Перегляд вихідного коду сторінки Припущення

[[Файл:RiemannCriticalLine.svg|міні|300x300пкс|Дійсна (червоний) і уявна частини (синій) дзета-функції Рімана на критичній прямий <math>\mathrm{Re}(z) = 1/2</math>. Перші нетривіальні нулі знаходяться в точках <math>\mathrm{Im}(z) = \pm 14{,}135; \pm 21{,}022; \pm 25{,}011</math>. [[Гіпотеза Рімана]] стверджує, що всі нетривіальні нулі дзета-функції знаходяться на критичній лінії. Цей факт дозволяє зробити деякі висновки про розміщення простих чисел на дійсній осі.]]
'''Припущення''' (або '''гіпотеза''')&nbsp;— [[судження]] чи [[Висловлювання (логіка)|висловлювання]], для якого не було знайдено [[Доказ (логіка)|доведення]].<ref>{{cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{cite book|last1=Schwartz|first1=JL|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and mathematics.|date=1995|page=93|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&pg=PA93&lpg=PA93&dq=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&source=bl&ots=hIvE9Onw06&sig=U3DTIi0tkie-oZdllilyAT4y1DE&hl=en&sa=X&ei=rAEwUJeZLazqigK3_IHABQ&ved=0CDUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22although%20counterpoint%20between%20the%20particular%20and%20the%20general%22&f=false|accessdate=22 липня 2018|archive-date=20 травня 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190520162740/https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&pg=PA93&lpg=PA93&dq=%22although+counterpoint+between+the+particular+and+the+general%22&source=bl&ots=hIvE9Onw06&sig=U3DTIi0tkie-oZdllilyAT4y1DE&hl=en&sa=X&ei=rAEwUJeZLazqigK3_IHABQ&ved=0CDUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22although%20counterpoint%20between%20the%20particular%20and%20the%20general%22&f=false}}</ref><ref>Н.&nbsp;И.&nbsp;Кондаков. Логический словарь&nbsp;— Москва: «Наука», 1971—656 с.</ref>.

'''Гіпотеза''' в [[Математика|математиці]]&nbsp;— [[Висловлювання (логіка)|твердження]], яке на основі доступної інформації здається з високою [[Імовірність|ймовірністю]] правильним, але для якого не вдається отримати [[Доведення|математичне доведення]]<ref>{{Cite book|title=Oxford Dictionary of English|edition=2010}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=JyKelnvECc4C&pg=PA93|title=Shuttling between the particular and the general: reflections on the role  of conjecture and hypothesis in the generation of knowledge in science and  mathematics.|last=JL Schwartz|year=1995|pages=93}}</ref>. Математична гіпотеза є [[Відкриті математичні питання|відкритою математичною проблемою]], і кожну нерозв'язану математичну проблему, яка є [[Проблема вибору|проблемою розв'язності]], можна сформулювати у формі гіпотези. Однак у вигляді гіпотези може бути сформульована не кожна математична проблема. Наприклад, конкретний розв'язок деякої [[Система рівнянь|системи рівнянь]] або задачі [[Оптимізація (математика)|оптимізації]] для 2208 невідомих передбачити неможливо, але такий розв'язок може бути не тільки практичним, але і власне математичним результатом<ref>[http://arxiv.org/abs/1412.1687. The Approximate Bilinear Algorithm of Length 46 for Multiplication of 4×4 Matrices]{{Недоступне посилання|date=квітень 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

[[Гіпотеза Рімана]], [[Велика теорема Ферма]], [[Проблема Воринга|гіпотеза Воринга]] і деякі інші математичні гіпотези зіграли значну роль в математиці, оскільки спроби їх довести привели до створення нових галузей і методів дослідження.

