Перегляд вихідного коду сторінки Призма (математика)

[[Файл:Hexagonal Prism BC.svg|thumb|Правильна призма з шестикутною основою]]
{{Otheruses}}
'''При́зма''' ({{lang-grc|πρίσμα}}&nbsp;— «відпиляне»; від ''πρίζω''&nbsp;— «пиляю»)&nbsp;— стереометрична фігура, [[многогранник]] ([[призматоїд]]), у якого дві грані&nbsp;— рівні {{mvar|n}}-кутники, розташовані в паралельних площинах, а решта {{mvar|n}} граней&nbsp;— [[паралелограм]]и. Ці паралелограми називаються '''бічними гранями''' призми, а інші два {{mvar|n}}-кутники називаються її '''основами'''.

Многокутник, що лежить в основі, визначає назву призми: трикутник&nbsp;— [[трикутна призма]], чотирикутник&nbsp;— чотирикутна; п'ятикутник&nbsp;— [[П'ятикутна призма|п'ятикутна]] ([[пентапризма]]) і&nbsp;т.&nbsp;д.

Призма є частковим випадком [[циліндр]]а в загальному сенсі (некругового).

Призма називається '''прямою''', якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми&nbsp;— похилі.

Призма називається '''правильною''', якщо вона пряма і її основи&nbsp;— правильні многокутники.

'''Висота''' призми&nbsp;— відстань між площинами її основ.

== Види призм ==

: Призма, основою якої є [[паралелограм]], називається '''[[паралелепіпед]]ом'''.
: [[Файл:TruncatedTriangularPrism.svg|ліворуч|міні|197x197пкс|Зрізана трикутна призма]]'''Пряма призма'''&nbsp;— це призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основи, звідки випливає, що всі бічні грані є [[прямокутник]]ами{{sfn|Kern, Bland|1938|с=28}}. Інші призми називаються похилими.
: Пряма прямокутна призма називається ''[[Прямокутний паралелепіпед|прямокутним паралелепіпедом]]''. [[Символ Шлефлі]] такої призми— { }×{ }×{ }.
: '''Правильна призма'''&nbsp;— це пряма призма, основою якої є [[правильний многокутник]]. Бічні грані правильної призми&nbsp;— [[Конгруентність (геометрія)|рівні]] [[прямокутник]]и.
: Правильна призма, бічні грані якої є [[квадрат]]ами (висота якої дорівнює стороні основи), є '''[[Напівправильний многогранник|напівправильним многогранником]]'''. Символ Шлефлі такої призми&nbsp;— t{2,p}.

Прямі призми з правильними основами й однаковими довжинами ребер утворюють одну з двох нескінченних послідовностей напівправильних многогранників, іншу послідовність утворюють [[Антипризма|антипризми]]

'''Зрізана призма'''&nbsp;— це призма з непаралельними основами{{sfn|Kern, Bland|1938|с=81}}.

== Елементи призми ==
{| class="wikitable"
|'''Назва'''
|'''Визначення'''
|'''Позначення на кресленні'''
|'''Креслення'''
|-
|'''Основи'''
|Дві грані, є конгруентними многокутниками, що лежать у паралельних одна одній площинах.
|<math>ABCDE</math>, <math>KLMNP</math>
| rowspan="100" |[[Файл:Prism-1.svg|350x350пкс|Призма]]
|-
|'''Бічні грані'''
|Усі грані, крім основ. Кожна бічна грань обов'язково є паралелограмом.
|<math>ABLK</math>, <math>BCML</math>, <math>CDNM</math>, <math>DEPN</math>, <math>EAKP</math>
|-
|'''Бічна поверхня'''
|Об'єднання бічних граней.
|
|-
|'''Повна поверхня'''
|Об'єднання основ і бічної поверхні.
|
|-
|'''Бічні ребра'''
|Спільні сторони бічних граней.
|<math>AK</math>, <math>BL</math>, <math>CM</math>, <math>DN</math>, <math>EP</math>
|-
|'''Висота'''
|Відрізок, що з'єднує площини, у яких лежать основи призми і перпендикулярний до цих площин.
|<math>KR</math>
|-
|'''Діагональ'''
|Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, які не належать одній грані.
|<math>BP</math>
|-
|'''Діагональна площина'''
|[[Площина]], що проходить через бічне ребро призми і діагональ основи.
|<math>EBP</math>
|-
|'''Діагональний переріз'''
|Перетин призми і діагональної площини. В перерізі утворюється паралелограм, зокрема його часткові випадки&nbsp;— ромб, прямокутник, квадрат.
|<math>EBLP</math>
|-
|'''Перпендикулярний (ортогональний) переріз'''
|Переріз призми і площини, перпендикулярної до її бічного ребра.
|
|}

== Властивості призми ==

* Основи призми є рівними многокутниками.
* Бічні грані призми є паралелограмами.
* Бічні ребра призми паралельні і рівні.
* [[Об'єм|''Об'єм призми'']] дорівнює добутку її висоти на площу основи:

: <math>V=S\cdot h</math>

* Об'єм призми з правильною ''n''-кутною основою дорівнює

: <math>V = \frac{n}{4}hs^2 \mathrm{ctg}\frac{\pi}{n}</math> (тут ''s''&nbsp;— довжина сторони многокутника).

* Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні і подвоєної площі основи.
* Площа бічної поверхні довільної призми <math>S=P\cdot l</math>, де <math>P</math>&nbsp;— [[периметр]] перпендикулярного перерізу, <math>l</math>&nbsp;— довжина бічного ребра.
* Площа бічної поверхні прямої призми <math>S=P\cdot h</math>, де <math>P</math>&nbsp;— периметр основи призми, <math>h</math>&nbsp;— висота призми.
* Площа бічної поверхні прямої призми з правильною ''n''-кутною основою дорівнює

: <math>A = \frac{n}{2} s^2 \mathrm{ctg}{\frac{\pi}{n}} + n s h.</math>

* Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних ребер призми.
* Кути перпендикулярного перерізу&nbsp;— це лінійні кути [[Двогранний кут|двогранних кутів]] при відповідних бічних ребрах.
* Перпендикулярний переріз перпендикулярний до всіх бічних граней.
* [[Дуальний многогранник|Двоїстим многогранником]] ''прямої призми'' є [[біпіраміда]].

== Діаграми Шлегеля ==
{| class="wikitable"
|[[Файл:Triangular_prismatic_graph.svg|100x100пкс]]<br/><br/><br/><br/>Трикутна<br/>призма
|[[Файл:Cubical_graph.svg|100x100пкс]]<br/><br/><br/><br/> 4-кутна<br/>призма
|[[Файл:Pentagonal_prismatic_graph.svg|100x100пкс]]<br/><br/><br/><br/>5-кутна<br/>призма
|[[Файл:Hexagonal_prismatic_graph.svg|100x100пкс]]<br/><br/><br/><br/>6-кутна<br/>призма
|[[Файл:Heptagonal_prismatic_graph.svg|100x100пкс]]<br/><br/><br/><br/>7-кутна<br/>призма
|[[Файл:Octagonal_prismatic_graph.svg|101x101пкс]]<br/><br/><br/><br/>8-кутна<br/>призма
|}

== Симетрія ==
[[Групи симетрії|Групою симетрії]] прямої ''n''-кутної призми з правильною основою є група [[Діедрична група|D<sub>''n''h</sub>]] порядку 4''n'', за винятком куба, який має групу симетрії {{нп|Октаедрична симетрія|O<sub>h</sub>||octahedral symmetry}} порядку 48, що містить три версії D<sub>4h</sub> в якості [[Підгрупа|підгруп]]. {{нп|Точкова група симетрії в тривимірному просторі|Групою обертань|en|Point groups in three dimensions}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Point groups in three dimensions]] перекладена як [[Точкові групи симетрії у тривимірному просторі]], хоча хотіли [[Точкова група симетрії в тривимірному просторі]] (SashkoR0B0T)--> є D<sub>''n''</sub> 2''n'', за винятком випадку куба, для якого групою обертань є група {{нп|Октаедрична симетрія|O||octahedral symmetry}} порядку 24, що має три версії D<sub>4</sub> в якості підгруп.

Група симетрії D<sub>''n''h</sub> включає [[Центральна симетрія|центральну симетрію]] в тому і тільки в тому випадку, коли ''n'' парне.

== Об'єм ==
[[Об'єм]] призми дорівнює добутку [[площа|площі]] основи на висоту.
Таким чином об'єм дорівнює:

: <math>V = S \cdot h</math>

де {{mvar|S}}&nbsp;— площа основи, {{mvar|h}}&nbsp;— висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний {{mvar|n}}-кутник дорівнює:
 
: <math>V = \frac{n}{4}hs^2 \operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}.</math>

== Площа поверхні ==
Площа бічної поверхні призми дорівнює <math>S=PH</math>, де {{mvar|P}}&nbsp;— периметр основи, {{mvar|H}}&nbsp;— висота.

Площа поверхні призми дорівнює <math>S=2 S + P H</math>, де {{mvar|S}}&nbsp;— площа основи, {{mvar|h}}&nbsp;— висота, {{mvar|P}}&nbsp;— периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний {{mvar|n}}-кутник дорівнює:

: <math>A = \frac{n}{2} S^2 \operatorname{ctg}{\frac{\pi}{n}} + n S h.</math>

== Призматичні многогранники ==
''Призматичний [[многогранник]]''&nbsp;— це узагальнення призми в просторах розмірності 4 і вище. ''n''-вимірний призматичний многогранник конструюється з двох ({{nowrap|''n'' − 1}})-вимірних многогранників, перенесених у наступну розмірність.

Елементи призматичного ''n''-вимірного многогранника подвоюються з елементів ({{nowrap|''n'' − 1}})-вимірного многогранника, потім створюються нові елементи наступного рівня.

