Перегляд вихідного коду сторінки Правильний шестикутник

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10пкс" width="360"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|<span style="color: MediumBlue"><big><big>Правильний шестикутник</big></big> </span>
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Regular polygon 6 annotated.svg|247x247пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[Правильний мгногокутник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||[[Опуклий многокутник|Опуклий]], [[Рівносторонній многокутник|рівносторонній]], [[Ізогональність|ізогональний]] (вершинно-транзитивний), [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] (реберно-транзитивний), [[Конциклічні точки|конциклічний]] (вписаний в коло), тангенціальний (описаний навколо кола)
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 6 [[Ребро (геометрія)|ребер]]<br/>6 [[Вершина (геометрія)|вершин]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Вершинна фігура]]'''|| [[Відрізок]] довжиною <math>\sqrt{3} </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Позначення'''</big>
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''|| {6} (повна симетрія)<BR/>t{3} ([[Зрізання (геометрія)|зрізаний]] трикутник)
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_1|6|node}} або (x6o)<BR/>{{ДКД|node_1|3|node_1}} 
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''|| D<sub>6</sub>, порядок 12 ([[Діедрична група]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий]]'''||Самодвоїстий
|}

'''Правильний шестикутник''' ('''гексагон''' від {{Lang-el|ἕξ}}, {{lang|grc-Latn|hex}} — шість та {{Lang-el|γωνία}}, {{lang|grc-Latn|gonía}} — ''кут'') — [[шестикутник]], у якого всі сторони і кути рівні.

Також, '''правильний шестикутник'''  — [[геометрична фігура]], [[Правильний многокутник|правильний многокутник]] з шістьма сторонами.

Правильний шестикутник можна отримати , застосовуючи операцію [[Зрізання (геометрія)|зрізання вершини]] до [[Правильний трикутник|рівностороннього трикутника]]. Такий шестикутник має [[символ Шлефлі]] t{3}.

Правильний шестикутник може виступати гранями для шестикутної призми та [[Шестикутна антипризма|антипризми]], для п'яти напівправильних [[Архімедове тіло|багатогранників Архімеда]], а також для {{Не перекладено|Багатогранник Голдберга|багатогранників Голдберга|en|Goldberg polyhedron}} та {{Не перекладено|Багатогранник Варетмана|багатогранників Ватермана|en|Waterman polyhedron}}.

''Правильний шестикутник'' має шість ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] 6-го порядку (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°).

Оскільки сума внутрішніх кутів довільного опуклого шестикутника становить 720°, то кожен внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює 120°.

== Формули ==
[[Файл:Параметри правильного шестикутника.png|ліворуч|безрамки|250x250пкс]]
Нехай <big><math>a</math></big> — сторона правильного шестикутника,<br/><big>{{mvar|R}}</big> — радіус описаного кола,<br/>''<big>{{mvar|r}}</big>'' — радіус вписаного кола.

Для правильного шестикутника справедливі наступні формули:

'''Сторона''' правильного шестикутника:

<math>a= 2\mathop{\mathrm{tg}}\left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot r =\frac  {2\cdot\sqrt{3}}{3}\cdot r \approx 1.1547005 \cdot r</math>

<math>a= 2\sin\left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot R = R</math>

У правильному шестикутнику сторона дорівнює радіусу [[Описане коло|описаного]] навколо нього [[Коло|кола]].

'''Радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]''' правильного шестикутника (дорівнює '''[[Апофема|апотемі]]''' правильного шестикутника) — дотикається до всіх його ребер:

<math>r=a_p= \frac{1}{2}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot a 
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a 
\approx 0.8660254 \cdot a </math>

<math>r= \cos \left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot R 
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot R 
\approx 0.8660254  \cdot R </math>

'''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''' правильного шестикутника — проходить через всі його вершини:

<math>R= \frac{1}{2}\mathop{\mathrm{cosec}}\left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot a 
= a </math>

<math>R= \sec \left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot r =\frac  {2\cdot\sqrt{3}}{3}\cdot r \approx 1.1547005 \cdot r </math>

'''Висота''' ‒ відстань між протилежними сторонами:

<math>H = 2r = \sqrt{3}  \cdot a 
\approx 1.7320508 \cdot a </math>

Із відношення радіусів описаного та вписаного кіл випливає, що відношення висоти до ширини правильного шестикутника дорівнює 1:1,1547005; тобто шестикутник із довгою діагоналлю 1 матиме відстань 0,8660254 між паралельними сторонами.

'''[[Площа]]''' правильного шестикутника:  
{| border="2"
|----
|<math>S= \frac{3}{2}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{6} \right )\cdot a^2 
= \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 
\approx 2.5980762 \cdot a^2 </math> 
<math>S= 3 \cdot \sin\left ( \frac{\pi}{3} \right )\cdot R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot R^2 
\approx 2.5980762 \cdot R^2</math>

<math>S= 6 \cdot \mathop{\mathrm{tg}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot r^2 
= 2\cdot\sqrt{3}\cdot r^2 
\approx 3.4641016 \cdot r^2</math>

| border="2" |<math>S =3\cdot r\cdot R= \frac{1}{2} P \cdot r = p \cdot a_p
 </math> <br />де ''<big>P</big>'' — периметр правильного шестикутника: <math>P=6 \cdot a = 4 \sqrt{3} \cdot r = 6 \cdot R </math>  <br />''<big>p</big>'' — півпериметр;<br />''<big>r</big>'' = <math>a_p </math> — радіус вписаного кола/ апотема.
|}

== Кути правильного шестикутника ==
[[Файл:Кути правильного шестикутника..png|ліворуч|безрамки|331x331пкс]]
[[Внутрішній та зовнішній кути|Внутрішнім кутом]] правильного шестикутника при даній вершині називається кут між двома його сторонами, що сходяться в цій вершині.