== Математична і природничо-наукова гіпотеза ==
На відміну від [[Природничі науки|природничо-наукової]] гіпотези, математична гіпотеза може бути логічно доведена в деякій системі [[Аксіома|аксіом]], після чого вона стає теоремою, правильною при цих обмеженнях, «на всі часи». Характерним прикладом є наукова спадщина [[Ісаак Ньютон|Ньютона]], який заявляв, що він «гіпотез не вигадує», і прагнув у [[Фізика|фізиці]] не виходити за рамки [[Математична модель|математичної моделі]]. Математичні теореми Ньютона, як і найдавніша [[теорема Піфагора]], донині залишаються в силі, однак його [[класична механіка]] і теорія тяжіння після появи [[Спеціальна теорія відносності|спеціальної]] і [[Загальна теорія відносності|загальної]] теорій відносності стали спростованими фізичними гіпотезами. Якщо розв'язна математична гіпотеза може бути доведена або спростована, то для природничо-наукової гіпотези в силу відносності природничонаукового знання властивості [[Верифікація|верифіковності]] і [[Фальсифікаціонізм|фальсифіковності]] не виключають одна одну<ref name="Гипотеза">[http://iph.ras.ru/elib/0791.html Гіпотеза] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305025825/http://iph.ras.ru/elib/0791.html |date=5 березня 2016 }} // Нова філософська енциклопедія</ref>. Механіка Ньютона незастосовна для швидкостей, близьких до швидкості світла, але з дуже великою точністю описує рух більшості тіл Сонячної системи. Тому в фізиці зазвичай кажуть не про спростування гіпотез, а про обмеження сфери застосування теорії.

== Розв'язання математичних гіпотез ==

=== Доведення ===
Математика заснована на формальних доведеннях. Наскільки б переконливою гіпотеза не здавалася, скільки б не було наведено прикладів на її підтвердження, гіпотеза може бути спростована одним контрприкладом. Сучасні математичні журнали іноді публікують результати досліджень про діапазон, в межах якого справедливість гіпотези перевірена. Наприклад, [[гіпотеза Коллатца]] перевірена для всіх цілих чисел аж до 1,2 × 10<sup>12</sup>, проте цей факт сам по собі нічого не дає для доведення гіпотези.

Для доведення гіпотези повинно бути надано [[Доведення|математичне доведення]], яке шляхом [[Логіка|логічно]] бездоганного міркування на основі деякої системи аксіом робить єдино можливим твердження гіпотези або логічно неможливим [[Заперечення|протилежне]] твердження.

Коли гіпотезу доведено, то в математиці вона стає [[Теорема|теоремою]]. Теоремою може стати і спростування явної або неявної гіпотези. В [[Історія математики|історії математики]] деякі гіпотези тривалий час існували [[Пресупозиція|в неявній формі]], і численні спроби знайти [[Квадратура круга|квадратуру кола]] або розв'язок [[Алгебричне рівняння|алгебраїчного рівняння]] п'ятого степеня в радикалах виходили зі спростованих згодом гіпотез про те, що це можливо.

=== Спростування ===
Спростування гіпотези також здійснюється за допомогою доведення, але з урахуванням типових формулювань спростування гіпотез часто є найпростішим видом доведення&nbsp;— контрприкладом. Таке доведення є найпростішим з логічної точки зору, однак побудова прикладу в [[Теорія графів|теорії графів]] або пошук прикладу в теорії чисел ([[гіпотеза Ейлера]]) може бути справою дуже непростою. Після спростування гіпотеза може стати фактом історії математики, а може трансформуватися в нову математичну гіпотезу. Наприклад, гіпотеза Ейлера після спростування трансформувалася в {{нп|Гіпотеза Ландера — Паркіна — Селфриджа|гіпотезу Ландера — Паркіна — Селфриджа|ru|Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа}}. В цьому випадку процес подібний до еволюції природничонаукових гіпотез.

=== Нерозв'язні гіпотези ===
Не для будь-якої гіпотези можна довести її істинність або хибність у заданій системі аксіом. Згідно з [[Теореми Геделя про неповноту|теоремою Геделя про неповноту]], у будь-якій достатньо складній аксіоматичній теорії, наприклад, в [[Арифметика|арифметиці]], існують твердження, які не можна ні спростувати, ні довести в рамках самої теорії. Тому будь-яка математична теорія, що містить арифметику, містить не спростовні і недовідні в її рамках гіпотези.

Наприклад, було доведено, що [[континуум-гіпотеза]] [[Георг Кантор|Кантора]] в теорії множин не залежить від загальноприйнятої [[Теорія множин|системи аксіом Цермело&nbsp;— Френкеля]]. Тому можна прийняти як аксіому це твердження або його заперечення, не приходячи до суперечності з іншими аксіомами і без будь-яких наслідків для доведених раніше теорем. В [[Геометрія|геометрії]] з найдавніших часів сумніви математиків викликала [[аксіома паралельності Евкліда]]. Сьогодні відомо, що якщо прийняти протилежну аксіому, то можна побудувати несуперечливу [[гіперболічна геометрія|гіперболічну геометрію]], що включає [[Абсолютна геометрія|абсолютну геометрію]], тобто із збереженням всіх інших аксіом.

