язки регулярної варіаційної [[Лагранжіан|задачі Лагранжа]] є аналітичними?
|-
|align="right"|20
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Загальна задача про граничні умови (?)
|-
|align="right"|21
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Доведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромії
|-
|align="right"|22
|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''
|Уніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфних функцій
|-
|align="right"|23
|bgcolor="#FFB2B2"|'''не розв'язана'''
|Розвиток методів варіаційного числення
|}

== Примітки ==
{{reflist}}

== 24-а проблема ==
Спочатку список містив 24 проблеми, але в процесі підготовки до доповіді Гільберт відмовився від однієї з них. Ця 24-а проблема була пов'язана з теорією доведень критерію простоти і загальних методів. Дана проблема була виявлена завдяки Rudiger Thiele.<ref>{{cite journal|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf|title=Hilbert’s twenty-fourth problem|first=Rüdiger|last=Thiele|journal=American Mathematical Monthly|date=January 2003|access-date=2018-04-09|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303174820/http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Thiele1-24.pdf|url-status=dead}} {{ref-en}}</ref>.

== Див. також ==
* [[Гіпотеза Рімана]]
* [[Континуум-гіпотеза]]
* [[Проблема Гольдбаха]]
* [[Діофантові рівняння]]
* [[Проблеми тисячоліття]]
* [[Проблеми Ландау]]
* [[Відкриті математичні проблеми]]

== Література ==
* [https://www.webcitation.org/66lMxImOr?url=http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Оригінальний текст на німецькій доповіді Гільберта]
* [https://web.archive.org/web/20060220124102/http://vivovoco.nns.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM Російський переклад доповіді Гільберта] (вступна частина і висновок)
* [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm Проблеми Гільберта], Збірник за редакцією [[Александров Павло Сергійович|П.&nbsp;С.&nbsp;Александрова]], М., Наука, 1969&nbsp;р., 240 с.
* А.&nbsp;А.&nbsp;Болибрух, [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=1 «Проблеми Гільберта (100 років потому)»]
* [https://web.archive.org/web/20090528190700/http://dell.lib.bmstu.ru/Exhibition/Gilbert/Gilbert_head.htm До конференції 2000 року «Математика і її додатки» бібліотека МДТУ ім. Н.&nbsp;Е.&nbsp;Баумана підготувала виставку «Проблеми Гільберта», також список праць Д. Гільберта]
* {{Література
|заголовок = Двадцята проблема Гільберта. Узагальнені рішення операторних рівнянь
|автор = Ляшко С.І., Номіровский Д.А., Петунін Ю.І., [[Семенов Володимир Вікторович|Семенов В.В.]]
|посилання = http://shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html
|isbn = 978-5-8459-1524-5
|сторінки = 192
|рік = 2009
|місце =  М.
|видавництво = [[Діалектика (видавництво)|Діалектика]]
}}
== Примітки ==
{{reflist}}

{{Математика-доробити}}

{{Перекласти|en|Hilbert's problems}}


[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Наукові проблеми]]
[[Категорія:Нерозв'язані проблеми математики]]