<math>\alpha = \frac{180^\circ \cdot(6-2)}{6}=120^\circ = \frac{2\pi}{3} rad</math>

Сума внутрішніх кутів  дорівнює <math>180^\circ \cdot(6-2)=720^\circ = 4\pi</math> [[радіан]].

[[Внутрішній та зовнішній кути|Зовнішнім кутом]] правильного шестикутника при цій вершині називається кут, [[Суміжні кути|суміжний]] внутрішньому куту шестикутника при цій вершині.

<math>\beta=\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ = \frac{\pi}{3}</math> радіан.

Сума зовнішніх кутів (по одному при кожній вершині)  дорівнює <math>360^\circ = 2\pi</math> [[радіан]].

[[Центральний кут|Центральним кутом]] правильного шестикутника називається центральний кут його описаного кола, що спирається на його сторону. Величина центрального кута  дорівнює:

<math>\gamma=\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ = \frac{\pi}{3}</math> радіан.

== Діагоналі ==
[[Файл:Правильний шестикутник, діагоналі.png|ліворуч|міні|320x320пкс]]
Правильний шестикутник має <math>\frac{1}{2} \cdot6 \cdot (6-3) = 9</math> [[Діагональ|діагоналей]]:

* Шість діагоналей мають довжину

<math>d_1 =2\cdot\cos \left ( \frac{\pi}{6} \right ) =\sqrt{3} \cdot a
\approx 1.7320508 \cdot a
 </math>

Коротка діагональ <math>d_1</math> дорівнює висоті H шестикутника.

* Три діагоналі мають довжину

<math>d_2 =2 \cdot a

 </math>

Довга [[діагональ]] правильного шестикутника вдвічі довша за його сторону.

З однієї вершини правильного шестикутника можна провести три діагоналі; вони ділять шестикутник на чотири трикутних частини, а внутрішній кут шестикутника ділять на чотири рівних частини.

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять з однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять з цієї вершини):

<math>\delta = \frac{\pi}{6} rad = 30^\circ
 </math>

Діагоналі правильного шестикутника перетинаються в 13 точках і ділять внутрішню область шестикутника на 24 частини (послідовності {{oeis|A006561}} та {{oeis|A007678}}).

Короткі діагоналі при перетині утворюють [[Гексаграма|гексаграму]]. Довгі діагоналі перетинаються в одній точці — центрі правильного шестикутника.

Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного шестикутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює 36''R''<sup>2</sup>  <ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|стор.73, наслідок}}.

== Властивості ==
# Правильний шестикутник є рівносторонній і рівнокутний одночасно. Він є [[Описане коло|вписаним]] і [[Вписане коло|описаним]] одночасно.
# Центри [[Вписане коло|вписаного]] та [[Описане коло|описаного]] кіл збігаються та лежать в центрі правильного шестикутника. Також в центрі правильного шестикутника знаходиться його [[Центр інерції|центр мас]].
# Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: <math>S = \frac{\pi}{4} \cdot a^2
 </math>
# Радіус описаного кола правильного шестикутника дорівнює його стороні. Інші відомі багатогранники ([[політоп]]и), які мають цю властивість, це [[Кубооктаедр]] (а також усі {{Не перекладено|Розширення (геометрія)|розширені|en|Expansion (geometry)}} [[симплекс]]и), [[тесеракт]] та [[Двадцятичотирьохкомірник|24-комірник]]. Завдяки цьому правильний шестикутник можна точно розкласти на 6 [[Правильний трикутник|рівносторонніх трикутників]].
# Правильний шестикутник може бути [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудований за допомогою циркуля та лінійки]] без міток.[[Файл:Regular star figure 2(3,1).svg|міні|204x204пкс|Гексаграма]]
# У правильного шестикутника існує тільки одна [[Ззірчення|зірчаста форма]]&nbsp;— [[гексаграма]] (шестикутна зірка, що утворена поєднанням двох [[Правильний трикутник|правильних трикутників]]).<br/>Правильний шестикутник і [[правильний п'ятикутник]] є єдиними багатокутниками з однією можливою зірчастою формою. Це також багатокутник із найбільшою кількістю сторін, який не має простої зірки, тобто зірки, що не утворена поєднанням інших багатокутників. Інші багатокутники, що не мають простих зірок (і зірок взагалі)&nbsp;— це [[Правильний трикутник|трикутник]] і [[квадрат]]. Це також єдиний правильний багатокутник, який має лише складені (непрості) зірки.[[Файл:Hexagonal tiling.svg|міні|184x184пкс|Замощення площини правильними шестикутниками]]
# Правильний шестикутник є одним із трьох правильних багатокутників, якими можна [[Теселяція|замостити]] [[Площина|площину]] без проміжків та накладень; два інші&nbsp;— [[Правильний трикутник|рівносторонній трикутник]] і [[квадрат]]. [[Шестикутний паркет]] має 3 шестикутники при вершині. Також використовується в інших однорідних та напівправильних паркетах.
# Правильний шестикутник є {{Не перекладено|Перестановковий многогранник|перестановковим многогранником|en|Permutohedron}} порядку 3.
# Правильний шестикутник, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 є універсальним покриттям:<br/> Лема Пала: будь-яку множину діаметром 1 можна покрити правильним шестикутником, у якого відстань між протилежними сторонами дорівнює 1 (шестикутник з довжиною сторони <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>)<ref>{{citation
|last1=Peter|first1=Brass
|journal=International Journal of computational Geometry & Applications
|title=A lower bound for lebesgue`s universal cover problem
|url=https://www.cs.cmu.edu/~mehrbod/UC05.pdf
|year=2005
}}</ref><ref>{{citation
|last1=Gábor Fejes |first1=Tóth
|last2=Kuperberg |first2=Włodzimierz
|title=Four classic problems
|url=https://arxiv.org/pdf/2202.09863.pdf
|publisher=Birkhäuser
|year=2022}}</ref><ref>{{citation
|last1=Хадвигер |first1=Гуго
|last2=Дебруннер |first2=Ганс (H. Hadwiger, H. Debrunner). 
|title=Комбинаторная геометрия плоскости. (Kombinatorische geometrie in der ebene)
|publisher=«Наука»: Главная редакция физико-математической литературы
|year=1965|language=ru Переклад з німецької}}</ref>{{rp|стор.30}}<ref name=":0" />{{rp|стор.138}}.<br/>Лему довів угорський математик {{нп|Дюла Пал|Д. Пал||Gyula Pál}} 1929 року.