Візьмемо ''n''-вимірний многогранник з елементами <math>f_i</math> ([[Многогранник|''i''-вимірна грань]], ''i'' = 0, …, ''n''). Призматичний (<math>n + 1</math>)-вимірний многогранник буде мати <math>2f_i + f_{-1}</math> елементів розмірності ''i'' (при <math>f_{-1}=0</math>, <math>f_n=1</math>).

За розмірностями:

* Беремо [[многокутник]] з ''n'' вершинами і ''n'' сторонами. Отримаємо призму з 2''n'' вершинами, 3''n'' ребрами і <math>2 + n</math> гранями.
* Беремо [[многогранник]] з ''v'' вершинами, ''e'' ребрами і ''f'' гранями. Отримуємо (4-вимірну) призму з 2''v'' вершинами, <math>2e + v</math> ребрами, <math>2f + e</math> гранями і <math>2 + f</math> комірками.
* Беремо [[4-політоп|4-вимірний многогранник]] з ''v'' вершинами, ''e'' ребрами, ''f'' гранями і ''c'' комірками. Отримуємо (5-вимірну) призму з 2''v'' вершинами, <math>2e + v</math> ребрами, <math>2f + e</math> (2-вимірними) гранями, <math>2c + f</math> комірками <math>2 + c</math> гіперкомірками.

=== Однорідні призматичні многогранники ===
{{Див. також|Призматичний однорідний многогранник}}
Правильний ''n''-многогранник, представлений [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] {{nowrap|{''p'', ''q'', ...,}}&nbsp;''t''}, може утворити [[Призматичний однорідний многогранник|однорідний призматичний многогранник]] розмірності ({{nowrap|''n'' + 1}}), представлений [[Декартів добуток множин|прямим добутком]] двох символів Шлефлі: {{nowrap|{''p'', ''q'', ...,}}&nbsp;''t''}×{}.

За розмірностями:

* Призма з 0-вимірного многогранника&nbsp;— це [[відрізок]], що подається порожнім символом Шлефлі {}.
** [[Файл:Complete_graph_K2.svg|60x60пкс]]
* Призма з 1-вимірного многогранника&nbsp;— це [[прямокутник]], отриманий з двох відрізків. Ця призма подається як добуток символів Шлефлі {}×{}. Якщо призма є [[квадрат]]ом, запис можна скоротити: {{nowrap|{}×{} {{=}} {4}.}}
** [[Файл:Square_diagonals.svg|60x60пкс]]Приклад: Квадрат, {}×{}, два паралельні відрізки, з'єднані двома іншими відрізками, ''сторонами''.
* [[Многокутник|багатокутна призма]]&nbsp;— це 3-вимірна призма, отримана з двох многокутників (один отриманий паралельним перенесенням іншого), які пов'язані прямокутниками. З правильного многокутника {''p''} можна отримати однорідну ''n''-кутну призму, подану добутком {''p''}×{}. Якщо {{nowrap|''p'' {{=}} 4}}, призма стає [[куб]]ом: {{nowrap|{4}×{} {{=}} {4,&nbsp;3}.}}
** [[Файл:Pentagonal_prism.png|60x60пкс]]Приклад: [[п'ятикутна призма]], {5}×{}, два паралельні [[п'ятикутник]]и пов'язані п'ятьма прямокутними ''сторонами''.
* 4-вимірна призма, отримана з двох многогранників (один отримано паралельним перенесенням іншого), зв'язаних 3-вимірними призматичними комірками. З правильного многогранника {''p'',&nbsp;''q''} можна отримати однорідну 4-вимірну призму, подану добутком {''p'',&nbsp;''q''}×{}. Якщо многогранник є кубом і сторони призми теж куби, призма перетворюється на [[тесеракт]]: {4,&nbsp;3}×{} = {{nowrap|{4, 3, 3}.}}
** [[Файл:Dodecahedral_prism.png|50x50пкс]]Приклад: {{нп|додекаедрична призма||en|Dodecahedral prism}}, {5,&nbsp;3}×{}, два паралельні [[додекаедр]]и, сполучені 12 п'ятикутними призмами (''сторонами'').
* …

Призматичні многогранники більш високих розмірностей також існують як [[Декартів добуток графів|прямі добутки]] двох будь-яких многогранників. Розмірність призматичного многогранника дорівнює добутку розмірностей елементів добутку. Перший приклад такого добутку існує в 4-вимірному просторі і називається {{нп|Дуопризма|дуопризмами|ru|Дуопризма}}, які отримуються, як добуток двох многокутників. Правильні дуопризми подаються символом {''p''}×{''q''}.

== Скручена призма і антипризма ==
'''Скручена призма'''&nbsp;— це неопуклий призматичний многогранник, отриманий з [[Однорідний многогранник|однорідної]] ''q''-кутної призми шляхом поділу бічних граней діагоналлю і обертання верхньої основи, зазвичай на кут <math>\frac{\pi}{q}</math> радіан (<math>\frac{180}{q}</math> градусів), в напрямку, за якого сторони стають увігнутими{{sfn|Gorini|2003|с=172}}<ref>[https://www.polyhedra.net/en/pictures.php?type=twisted-prisms Малюнки скручених призм]</ref>.

