Перегляд вихідного коду сторінки Прайморіальне просте число

У [[Теорія чисел|теорії чисел]] '''прайморіальним простим числом''' називають [[просте число]] вигляду ''p<sub>n</sub>''# ± 1, де ''p<sub>n</sub>''#&nbsp;— [[прайморіал]] ''p<sub>n</sub>'' (тобто добуток перших ''n'' простих чисел).

: ''p<sub>n</sub>''# − 1 є простим для ''n'' = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … {{OEIS|id=A057704}}
: ''p<sub>n</sub>''# + 1 є простим для ''n'' = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … {{OEIS|id=A014545}}

Декілька перших прайморіальних простих:

: [[3 (число)|3]], [[5 (число)|5]], [[7 (число)|7]], [[29 (число)|29]], [[31 (число)|31]], [[211 (число)|211]], 2309, 2311, {{Num|30029}}, {{Num|200560490131}}, {{Num|304250263527209}}, … {{OEIS|id=A228486}}.

Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# − 1» є число 3267113#&nbsp;— 1 з 1418398 знаками, його знайдено 2021 року в проєкті [[PrimeGrid]]<ref>{{Cite web|url=http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=9811#152541|title=PRS Prime Find!|accessdate=2023-06-28|archivedate=2023-06-09|archiveurl=https://web.archive.org/web/20230609054443/https://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=9811#152541|deadurl=no}}</ref>.

Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# + 1» є число 392113# + 1 з 169966 знаками, яке знайшов Даніель Гоєр 2001 року<ref>{{Cite web|url=https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5|title=The Top Twenty: Primorial|accessdate=2021-03-22|archivedate=2021-02-25|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210225134339/https://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5|deadurl=no}}</ref>.

=== Числа Евкліда ===
{{Докладніше|Число Евкліда}}
Числа вигляду ''p<sub>n</sub>''# + 1 (не обов'язково прості) називають числами Евкліда.

Декілька перших чисел Евкліда:

: [[3 (число)|3]], [[7 (число)|7]], [[31 (число)|31]], 211, 2311, {{Num|30031}}, {{Num|510511}}, … {{OEIS|id=A006862}}.

Поширена думка, що ідея прайморіальних простих належить [[Евклід]]у і з'явилася в [[Теорема Евкліда|його доведенні]] нескінченності числа простих чисел: припустимо, що існує тільки ''n'' простих чисел, тоді число ''p<sub>n</sub>''# + 1 взаємно просте з ними, а отже воно є простим, або існує ще одне просте число.{{unsolved|математики|Чи нескінченна кількість простих чисел Евкліда?}}{{Нп|Відкриті проблеми в теорії чисел|Відкритою проблемою|ru|Открытые проблемы в теории чисел}} залишається, скінченна чи нескінченна кількість прайморіальних простих чисел (і, зокрема, простих чисел Евкліда).

Число Евкліда ''E''<sub>''6''</sub> = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 [[Складене число|складене]], що демонструє, що не всі числа Евкліда прості.

Числа Евкліда не можуть бути [[Квадратне число|квадратними]], оскільки вони завжди порівнянні з 3 mod 4.

Для всіх ''n'' ≥ 3 останній знак ''E''<sub>''n''</sub> дорівнює 1, оскільки ''E''<sub>''n''</sub> − 1 ділиться на 2 та 5.

== Див. також ==
* [[Прайморіал]]
* [[Факторіальне просте число]]
* [[PrimeGrid]]

== Примітки ==
<references group="" responsive="1"></references>

== Посилання ==
* A. Borning, «Some Results for <math>k! + 1</math> and <math>2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot p + 1</math>» ''Math.'' ''Comput.'' '''26''' (1972): 567—570.
* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 ''The Top Twenty: Primorial''] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5|date=20210506094747}} at The [[Prime Pages]].
* {{MathWorld|urlname=PrimorialPrime|title=Прайморіальні прості числа}}
* Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» ''J.'' ''Rec. Math.'' '''19''' (1987): 197—203.
* Paulo Ribenboim, ''The New Book of Prime Number Records''. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
{{Класи натуральних чисел}}
[[Категорія:Класи простих чисел]]
[[Категорія:Теорія чисел]]