=== [[Теорема Вівіані]] ===
[[Файл:Теорема Вівіані для правильного шестикутника.png|ліворуч|міні|237x237пкс|Теорема Вівіані для правильного шестикутника]]
Нехай точка Р&nbsp;— довільна точка всередині правильного шестикутника. З неї на сторони опущені перпендикуляри.

<math>a_p</math>&nbsp;— [[Апофема|апотема]] правильного шестикутника ([[перпендикуляр]], опущений з його центра на будь-яку з його сторін).

Тоді виконується така рівність:

<big><math>\textstyle \sum_{k=1}^6 \displaystyle h_i = h_1+h_2+h_3+h_4+h_5+h_6 = 6\cdot a_p</math></big>

Названа іменем італійського математика [[Вінченцо Вівіані]]<ref name="ref1">{{cite journal|last=Abboud|first=Elias|year=2010|title=On Viviani’s Theorem and its Extensions|journal=College Mathematics Journal|volume=43|issue=3|page=16|arxiv=0903.0753v3}}</ref>.<ref name="Johnson, Roger A.">{{Cite book
|last=Johnson, Roger A.
|title=Advanced Euclidean Geometry
|url=https://www.isinj.com/mt-usamo/Advanced%20Euclidean%20Geometry%20-%20Roger%20Johnson%20(Dover,%201960).pdf
|year=2007 (orig. 1929)
|publisher=Dover Publ.
|pages=319:стор.72-73 
|language=англ.
}}</ref>{{rp|стор.72, теорема 102}}
{{^|15.0ex}}

=== Точка на описаному колі ===
[[Файл:Точка на описаному колі правильного шестикутника.png|міні|350x350пкс]]
Навколо правильного шестикутника ABCDEF описано коло. Точка Р лежить на описаному колі між вершинами В і С. Тоді:

<math>PA +PB +PC + PD = PE + PF</math>

Нехай <math>d_i</math>&nbsp;— відстані від точки P на описаному колі правильного шестикутника до його вершин. Тоді:<ref name="Mamuka">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv=2010.12340|doi=10.26713/cma.v11i3.1420}}</ref> {{rp|стор.342, теор.4.4}}

<math>\left(\sum_{i=1}^6 d_i^2\right)^2 = 4 \sum_{i=1}^6 d_i^4 .</math>

Сума квадратів відстаней від вершин правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює <big>12''R''<sup>2</sup></big><ref name="Johnson, Roger A."/>{{rp|стор.73, теорема d}}

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного шестикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює <big>12''R''<sup>2</sup> − {{sfrac|3|2}}''a''<sup>2</sup></big>,<ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|стор.73, наслідок}}

де ''<big>{{mvar|a}}</big>''&nbsp;— довжина сторони правильного шестикутника.

=== Точка в площині правильного шестикутника ===
Навколо правильного шестикутника описано коло радіусом R.

Точка Р знаходиться в площині шестикутника. ОР = L&nbsp;— відстань від точки Р до центра шестикутника (центра описаного кола). <math>d_i</math> (i = 1, 2…5)&nbsp;— відстані від точки Р до вершин шестикутника.

Тоді виконуються наступні рівності:<ref name="Mamuka" /> {{rp|стор.344, теорема 4.9}}
: <math> d_1^2 + d_4^2 = d_2^2 + d_5^2 = d_3^2+ d_6^2= 2\left(R^2 + L^2\right), </math>
: <math> d_1^2 + d_3^2+ d_5^2 = d_2^2 + d_4^2+ d_6^2 = 3\left(R^2 + L^2\right), </math>
: <math> d_1^4 + d_3^4+ d_5^4 = d_2^4 + d_4^4+ d_6^4 = 3\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right). </math>

== Симетрія ==
[[File:Hexagon reflections.svg|thumb|міні|left|Шість ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] правильного шестикутника з симетрією Dih<sub>6</sub> або '''r12''', порядок 12.]]
''Правильний шестикутник'' має [[Діедрична група|діедричну групу]] симетрії D<sub>''6''</sub> (або [[Діедрична група|Dih<sub>6</sub>]]), порядку 12.