Скручена призма не може бути розбита на тетраедри без уведення нових вершин. Найпростіший приклад з трикутними основами називається {{нп|Многогранник Шенхардта|многогранником Шенхардта|ru|Многогранник Шёнхардта}}.

''Скручена призма'' топологічно ідентична [[Антипризма|антипризмі]], але має половину [[Список груп сферичної симетрії#Діедрична симетрія|симетрій]]: D<sub>''n''</sub>, [''n'',2]<sup>+</sup>, порядку 2''n''. Цю призму можна розглядати як опуклу антипризму, у якої видалено тетраедри між парами трикутників.
{| class="wikitable"
!Трикутна
! colspan="2" |Чотирикутні
!12-кутна
|- align="center"
|[[Файл:Οκτάεδρον.svg|138x138пкс]]<br/>Многогранник Шенхардта
|[[Файл:Twisted_square_antiprism.png|120x120пкс]]<br/>Скручена квадратна антипризма
|[[Файл:Square_antiprism.png|120x120пкс]]<br/>[[Квадратна антипризма]]
|[[Файл:Twisted_dodecagonal_antiprism.png|180x180пкс]]<br/>Скручена дванадцятикутна антипризма
|}

== Пов'язані многогранники і мозаїки ==
{| class="wikitable" id="315"
|+ id="316" |Родина правильних призм
! id="321" |Многокутник
|[[Файл:Triangular_prism.svg|51x51пкс]]
|[[Файл:Tetragonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Pentagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Hexagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Prism_7.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Octagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Prism_9.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Decagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Hendecagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Dodecagonal_prism.png|40x40пкс]]
|[[Файл:Heptadecagonal_Prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Circular_cylinder_rh.svg|68x68пкс]]
|-
! id="336" |Мозаїка
|[[Файл:Spherical_triangular_prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Spherical_square_prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Spherical_pentagonal_prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Spherical_hexagonal_prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Spherical_heptagonal_prism.svg|40x40пкс]]
|[[Файл:Spherical_octagonal_prism.svg|40x40пкс]]
|
|[[Файл:Spherical_decagonal_prism.svg|40x40пкс]]
|
|
|
|[[Файл:Infinite_prism_tiling.png|80x80пкс]]
|-
! id="351" |[[Конфігурація вершини|Конфігурація]]
! id="354" |[[Трикутна призма|3.4.4]]
! id="357" |[[Куб|4.4.4]]
! id="360" |[[П'ятикутна призма|5.4.4]]
! id="363" |[[Шестикутна призма|6.4.4]]
! id="366" |{{нп|Семикутна призма|7.4.4|en|Heptagonal prism}}
! id="369" |{{нп|Восьмикутна призма|8.4.4|ru|Восьмиугольная призма}}
! id="372" |9.4.4
! id="375" |10.4.4
! id="378" |Одинадцятикутна призма|11.4.4
! id="381" |{{нп|Дванадцятикутна призма|12.4.4|en|Dodecagonal prism}}
! id="384" |[[Сімнадцятикутна призма|17.4.4]]
! id="387" |∞.4.4
|}
{| class="wikitable" id="390" width="400"
|+ id="391" |Родина опуклих [[Купол (геометрія)|куполів]]
! id="396" |n
! id="398" |2
! id="400" |3
! id="402" |4
! id="404" |5
! id="406" |6
|-
! id="409" |Назва
! id="411" |{2} || t{2}
! id="413" |{3} || t{3}
! id="415" |{4} || t{4}
! id="417" |{5} || t{5}
! id="419" |{6} || t{6}
|- style="text-align:center;vertical-align:top;"
! id="422" style="vertical-align: middle;" |Купол
|[[Файл:Triangular_prism_wedge.png|80x80пкс]]<br/>[[Трикутна призма|Діагональний купол]]
|[[Файл:Triangular_cupola.png|100x100пкс]]<br/>[[Трискатний купол]]
|[[Файл:Square_cupola.png|85x85пкс]]<br/>[[Чотирискатний купол]]
|[[Файл:Pentagonal_cupola.png|75x75пкс]]<br/>{{нп|П’ятискатний купол|||Pentagonal cupola}}
|[[Файл:Hexagonal cupola flat.svg|75x75пкс]]<br/>Шестискатний купол<br/>(плоский)
|- style="vertical-align:bottom;"
! id="439" style="vertical-align: middle;" |Пов'язані<br/>однорідні<br/>многогранники
! id="441" |Трикутна призма<br/><span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_2.png|посилання=]][[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]</span>
! id="442" |[[Кубооктаедр]]<br/><span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]</span>
! id="444" |[[Ромбокубооктаедр]]<br/><span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_4.png|посилання=]][[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]</span>
! id="446" |[[Ромбоікосододекаедр]]<br/><span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_5.png|посилання=]][[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]</span>
! id="448" |{{нп|Ромботришестиктна мозаїка|Ромботришестикутна<br />мозаїка||Rhombitrihexagonal tiling}}[[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_6.png|посилання=]][[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]
|}