=== Умовні доведення ===
Зі справедливості деяких недоведених гіпотез випливають важливі наслідки. Якщо існує поширена думка, що гіпотеза правильна, то математики іноді доводять теореми, які правильні тільки за умови справедливості такої гіпотези, в надії що гіпотезу буде доведено. Подібні доведення поширені, наприклад, у зв'язку з гіпотезою Рімана.

== Припущення ad hoc ==
{{Детальніше|Ad hoc}}
Припущення може тимчасово вважатися істинним [[ad hoc|з певною метою (ad hoc)]], поки не доведена його хибність (так звана ''одинична гіпотеза'')<ref>Тофтул М.&nbsp;Г.&nbsp;Логіка: підручник, 2-ге вид., допов.&nbsp;/ М.&nbsp;Г.&nbsp;Тофтул.&nbsp;— К.: ВЦ «Академія», 2008.&nbsp;— 400 с.</ref>. Наприклад, для [[доведення від супротивного]] того, що кількість [[Просте число|простих чисел]] [[нескінченність|нескінченна]], достатньо зробити припущення, що кількість простих чисел скінченна, і шляхом [[умовивід|умовиводу]] показати, що [[Причинність|наслідком]] цього припущення є [[суперечність]]:

: Уявімо, що кількість простих чисел скінченна. Перемножимо їх і додамо одиницю. Отримане число не ділиться на жодне зі скінченного набору простих чисел, тому що остача від ділення на будь-яке з них дає одиницю. Отже, добуток має ділитись на деяке просте число, не включене до цього набору.<ref>«[[Начала Евкліда]]» (книга IX, твердження 20).</ref>

== Декілька відомих прикладів ==
Тут наведені твердження, які справили великий вплив на математику, перебуваючи в статусі гіпотез. Одні з них залишаються гіпотезами донині, інші були доведені або спростовані.

=== Велика теорема Ферма ===
{{Детальніше|Велика теорема Ферма}}
В [[Теорія чисел|теорії чисел]] [[Велика теорема Ферма]] стверджує, що ні для яких для трьох натуральних чисел <math>a, b, c</math> рівність <math>a^n + b^n = c^n</math> не виконується, якщо ціле число <math>n</math> перевищує 2.

[[П'єр Ферма]] записав це припущення в 1637 році на полях «Арифметики» Діофанта разом з твердженням, що має доведення, але воно занадто велике, щоб поміститися на цих полях.<ref>{{Citation|last=Ore|first=Oystein|title=Number Theory and Its History|year=1988|origyear=1948|pages=203–204|publisher=Dover|isbn=978-0-486-65620-5}}</ref> Перше успішне доведення було отримане [[Ендрю Джон Вайлс|Джоном Вайлсом]] у 1994 році і опубліковане в 1995 році, після 358 років зусиль багатьох математиків. Спроби розв'язати цю проблему в XIX столітті призвели до розвитку [[Алгебраїчна теорія чисел|алгебраїчної теорії чисел]] та доведення теореми про модулярність у XX столітті.

=== Гіпотеза Пуанкаре ===
{{Детальніше|Гіпотеза Пуанкаре}}
Гіпотеза Пуанкаре стверджує, що кожен [[Однозв'язна область|однозв'язний]] [[Компактний простір|компактний]] [[Розмірність простору|тривимірний]] [[многовид]] без краю [[Гомеоморфізм|гомеоморфний]] тривимірній [[Сфера|сфері]]. [[Анрі Пуанкаре]] сформулював цю гіпотезу в 1904 році. Після майже столітніх зусиль математиків [[Перельман Григорій Якович|Григорій Перельман]] довів цю гіпотезу в трьох статтях, розміщених у 2002 і 2003 роках на сайті [[ArXiv.org|arXiv]]. Доведення спиралось на пропозицію [[Річард Гамільтон (математик)|Річарда Гамільтона]] використовувати для розв'язування [[потік Річчі]].<ref>{{cite journal | last =Hamilton | first = Richard S. | authorlink = Річард Гамільтон  (математик) | title = Four-manifolds with positive isotropic curvature | journal = Communications in Analysis and Geometry | volume = 5 | issue = 1 | pages = 1–92 | year = 1997 | doi =  | mr = 1456308 | zbl = 0892.53018}}</ref> Кілька команд математиків перевірили доведення Перельмана і підтвердили, що воно правильне. Цікаво, що для сфер більшої розмірності доведення були отримані раніше.