Вона складається з ''6'' [[Обертова симетрія|обертових симетрій]] (у 60°, 120°, 180°, 240° та 300°) і ''6'' [[Осьова симетрія|осьових симетрій]].

Правильний шестикутник має 6 ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]]: 3 осі симетрії, що проходять через дві протилежні [[Вершина (геометрія)|вершини]], та 3 осі симетрії, що проходять через середини протилежних сторін. Є центр симетрії.[[File:Regular hexagon symmetries.svg|thumb|541x541px|Діедричні симетрії поділяються в залежності від того, чи вони проходять через вершини ('''d''' для діагоналі) або ребра ('''p''' для перпендикулярів). Обертові симетрії позначені літерою '''g''' відповідно до їх порядку центрального обертання. Повна симетрія правильної форми — '''r12''' і відсутність симетрії — '''a1'''.]]Група симетрії D<sub>''6''</sub>  містить 16 підгруп. Це 8 підгруп включно з ізоморфізмами: власне D<sub>6</sub> , 2 [[Діедрична група|діедричні]] (D<sub>3,</sub> D<sub>2</sub>), 4 [[Циклічна група|циклічні]] (Z<sub>6</sub>, Z<sub>3</sub>, Z<sub>2</sub>, Z<sub>1</sub>), та тривіальна (e).

Ці типи симетрії у правильному шестикутнику можна побачити у вигляді 9 різних симетрій. [[Джон Конвей]] позначав їх за допомогою літери і порядку групи.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)</ref>

Повна симетрія правильної форми — '''r12''' і відсутність симетрії — '''a1'''.

'''p6''', [[Ізогональність|ізогональний]] шестикутник, побудований з трьома відзеркаленнями, для неправильних форм може чергувати довгі та короткі ребра.

'''d6''', [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] шестикутник, побудований з рівними довжинами ребер, але вершини чергуються з двома різними [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішніми кутами]] (для неправильних форм).

Ці дві форми є двоїстими одна до одної та мають половинний порядок симетрії правильного шестикутника.

Форми '''i4''' являють собою правильні шестикутники, сплющені або витягнуті вздовж одного напрямку симетрії. 
{| class="collapsible collapsed" align="right"
! Приклади шестикутників згідно симетрії
|-
|
{| class="wikitable"
|- valign="top"
!
! [[File:Hexagon_r12_symmetry.png|60пкс]]<BR/>r12<BR/>Правильний
!
| rowspan="3" |
!
! [[File:Hexagon_i4_symmetry.png|60пкс]]<BR/>i4
!
|- valign="top"
! [[File:Hexagon_d6_symmetry.png|60пкс]]<BR/>d6<BR/>[[Ізотоксальна фігура|Ізотоксальний]]
! [[File:Hexagon_g6_symmetry.png|60пкс]]<BR/>g6
Спрямований
! [[File:Hexagon_p6_symmetry.png|60пкс]]<BR/>p6<BR/>[[Ізогональність|Ізогональний]]
! [[File:Hexagon_d3_symmetry.png|60пкс]]<BR/>d2
! [[File:Hexagon_g2_symmetry.png|60пкс]]<BR/>g2<BR/>[[Паралелогон]] 
загального виду
! [[File:Hexagon_p2_symmetry.png|60пкс]]<BR/>p2
|- valign="top"
!
! [[File:Hexagon_g3_symmetry.png|60пкс]]<BR/>g3
!
!
! [[File:Hexagon_a1_symmetry.png|60пкс]]<BR/>a1
!
|}
|}
Його можна розглядати як подовжений [[ромб]], тоді як '''d2''' і '''p2''' можна розглядати як горизонтально та вертикально подовжені [[дельтоїд]]и. '''g2''' шестикутники, протилежні сторони яких [[Паралельність|паралельні]], також називають шестикутними [[паралелогон]]ами.

Кожна підгрупа симетрії допускає один або більше [[Ступені вільності|ступенів вільності]] для неправильних форм. Лише підгрупа '''g6''' не має ступенів вільності, але її можна розглядати як [[орієнтований граф]]. Шестикутники з симетрією '''g2''', '''i4''', та '''r12,''' як паралелогони можуть [[Теселяція|замостити]] [[Евклідів простір|евклідову площину]] шляхом копіювання. Інші форми шестикутника [[Теселяція|замощують]] [[Площина|площину]] в різних орієнтаціях.
{{^|10.0ex}}

== Побудова ==
Правильний шестикутник можна [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати за допомогою циркуля і лінійки]], оскільки число <math>6=2 \cdot 3</math> є добутком двійки на [[просте число Ферма]], що згідно з [[Теорема Гаусса — Ванцеля|теоремою Гаусса&nbsp;— Ванцеля]] є [[Необхідна і достатня умова|достатньою умовою]] для можливості його побудови [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля і лінійки]].