=== Симетрії ===
Призми топологічно є частиною послідовності [[Однорідний многогранник|однорідних]] зрізаних многогранників з конфігураціями вершин (3.2 n.2n) і [n,3].
{| class="wikitable collapsible collapsed" id="454"
! colspan="12" id="457" |Варіанти симетрії *''n''32 зрізаних мозаїк: 3.2''n''.2''n''
|-
! rowspan="2" id="460" |Симетрія<br/>*''n''32<br/>[n,3]
! colspan="4" id="462" |[[Список сферичних груп симетрії|Сферична]]
! id="465" |{{нп|Список планарних груп симетрії|Евклідова||List of planar symmetry groups}}
! colspan="2" id="468" |Компактна гіперболічна
! id="470" |Параком-<br/>пактна
! colspan="3" id="472" |Некомпактна гіперболічна
|-
! id="475" |*232<br/>[2,3]
! id="477" |*332<br/> [3,3]
! id="479" |*432<br/>[4,3]
! id="481" |*532<br/>[5,3]
! id="483" |*632<br/>[6,3]
! id="485" |*732<br/>[7,3]
! id="487" |*832<br/>[8,3]…
! id="491" |*∞32<br/>[∞,3]
! id="493" |[12i,3]
! id="495" |[9i,3]
! id="497" |[6i,3]
|- style="text-align:center;"
! id="500" |Зрізані<br/>фігури
|[[Файл:Spherical_triangular_prism.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_332-t01-1-.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_432-t01.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_532-t01.png|51x51пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_63-t01.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_237-3.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_238-3.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_23i-3.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_23j12-3.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_23j9-3.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_23j6-3.png|50x50пкс]]
|-
! id="514" |[[Конфігурація вершини|Конфігурація]]
! id="517" |[[Трикутна призма|3.4.4]]
! id="520" |[[зрізаний тетраедр|3.6.6]]
! id="523" |[[зрізаний куб|3.8.8]]
! id="526" |[[зрізаний додекаедр|3.10.10]]
! id="529" |{{нп|зрізана шестикутна мозаїка|3.12.12||Truncated hexagonal tiling}}
! id="532" |{{нп|зрізана семикутна мозаїка|3.14.14||Truncated heptagonal tiling}}
! id="535" |{{нп|зрізана восьмикутна мозаїка|3.16.16||Truncated octagonal tiling}}
! id="538" |{{нп|зрізана нескінченнокутна мозаїка|3.&#x221E;.&#x221E;||Truncated order-3 apeirogonal tiling}}
! id="541" |3.24 i.24i
! id="543" |3.18 i.18i
! id="545" |3.12 i.12i
|- style="text-align:center;vertical-align:bottom;"
! id="548" |Розділені<br/>фігури
|[[Файл:Spherical_trigonal_bipyramid.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Spherical_triakis_tetrahedron.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Spherical_triakis_octahedron.png|51x51пкс]]
|[[Файл:Spherical_triakis_icosahedron.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Tiling_Dual_Semiregular_V3-12-12_Triakis_Triangular.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Ord7_triakis_triang_til.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Ord8_triakis_triang_til.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Ord-infin_triakis_triang_til.png|50x50пкс]]
|
|
|
|- style="text-align:center;vertical-align:bottom;"
! id="562" |[[Конфігурація вершини#Конфігурація грані|Конфігурація]]
|[[Трикутна біпіраміда|V3.4.4]]
|[[Триакістетраедр|V3.6.6]]
|[[Триакісоктаедр|V3.8.8]]
|[[Триакісікосаедр|V3.10.10]]
|{{нп|Розділена трикутна мозаїка|V3.12.12||Triakis triangular tiling}}
|{{нп|Зрізана семикутна мозаїка|V3.14.14||Truncated_heptagonal_tiling}}
|V3.16.16
|V3.∞.∞
|
|
|
|}
Призми топологічно є частиною послідовності скошених многогранників з [[Вершинна фігура|вершинними фігурами]] (3.4.n.4) і мозаїк на [[гіперболічна геометрія|гіперболічній площині]]. Ці [[Ізогональність|вершиннотранзитивні]] фігури мають (*n32) дзеркальну {{нп|Орбіфолдна нотація|симетрію||Orbifold notation}}.
{| class="wikitable collapsible collapsed" id="597"
! colspan="9" id="600" |Варіанти симетрії *''n''42 розширених мозаїк: 3.4.''n''.4
|-
! rowspan="2" id="603" |Симетрія<br/>*''n''32<br/>[n,3]
! colspan="4" id="605" |[[Список сферичних груп симетрії|Сферична]]
! id="608" |[[Список планарних груп симетрії|Евклідова]]
! colspan="2" id="611" |Компактна<br/>гіперболічна
! id="613" |Паракомпактна
|- style="text-align:center;"
! id="616" |*232<br/>[2,3]
! id="618" |*332<br/>[3,3]
! id="620" |*432<br/>[4,3]
! id="622" |*532<br/>[5,3]
! id="624" |*632<br/>[6,3]
! id="626" |*732<br/>[7,3]
! id="628" |*832<br/>[8,3]…
! id="632" |*∞32<br/>[∞,3]
|- style="text-align:center;"
! id="635" |Фігура
|[[Файл:Spherical_triangular_prism.svg|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_332-t02.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_432-t02.png|51x51пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_532-t02.png|50x50пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-63-t02.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_237-5.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_238-5.png|50x50пкс]]
|[[Файл:H2_tiling_23i-5.png|50x50пкс]]
|-
! id="646" |[[Конфігурація вершини|Конфігурація]]
! id="649" |[[Трикутна призма|3.4.2.4]]
! id="652" |[[Кубооктаедр|3.4.3.4]]
! id="655" |[[Ромбокубооктаедр|3.4.4.4]]
! id="658" |[[Ромбоікосододекаедр|3.4.5.4]]
! id="661" |{{iw|Ромботришестикутна мозаїка|3.4.6.4|en|rhombitrihexagonal tiling}}
! id="664" |{{iw|Ромботрисемикутна мозаїка|3.4.7.4|en|rhombitriheptagonal tiling}}
! id="667" |{{iw|Ромботривосьмикутна мозаїка|3.4.8.4|en|rhombitrioctagonal tiling}}
! id="670" |{{iw|Ромботринескінченнокутна мозаїка|3.4.∞.4|en|rhombitriapeirogonal tiling}}
|}