=== Гіпотеза Рімана ===
{{Детальніше|Гіпотеза Рімана}}
[[Гіпотеза Рімана]], запропонована в 1859 році, стверджує, що всі нетривіальні корені [[Дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]] мають дійсну частину, що дорівнює 1/2. Зі справедливості гіпотези Рімана випливає низка результатів про розподіл [[Просте число|простих чисел]]. Деякі математики вважають цю гіпотезу найбільш важливою нерозв'язаною проблемою в [[Чиста математика|«чистій математиці»]]. Гіпотеза Рімана входить до списків [[Проблеми Гільберта|проблем Гільберта]] і [[Проблеми тисячоліття|завдань тисячоліття]].

=== Рівність класів P і NP ===
{{Детальніше|Рівність класів P і NP}}
Питання про [[рівність класів P і NP]] входить до списку завдань тисячоліття і є однією з головних проблем [[Інформатика|інформатики]]. Неформально, але досить точно питання зводиться до того, чи можна будь-яку задачу, надане рішення якої можна перевірити за поліноміальний час, також розв'язати за поліноміальний час, використовуючи поліноміальну пам'ять. Сьогодні переважає думка, що це не так. Але якщо доведення істинності цієї гіпотези може бути конструктивним (треба надати лише один алгоритм, що багато хто намагається зробити), то як доводити протилежне&nbsp;— неясно. Ймовірно, вперше проблему булу згадано в 1956 році у листі [[Курт Гедель|Курта Геделя]] до [[Джон фон Нейман|Джона фон Неймана]].<ref>Juris Hartmanis 1989, [http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf Godel, von Neumann, and the P = NP problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150226061624/http://ecommons.library.cornell.edu/bitstream/1813/6910/1/89-994.pdf |date=26 лютого 2015 }}, Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 38, pp. 101—107</ref> Точно проблему сформулював у 1971 році [[Стівен Кук]]<ref>{{Cite book|title=Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing|last=Cook|first=Stephen|authorlink1=Стівен Кук|year=1971|pages=151–158|chapter=The complexity of theorem proving  procedures}}</ref> і вона вважається багатьма найважливішою відкритою проблемою в цій галузі<ref>Lance Fortnow, [http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf ''The status of the '''P''' versus '''NP''' problem''] {{Webarchive|url=https://wayback.archive-it.org/all/20110224135332/http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/pnp-cacm.pdf |date=24 лютого 2011 }}, Communications of the ACM 52 (2009), no. 9, pp. 78-86. {{DOI|10.1145/1562164.1562186}}</ref>.
<!--
=== [[Гіпотеза Гольдбаха]] ===

=== [[Гіпотеза Коллатца]] ===

=== [[Гіпотеза Малдасени]] ([[теорія струн]]) ===

=== [[Континуум-гіпотеза]] ===-->

== Історія ==
Давньогрецькі математики часто застосовували в якості методу математичного доведення уявний експеримент, що включав у себе висунення гіпотез та виведення з них за допомогою дедукції наслідків з метою перевірки правильності первинних здогадок. Сьогодні такі міркування називаються методом [[доведення від супротивного]]. [[Платон]] розглядав гіпотези як посилки розробленого ним аналітико-синтетичного методу доведення, здатного забезпечити абсолютно істинний характер висновку. Проте гіпотеза як метод дослідження була відкинута [[Арістотель|Арістотелем]], який в якості посилок силогістичного доведення мислив лише загальні, необхідні і абсолютні істини. Це зумовило подальше негативне ставлення вчених до гіпотез як форми недостовірного або ймовірного знання<ref name="Гіпотеза">[http://iph.ras.ru/elib/0791.html Гіпотеза] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305025825/http://iph.ras.ru/elib/0791.html |date=5 березня 2016 }} // Нова філософська енциклопедія</ref>. Подолати протиставлення гіпотез і абсолютно точного знання і, як наслідок, зневажливе ставлення до гіпотез вдалося лише в XIX столітті. Зокрема, [[Фрідріх Енгельс|Енгельс]], розглядаючи гіпотезу як форму «розвитку природознавства»<ref>Маркс К. і Енгельс Ф. Соч., т. 20, с. 555</ref>, висунув положення про взаємозв'язок гіпотез з законами і теоріями як різними формами щодо істинного знання.

== Див. також ==
* [[Гіпотеза]]
* [[Теорія]]

== Примітки ==
{{примітки}}


[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Філософія науки]]
[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Нерозв'язані проблеми математики]]
[[Категорія:Математична логіка]]
[[Категорія:Теорія доведення]]