=== Побудова правильного шестикутника з даним радіусом описаного кола ===
[[Файл:Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif|ліворуч|міні|240x240пкс|Кроки побудови правильного шестикутника]]
* Будуємо коло вибраного радіуса та проводимо його діаметр.
* З протилежних кінців цього діаметра описуємо дуги циркулем, розхил якого рівний радіусу кола.
* Точки перетину цих дуг з колом, а також два кінці діаметра кола є  вершинами правильного шестикутника.

[[Файл:01-Sechseck-Seite-vorgegeben-wiki.svg|міні|212x212пкс]]

=== Побудова правильного шестикутника за даною стороною ===
Дано відрізок АВ, що дорівнює стороні правильного шестикутника.

З кінців відрізка радіусом, рівним АВ проводимо дві дуги до їх перетину в точці М.

Із точки М цим же радіусом проводимо коло.

Починаючи з точки В радіусом АВ відмічаємо на цьому колі ще чотири вершини шуканого шестикутника.

=== Приблизна побудова "по клітинках" ===
[[Файл:Construction of an almost regular hexagon and dodecagon..svg|міні|Приблизна побудова правильного шестикутника та дванадцятикутника]]
Наближення до правильного шестикутника, яке часто є достатнім для практичних цілей, отримують, якщо шестикутник побудовано з приблизно [[Правильний трикутник|рівносторонніх трикутників]], які мають співвідношення висоти до основи 7:8 (7 одиниць довжини в висоту та 8 одиниць довжини основи). Кути цього трикутника майже дорівнюють 60<sup>о</sup>.

Це наближення застосовується, коли допускається [[похибка]] трохи менше 1%. Наприклад, при розмітці клумб, міських площ, ігрових полів та ін.

Точки P<sub>i</sub> (x|y) пронумеровані нижче відповідно до цифр [[годинник]]а, центр (0|0):

* Координати вершин шестикутника в горизонтальному положенні:
*: P<sub>1</sub> (4|7), P<sub>3</sub> (8|0), P<sub>5</sub> (4|−7), P<sub>7</sub> (−4|−7), P<sub>9</sub> (−8|0), P<sub>11</sub> (−4|7)
* Координати вершин шестикутника в вертикальному положенні:
*: P<sub>2</sub> (7|4), P<sub>4</sub> (7|−4), P<sub>6</sub> (0|−8), P<sub>8</sub> (−7|−4), P<sub>10</sub> (−7|4), P<sub>12</sub> (0|8)

Краще наближення можна отримати, замінивши числа 4, 7 і 8 у наведених вище координатах на 15, 26 і 30 відповідно. Інші можливі трійки: (56, 97, 112) або (209, 362, 418).

=== Фізичні методи ===
Правильний шестикутник можна скласти методами [[оригамі]], використовуючи дві смуги паперу однакової ширини.<ref name=":0">{{citation
|last1=Wells |first1=David
|title=The Penguin dictionary of curious and interesting geometry
|url=https://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/page/n207/mode/2up
|publisher=London: Penguin
|year=1991
|pages=287:191-192
|language=англ.}}</ref>{{rp|стор.192}} 
[[Файл:Шестикутник з двох смуг паперу.png|без|міні|398x398пкс|[[Оригамі]] правильного шестикутника з двох смуг паперу однакової ширини]]

== Розбиття ==
{| class="wikitable" align="right" style="text-align:center;"
!Проекція [[Хексеракт|6-куба]] 
!Розбиття на 3 ромби
! colspan="2" |Розбиття на 12 ромбів
|-
|[[Файл:6-cube_t0_A5.svg|120x120пкс]]
|[[Файл:6-gon rhombic dissection.svg|безрамки|128x128пкс]]
|[[Файл:6-gon_rhombic_dissection-size2.svg|140x140пкс]]
|[[Файл:6-gon_rhombic_dissection2-size2.svg|140x140пкс]]
|}
[[Гарольд Коксетер]] стверджує, що кожен [[зоногон]] (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

<math>\binom{m}{2} = \frac{m\cdot (m-1)}{2}
</math> [[Паралелограм|паралелограмів]].<ref>[[Coxeter]], Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141</ref>

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного багатокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Це розбиття правильного шестикутника базується на {{Не перекладено|Багатокутник Петрі|багатокутнику Петрі|en|Petrie polygon}}  проекції куба, з 3 із 6 квадратних граней.

== Пов'язані многокутники ==
Правильний шестикутник має [[символ Шлефлі]] {6}. Правильний шестикутник є частиною правильного [[Шестикутний паркет|шестикутного паркету]] {6,3} з трьома шестикутними гранями навколо кожної вершини.

Правильний шестикутник також можна утворити, застосувавши операцію [[Зрізання (геометрія)|зрізання вершини]] до [[Правильний трикутник|рівностороннього трикутника]]. Такий шестикутник має символ Шлефлі t{3}. Оскільки ця форма має два типи (кольорів) сторін, то її симетрія лише D<sub>3</sub>.

[[Зрізання (геометрія)|Зрізаний]] шестикутник, t{6}, є [[дванадцятикутник]]ом, в якого чергуються два типи (кольорів) сторін.

{{Не перекладено|Альтернування (геометрія)|Альтернований|en|Alternation (geometry)}} шестикутник, h{6}, є правильним трикутником {3}.

Правильний шестикутник має [[Ззірчення|зірчасту форму]], [[Гексаграма|гексаграму]].