=== З'єднання многогранників ===
{{Див. також|З'єднання многогранників}}
Існує 4 однорідні з'єднання трикутних призм:

: {{нп|З’єднання чотирьох трикутних призм|||Compound of four triangular prisms}}, {{нп|з’єднання восьми трикутних призм|||compound of eight triangular prisms}}, {{нп|з’єднання десяти трикутних призм|||compound of ten triangular prisms}}, {{нп|з’єднання дванадцяти трикутних призм||en|compound of twenty triangular prisms}}.

=== Стільники ===
Існує 9 однорідних [[Стільник (геометрія)|стільників]], що включають комірки у вигляді трикутних призм:
* {{нп|гіроподовжений альтернований кубічний стільник||en|Gyroelongated alternated cubic honeycomb}},
* {{нп|подовжений альтерований кубічний стільник||en|elongated alternated cubic honeycomb}},
* {{нп|повернутий трикутний призматичний стільник||ru|Повёрнутые треугольные призматические соты}},
* {{нп|кирпатий квадратний призматичний стільник||en|snub square prismatic honeycomb}},
* {{нп|трикутний призматичний стільник||ru|Треугольные призматические соты}},
* {{нп|трикутно-шестикутний призматичний стільник||ru|Треугольные призматические соты}},
* зрізаний шестикутний призматичний стільник,
* {{нп|ромботришестикутний призматичний стільник||ru|Ромботришестиугольные призматические соты}},
* {{нп|кирпатий шестикутний призматичний стільник||ru|Плосконосые шестиугольные призматические соты}},
* {{нп|подовжений трикутний призматичний стільник||ru|Удлинённые треугольные призматические соты}}.

=== Пов'язані многогранники ===
Трикутна призма є першим многогранником в ряду {{нп|Однорідний k21 многогранник|напівправильних многогранників|en|Uniform k21 polytope}}. Кожен наступний [[однорідний многогранник]] містить в якості [[Вершинна фігура|вершинної фігури]] попередній многогранник. {{нп|Торольд Госсет|||Thorold Gosset}} ідентифікував цю серію в 1900 як таку, що містить всі [[Фасета (геометрія)|фасети]] [[Правильні багатовимірні многогранники|правильних багатовимірних многогранників]], всі [[симплекс]]и і ортоплекси ([[Правильний трикутник|правильні трикутники]] і [[квадрат]]и для випадку трикутних призм). У нотації [[Гарольд Коксетер|Коксетера]] трикутна призма задається символом −1<sub>21</sub>.
{| class="wikitable collapsible collapsed" id="716"
! colspan="12" id="719" |{{iw|Тіла k 21|k<sub>21</sub>|en|Uniform_k_21_polytope}} у просторі розмірністю n
|-
! id="723" |Простір
! colspan="6" id="725" |Скінченний
! id="727" |&nbsp;&nbsp;Евклідів&nbsp;&nbsp;
! id="729" |Гіперболічний
|-
! id="732" |{{нп|En (алгебра Лі)|E<sub>n</sub>||En (Lie algebra)}}
! id="735" |[[Тривимірний простір|3]]
! id="738" |[[Чотиривимірний простір|4]]
! id="741" |[[Пятивимірний простір|5]]
! id="744" |[[Шестивимірний простір|6]]
! id="747" |[[Семивимірний простір|7]]
! id="750" |[[Восьмивимірний простір|8]]
! id="753" |[[Розмірність простору|9]]
! id="756" |[[Розмірність простору|10]]
|- style="text-align:center;"
! id="760" |[[Группа Коксетера|Група<br/>Коксетера]]
|E₃=A₂A₁
|E₄=A₄
|E₅=D₅
|[[E₆ (математика)|E₆]]
|{{нп|E₇ (математика)|E₇||E7 (mathematics)}}|
|[[E₈ (математика)|E₈]]
|E₉ = Ẽ₈ = E₈<sup>+</sup>
|E₁₀ = <span style="text-decoration:overline">T</span>₈ = E₈<sup>++</sup>
|- style="text-align:center;"
! id="783" |[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма<br/>Коксетера]]
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_node.png|посилання=]][[Файл:CDel_3.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]][[Файл:CDel_2.png|посилання=]][[Файл:CDel_node_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch_10.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|<span style="display:inline-block;">[[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_branch.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea.png|посилання=]][[Файл:CDel_3a.png|посилання=]][[Файл:CDel_nodea_1.png|посилання=]]</span>
|- style="text-align:center;"
! id="795" |{{нп|Нотація Коксетера|Симетрія||Coxeter notation}}
|[3<sup>−1,2,1</sup>]
|[3<sup>0,2,1</sup>]
|[3<sup>1,2,1</sup>]
|[3<sup>2,2,1</sup>]
|[3<sup>3,2,1</sup>]
|[3<sup>4,2,1</sup>]
|[3<sup>5,2,1</sup>]
|[3<sup>6,2,1</sup>]
|- style="text-align:center;"
! id="815" |[[Порядок елемента|Порядок]]
|12
|120
|192
|51 840
|2 903 040
|696 729 600
| colspan="2" |∞
|- style="text-align:center;"
! id="833" |Граф
|[[Файл:Triangular_prism.png|101x101пкс]]
|[[Файл:4-simplex_t1.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:Demipenteract_graph_ortho.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:E6_graph.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:E7_graph.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:E8_graph.svg|80x80пкс]]
| -
| -
|- style="text-align:center;"
! id="846" |Позначення
|[[Трикутна призма|−1<sub>21</sub>]]
|[[Повністю зрізаний п'ятикомірник|0<sub>21</sub>]]
|[[5-напівгіперкуб|1<sub>21</sub>]]
|{{нп|Многогранник 2 21|2<sub>21</sub>||2 21 polytope}}
|{{нп|Многогранник 3 21|3<sub>21</sub>||3 21 polytope}}
|{{нп|Многогранник 4 21|4<sub>21</sub>||4 21 polytope}}
|5<sub>21</sub>
|6<sub>21</sub>
|}