Правильний шестикутник можна розбити на шість рівносторонніх трикутників, з вершинами в центрі шестикутника. Цей візерунок повторюється в межах правильного [[Трикутний паркет|трикутного паркету]].

Правильний шестикутник можна розширити до правильного [[дванадцятикутник]]а, додавши навколо нього [[квадрат]]и та рівносторонні трикутники, що чергуються. Цей візерунок повторюється в {{Не перекладено|Ромботришестикутний паркет|ромботришестикутному паркеті|en|Rhombitrihexagonal tiling}}.
{| class="wikitable" style="text-align:center;" width="640"
|[[Файл:Regular_polygon_6_annotated.svg|82x82пкс]]
|[[Файл:Truncated_triangle.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:Regular_truncation_3_1000.svg|92x92пкс]]
|[[Файл:Hexagram.svg|92x92пкс]]
|[[Файл:Regular_polygon_12_annotated.svg|80x80пкс]]
|[[Файл:Regular_polygon_3_annotated.svg|81x81пкс]]
|[[Файл:Hexagonal cupola flat.svg|безрамки|110x110пкс]]
|- style="vertical-align:top;"
!Правильний шестикутник
{6}
![[Зрізання (геометрія)|Зрізаний]] [[правильний трикутник]]
t{3} = {6}
![[Зрізання (геометрія)|Гіперзрізаний]] трикутник
![[Зірчатий многокутник|Зірчаста форма]]
[[Гексаграма|Гексаграма 2{3}]]
![[Зрізання (геометрія)|Зрізаний]] правильний шестикутник
t{6} = [[Дванадцятикутник|{12}]]
!Альтернований правильний шестикутник
h{6} = [[Правильний трикутник|{3}]]
!Розширення правильного {6} в {12}
|}

== Правильний шестикутник в многогранниках ==
Серед правильних [[Правильний многогранник|багатогранників Платона]] не існує таких, що мають шестикутні грані. Однак правильний шестикутник можна отримати як переріз правильних багатогранників площиною, або при їх [[Ортогональна проєкція|ортогональних проєкціях]].