=== Чотиривимірний простір ===
Трикутна призма є коміркою у багатьох чотиривимірних {{нп|Однорідний 4-вимірний многогранник|однорідних 4-вимірних многогранниках|en|uniform 4-polytope}}, включно з:
{| class="wikitable" width="640"
|{{нп|тетраедрична призма|||tetrahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|3|node|2|node_1}}
|{{нп|октаедрична призма|||octahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|4|node|2|node_1}}
|{{нп|кубооктаедрична призма|||cuboctahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node|3|node_1|4|node|2|node_1}}
|{{нп|ікосаедрична призма|||icosahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|5|node|2|node_1}}
|{{нп|ікосододекаедрична призма|||icosidodecahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node|3|node_1|5|node|2|node_1}}
|{{нп|зрізана додекаедрична призма|||Truncated dodecahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node|3|node_1|5|node_1|2|node_1}}
|- align="center"
|[[Файл:Tetrahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Octahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Cuboctahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Icosahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Icosidodecahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Truncated_dodecahedral_prism.png|80x80пкс]]
|- align="center"
|{{нп|Ромбоікосідодекаедрична призма|ромбоікосі-<br>додекаедрична призма||Rhombicosidodecahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|5|node_1|2|node_1}}
|{{нп|ромбокубоктаедрична призма|ромбокуб-<br>октаедрична призма||Rhombicuboctahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|4|node_1|2|node_1}}
|{{нп|зрізана кубічна призма|||Truncated cubic prism}}<br/><br/>{{ДКД|node|3|node_1|4|node_1|2|node_1}}
|{{нп|кирпата додекаедрична призма|||Snub dodecahedral prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_h|5|node_h|3|node_h|2|node_1}}
|{{нп|Однорідна антипризматична призма|n-кутна антипризматична призма||Uniform antiprismatic prism}}<br/><br/>{{ДКД|node_h|n|node_h|2x|node_h|2|node_1}}
|- align="center"
|[[Файл:Rhombicosidodecahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Rhombicuboctahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Truncated_cubic_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Snub_dodecahedral_prism.png|80x80пкс]]
|[[Файл:Square_antiprismatic_prism.png|80x80пкс]]
|- align="center"
|{{нп|скошений 5-комірник|||Cantellated 5-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|3|node_1|3|node}}
|{{нп|скошено-зрізаний 5-комірник|||Cantitruncated 5-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node}}
|{{нп|обструганий 5-комірник|||Runcinated 5-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|3|node|3|node_1}}
|{{нп|струг-зрізаний 5-комірник|||Runcitruncated 5-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node_1|3|node|3|node_1}}
|{{нп|скошений тесеракт|||Cantellated tesseract}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|4|node|3|node_1|3|node}}
|{{нп|скошено-зрізаний тесеракт|||Cantitruncated tesseract}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node}}
|{{нп|обструганий тесеракт|||Runcinated tesseract}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|4|node|3|node|3|node_1}}
|{{нп|струг-зрізаний тесеракт|||Runcitruncated tesseract}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|4|node_1|3|node|3|node_1}}
|- align="center"
|[[Файл:4-simplex_t02.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-simplex_t012.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-simplex_t03.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-simplex_t013.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-cube_t02.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-cube_t012.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-cube_t03.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:4-cube_t013.svg|80x80пкс]]
|- align="center"
|{{нп|скошений 24-комірник|||Cantellated 24-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|4|node_1|3|node}}
|{{нп|скошено-зрізаний 24-комірник|||Cantitruncated 24-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node_1|4|node_1|3|node}}
|{{нп|обструганий 24-комірник|||Runcinated 24-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node|4|node|3|node_1}}
|{{нп|струг-зрізаний 24-комірник|||Runcitruncated 24-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|3|node_1|4|node|3|node_1}}
|{{нп|скошений 120-комірник|||Cantellated 120-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|5|node|3|node_1|3|node}}
|{{нп|скошено-зрізаний 120-комірник|||Cantitruncated 120-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|5|node_1|3|node_1|3|node}}
|{{нп|обструганий 120-комірник|||Runcinated 120-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|5|node|3|node|3|node_1}}
|{{нп|струг-зрізаний 120-комірник|||Runcitruncated 120-cell}}<br/><br/>{{ДКД|node_1|5|node_1|3|node|3|node_1}}
|- align="center"
|[[Файл:24-cell_t02_F4.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:24-cell_t012_F4.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:24-cell_t03_F4.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:24-cell_t013_F4.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:120-cell_t02_H3.png|80x80пкс]]
|[[Файл:120-cell_t012_H3.png|80x80пкс]]
|[[Файл:120-cell_t03_H3.png|80x80пкс]]
|[[Файл:120-cell_t013_H3.png|80x80пкс]]
|}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Див. також ==
* [[Призматоїд]]
* [[Антипризма]]
* [[Паралелепіпед]]
* [[Куб]]
* [[Циліндр]]
* [[Паралелограм]]
* [[Граф призми]]

== Література ==
{{Refbegin}}
* {{книга-ру
|автор=William F. Kern, James R. Bland
|ref=Kern, Bland
|заглавие=Solid Mensuration with proofs
|год=1938
}}
* {{книга-ру
|заглавие=The facts on file: Geometry handbook
|автор=Catherine A. Gorini
|ref=Gorini
|серия=Facts on file
|год=2003
|издательство=Infobase Publishing
|место=New York
|ISBN=0-8160-4875-4
}}
* {{книга-ру
|автор=Anthony Pugh
|ref=Pugh
|год=1976
|заглавие=Polyhedra: A visual approach
|издательство=University of California Press Berkeley
|место=California
|isbn=0-520-03056-7
|часть=Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
}}
{{Refend}}

== Посилання ==
* {{ТС_Буд|частина=Призма|сторінки =160}}
* {{MathWorld |urlname=Prism |title=Призма}}
* George Olshevsky. «[https://web.archive.org/web/20070204075028/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Prismatic Prismatic polytope]». Glossary for Hyperspace.
* [http://home.comcast.net/~tpgettys/nonconvexprisms.html Nonconvex Prisms and Antiprisms]
* [http://www.mathguide.com/lessons/SurfaceArea.html#prisms Surface Area] MATHguide
* [http://www.mathguide.com/lessons/Volume.html#prisms Volume] MATHguide
* [https://www.polyhedra.net/en/selection.php?sl=selecion3 Paper models of prisms and antiprisms] Розгортки призм і антипризм
* [https://www.software3d.com/Prisms.php Paper models of prisms and antiprisms] Розгортки, створені системою ''{{нп|Stella (програма)|Stella||Stella (software)}}''.
* [https://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator]: Програми для створення 3D- и 4D-зображень, наведених на цій сторінці.
* {{книга|автор=Гордєєва Є. П.|заголовок= Нарисна геометрія. Многогранники (правильні, неправильні та зірчасті) : навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл.| відповідальний=Є. П. Гордєєва, В. Л. Величко| місце=Луцьк|видавництво= ЛДТУ|рік=2007|частина= Ч. 1|сторінок =191| isbn = ISBN 978-966-7667-70-2}}
{{Бібліоінформація}}
{{Багатогранники}}
{{Геометричні мозаїки}}
[[Категорія:Призматоїди|П]]
[[Категорія:Однорідні многогранники]]