[[Площина]], що перетинає правильний багатогранник по шестикутному перерізу, проходить через центр багатогранника та середини його протилежних [[Паралельність|паралельних]] ребер, та розділяє його на дві рівні частини. Площина шестикутного перерізу в [[Куб|кубі]] та [[Правильний додекаедр|додекаедрі]] перпендикулярна до їх діагоналі.<ref name="Steinhaus 1999 p170">,Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. p. 170 ISBN 978-0486409146</ref><ref>Cundy, H. and Rollett, A. [[iarchive:MathematicalModels-/page/n161/mode/2up|"Hexagonal Section of a Cube."]]
 §3.15.1 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 157, 1989. ISBN 978-0906212202</ref><ref name="Eric W.Weisstein">{{citation
|last1=Weisstein |first1=Eric W.
|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
|url=https://archive.org/details/CrcEncyclopediaOfMathematics/Weisstein__Eric_W_-_CRC_Concise_Encyclopedia_Mathematics_Vol_2__CRC_1999__4AH/page/n347/mode/2up
|publisher=CRC Press LLC
|year=1998
|isbn=0-8493-9640-9
|pages=1969
|language=англ.}}</ref>{{rp|стор.836}}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
! colspan="7" |Шестикутники у [[Правильний многогранник|багатогранниках Платона]]
|-
|Переріз октаедра площиною
|Переріз куба площиною
|Переріз [[Правильний додекаедр|додекаедра]] площиною
|Проєкція октаедра, центрована по грані
|Проєкція [[Куб|куба]], центрована по вершині
|Проєкція [[Правильний ікосаедр|ікосаедра]], центрована по грані
|
|- valign="top"
|[[Файл:Hexagon in octahedron.svg|безрамки|180x180пкс]]
|[[Файл:Hexagon in cube.svg|безрамки|177x177пкс]]
|[[Файл:Hexagon in dodecahedron.svg|безрамки|173x173пкс]]
|[[Файл:Octahedron on triangular face.svg|безрамки|152x152пкс]]
|[[Файл:Hexagon dissection.svg|безрамки|163x163пкс]]
|[[Файл:Icosahedron with colored vertices, 3-fold.png|безрамки|129x129пкс]]
|
|}
[[Архімедове тіло|Багатогранники Архімеда]]: [[зрізаний тетраедр]], [[зрізаний октаедр]], [[зрізаний ікосаедр]], [[зрізаний кубооктаедр]] та [[зрізаний ікосододекаедр]], мають в складі своїх граней правильний шестикутник. Ці шестикутники можна вважати зрізаними трикутниками, а тому багатогранники мають [[Діаграми Коксетера — Динкіна|діаграми Кокстера]] у вигляді  {{CDD|node_1|3|node_1|p|node}} та {{CDD|node_1|3|node_1|p|node_1}}.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
! colspan="5" |Шестикутники в [[Архімедове тіло|багатогранниках Архімеда]]
|-
![[Тетраедрична симетрія]]
! colspan="2" |Октаедрична симетрія
! colspan="2" |Ікосаедрична симетрія
|-
|{{CDD|node_1|3|node_1|3|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|4|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|4|node_1}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|5|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|5|node_1}}
|- valign="top"
|[[Файл:Truncated_tetrahedron.png|100x100пкс]]<br />[[Зрізаний тетраедр]]
|[[Файл:Truncated_octahedron.png|100x100пкс]]<br />[[Зрізаний октаедр]]
|[[Файл:Great_rhombicuboctahedron.png|100x100пкс]]<br />[[Зрізаний кубооктаедр]]
|[[Файл:Truncated_icosahedron.png|100x100пкс]]<br />[[Зрізаний ікосаедр]]
|[[Файл:Great_rhombicosidodecahedron.png|100x100пкс]]<br />[[Зрізаний ікосододекаедр]]
|}
Існують інші багатогранники даних симетрій з деформованими (розтягнутими або сплощеними) шестикутниками, зокрема {{Не перекладено|Багатогранник Голдберга|багатогранник Голдберга|en|Goldberg polyhedron}} G(2,0): 
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
! colspan="3" |Шестикутник в багатогранниках Голдберга
|-
![[Тетраедрична симетрія]]
!Октаедрична симетрія
!Ікосаедрична симетрія
|-
|[[Файл:Alternate_truncated_cube.png|121x121пкс]]<br />Тетраедр з {{Не перекладено|Зрізання ребер (геометрія)|фаскою|en|Chamfer (geometry)}}
|[[Файл:Truncated_rhombic_dodecahedron2.png|120x120пкс]]<br />Куб з фаскою
|[[Файл:Truncated_rhombic_triacontahedron.png|120x120пкс]]<br />Додекаедр з фаскою
|}
Існує 9 [[Правильногранний многогранник|многогранників Джонсона]], гранями яких є правильний шестикутник:
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="width:400px; text-align:center;"
! colspan="4" |Шестикутник в багатогранниках Джонсона
|- valign="top"
|[[Файл:Triangular_cupola.png|120x120пкс]]<br />[[Трисхилий купол]]
|[[Файл:Elongated_triangular_cupola.png|120x120пкс]]<br />[[Подовжений трисхилий купол]]
|[[Файл:Gyroelongated_triangular_cupola.png|120x120пкс]]<br />[[Скручений подовжений трисхилий купол]]
|- valign="top"
|[[Файл:Augmented_hexagonal_prism.png|120x120пкс]]<br />[[Нарощена шестикутна призма]]
|[[Файл:Parabiaugmented_hexagonal_prism.png|120x120пкс]]<br />[[Двічі протилежно нарощена шестикутна призма]]
|[[Файл:Metabiaugmented_hexagonal_prism.png|120x120пкс]]<br />[[Двічі косо нарощена шестикутна призма]]
|[[Файл:Triaugmented_hexagonal_prism.png|120x120пкс]]<br />[[Тричі нарощена шестикутна призма]]
|- valign="top"
|[[Файл:Augmented_truncated_tetrahedron.png|120x120пкс]]<br />[[Нарощений зрізаний тетраедр]]
|[[Файл:Triangular_hebesphenorotunda.png|120x120пкс]]<br />[[Сплощена трикутна клиноротонда]]
|[[Файл:Truncated_triakis_tetrahedron.svg|120x120пкс]]<br />Зрізаний тріакістетраедр<br />
({{Не перекладено|Майже-многогранник Джонсона|Майже-многогранник Джонсона|en|Near-miss Johnson solid}})
|}
[[Призматоїд]]и з шестикутними гранями:
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
! colspan="6" |Шестикутники в призматоїдах
|-
| rowspan="2" |[[Файл:Hexagonal_prism.png|120x120пкс]][[Шестикутна призма]]
| rowspan="2" |[[Файл:Hexagonal_antiprism.png|120x120пкс]][[Шестикутна антипризма]]
| rowspan="2" |[[Файл:Hexagonal_pyramid.png|120x120пкс]][[Шестикутна піраміда]]
| rowspan="2" |[[Файл:Frustum with symbols.svg|безрамки|120x120пкс]][[Зрізана шестикутна піраміда]]
| colspan="2" |Інші
|- valign="top"
|[[Файл:Hexagonal bifrustum.png|безрамки|120x120пкс]][[Шестикутна зрізана біпіраміда]]
|[[Файл:Hexagonal truncated trapezohedron.png|безрамки|120x120пкс]][[Зрізаний шестикутний трапецоедр]]
|}
[[Теселяція|Паркети]] з правильними шестикутниками
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="width:480px;"
! colspan="4" |Правильні шестикутники в паркетах
|-
!Regular
! colspan="3" |1-uniform
|- style="text-align:center;"
|[[Шестикутний паркет]]{6,3}
{{CDD|node_1|6|node|3|node}}
|[[Тришестикутний паркет]]<nowiki/>r{6,3}
{{CDD|node|6|node_1|3|node}}
|Ромботришестикутний паркет
rr{6,3}
{{CDD|node_1|6|node|3|node_1}}
|Зрізаний тришестикутний паркет
tr{6,3}
{{CDD|node_1|6|node_1|3|node_1}}
|-
|[[Файл:Uniform_tiling_63-t0.svg|120x120пкс]]
|[[Файл:Uniform_tiling_63-t1.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-63-t02.png|120x120пкс]]
|[[Файл:Uniform_polyhedron-63-t012.png|120x120пкс]]
|- style="text-align:center;"
| colspan="4" |2-однорідні паркети
|-
|[[Файл:2-uniform_1.png|120x120пкс]]
|[[Файл:2-uniform_10.png|121x121пкс]]
|[[Файл:2-uniform_11.png|121x121пкс]]
|[[Файл:2-uniform_12.png|121x121пкс]]
|}

== Правильний шестикутник у природі, техніці та культурі ==

* [[Бджолині стільники]] наочно показують розбиття [[Площина|площини]] на правильні шестикутники.
* Деякі складні молекули [[Вуглець|вуглецю]] (наприклад, [[графіт]]) мають гексагональну [[Кристалічна ґратка|кристалічну ґратку]].
* [[Шестикутник Сатурна]]&nbsp;— [[Атмосферні явища|атмосферне явище]] поблизу північного [[Полюс світу|полюса]] [[Сатурн (планета)|планети Сатурн]].
* Сортамент сортового прокату "шестигранник" (з якого виготовляються [[Гайка|гайки]], [[болт]]и), [[Шестигранний шліц|шестигранні ключі]],  а також багато видів [[Олівець|олівців]]  у [[Переріз|поперечному перерізі]] мають форму правильного шестикутника.
* Контур [[Франція|Франції]] нагадує правильний шестикутник, тому ця фігура&nbsp;— символ країни. Вислів «гексагон» у французькій мові широко вживається як [[перифраз]] назви «Франція». Форма шестикутника використовується також на французьких монетах євро. Щоправда, порівняння Франції з шестикутником відносно недавнє<ref>Nathaniel B. Smith, «The idea of the French Hexagon», dans French historical studies, vol. 6, no 2, 1969, p. 139–155 (ISSN 0016-1071).</ref>.
* [[Гексагональні шахи]] — різновид гри в [[шахи]] на шестикутній дошці з шестикутними (гексагональними) полями.
* Головне дзеркало космічного [[Джеймс Вебб (телескоп)|телескопа Джеймса Вебба]] складається з 18 шестикутників по 1,3 м кожен, які можна регулювати з високою точністю.

== Галерея ==
<center><gallery widths="200" heights="200">
Файл:Graphen.jpg|[[Графен]] - одна з модифікацій вуглецю
Файл:Benzene-aromatic-3D-balls.png| [[Бензен]] — найпростіша [[Арени|ароматична сполука]] шестикутної форми.
Файл:Hexa-peri-hexabenzocoronene ChemEurJ 2000 1834 commons.jpg| Кристалічна структура молекулярного шестикутника, що складається з шестикутних ароматичних кілець.
Файл:Hanksite.JPG| Гексагональний кристал {{Не перекладено|Ганксит|ганкситу|en|Hanksite}}, один із багатьох мінералів [[Гексагональна сингонія|гексагональної кристалічної системи]]
</gallery></center>
<center><gallery widths="200" heights="200">
Файл:JWST Full Mirror.jpg|[[Джеймс Вебб (телескоп)|Телескоп Джеймса Вебба]]
Файл:M4 Inbusschraube focusstacked.jpg|Шестикутна [[гайка]] з гвинтом з [[Шестигранний шліц|шестигранним шліцем]]
Файл:Set of eight hex allen keys on ring on table.jpg|[[Шестигранний шліц|Інбусові ключі]] різних розмірів
Файл:Hexaschach.jpg|[[Гексагональні шахи]]
</gallery></center>

<center><gallery widths="200" heights="200">
Файл:PIA20513 - Basking in Light.jpg|[[Шестикутник Сатурна|Гігантький гексагон]] Сатурна
Файл:Fort-Jefferson Dry-Tortugas.jpg|Вид на Форт Джефферсон у {{Не перекладено|Національний парку Драй-Тортугас|національному парку Драй-Тортугас|en|Dry Tortugas National Park}}
Файл:EdenProjectRoof.jpg|Шестикутні панелі з термопластику в [[Проєкт Едем|проєкті «Едем»]]
Файл:Mustosen talon ikkuna 1870 1.jpg|Шестикутне вікно в домі Мустонена (Йоенсуу)
</gallery></center>

== Див. також ==
* [[Правильний многокутник|Правильний багатокутник]]
* [[Шестикутне число]]
* [[Зірка Давида|Шестикутна зірка]] ([[гексаграма]])
* [[Теорема Гаусса — Ванцеля|Теорема Гауса-Ванцеля]]
* [[Щільне пакування рівних сфер]]
* [[Флексагон]]
* {{Не перекладено|Магічні шестикутники|Магічні шестикутники|en|Magic hexagon}}

== Примітки ==
<references></references>

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=RegularHexagon|title=Regular Hexagon}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Hexagon|title=Hexagon}}
* [https://www.drking.org.uk/hexagons/index.html Hall of Hexagons]
* Math Open Reference: [http://www.mathopenref.com/hexagon.html Hexagon  (6-gon)]
* Math is Fun: [http://www.mathsisfun.com/geometry/hexagon.html Hexagon]
*[https://hexnet.org/content/hexagonal-geometry An Introduction to Hexagonal Geometry] on [https://web.archive.org/web/19980204100717/http://www.hexnet.org/ Hexnet] вебсайт, присвячений шестикутнику.
*{{YouTube|thOifuHs6eY|Hexagons are the Bestagons}}.

{{многокутники}}
{{ВП-портали|Математика}}
{{Бібліоінформація}}

[[Категорія:Правильні многокутники|5]]