Перегляд вихідного коду сторінки Правильний сімнадцятикутник

{{універсальна картка}}
[[Файл:Heptadecagon.svg|220px|right|Правильний сімнадцятикутник]]
'''Правильний сімнадцятикутник'''&nbsp;— [[геометрична фігура]], що належить до групи [[Правильний многокутник|правильних многокутників]]. Має сімнадцять сторін і сімнадцять кутів. Усі кути і сторони правильного сімнадцятикутника рівні між собою, всі вершини лежать на одному [[Коло|колі]].

== Властивості ==
[[File:Regular polygon 17 annotated.svg|thumb]]
[[Центральний кут]] α дорівнює <math>\frac{360^\circ}{17} \approx 21,17647059^\circ</math>.

Відношення довжини сторони до радіусу описаного кола складає

: <math>s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) \approx r_u \cdot 0{,}3675</math>.

Правильний сімнадцятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, що було доведено [[Гаус Карл Фрідріх|Карлом Фрідріхом Гаусом]] 1796 року. Ним же знайдено значення [[косинус]]а центрального кута сімнадцятикутника:

<math>\cos \frac{360^\circ}{17} = \frac{1}{16} \left( -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \left(17- \sqrt{17} \right)}
+ 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \left(17- \sqrt{17} \right)} - 2 \sqrt{2 \left(17+ \sqrt{17} \right)} } \right)</math>.

== Факти ==
* Гаус був настільки піднесений своїм відкриттям, що в кінці життя заповів, щоб правильний сімнадцятикутник викарбували на його могилі. Скульптор відмовився це зробити, стверджуючи, що побудова буде настільки складною, що результат не можна буде відрізнити від кола<ref>http://www.calend.ru/event/4901/</ref>.
* 1825 року [[Йоханес Ерхінгер]] уперше опублікував детальний опис побудови правильного сімнадцятикутника за 64 кроки. Нижче наводиться ця побудова.

== Побудова ==
=== Точна побудова ===
[[Файл:Siebzehneck-Einfach.svg|center|600px]]
# Проводимо велике коло k₁ (майбутнє описане коло сімнадцятикутника) з центром O.
# Проводимо його діаметр AB.
# Будуємо до нього перпендикуляр m, перетинаючий k₁ у точках C та D.
# Відмічаємо точку E&nbsp;— середину DO.
# Посередині EO відмічаємо точку F та проводимо відрізок FA.
# Будуємо бісектрису w₁ кута ∠OFA.
# Будуємо w₂&nbsp;— бісектрису кута між m та w₁, яка перетинає AB у точці G.
# Проводимио s&nbsp;— перпендикуляр до w₂ з точки F.
# Будуємо w₃&nbsp;— бісектрису кута між s та w₂. Вона перетинає AB у точці H.
# Будуємо коло Фалеса (k₂) на діаметрі HA. Воно перетинається з CD у точках J та K.
# Проводимо коло k₃ з центром G через точки J та K. Воно перетинається з AB у точках L та N. Тут важливо не переплутати N з M, вони розташовані дуже близько.
# Будуємо дотичну до k₃ через N.

Точки перетину цієї дотичної до вихідного кола k₁&nbsp;— це точки P₃ та P₁₄ шуканого сімнадцятикутника. Якщо прийняти середину отриманої дуги за P₀ та відкласти дугу P₀P₁₄ по колу тричі, усі вершини сімнадцятикутника будуть побудовані.

=== Приблизна побудова ===
Наступна побудова хоч і наближена, але набагато зручніша.

# Ставимо на площині точку M, будуємо навколо неї коло k та проводимо її діаметр AB;
# Ділимо навпіл радіус AM тричі по черзі в напрямку до центру (точки C, D та E).
# Ділимо навпіл відрізок EB (точка F).
# Будуємо перпендикуляр до AB у точці F.
* Коротко: будуємо перпендикуляр до діаметра на відстані 9/16 діаметра від B.

Точки перетину останнього перпендикуляра перпендикуляра з колом ї гарним наближенням для точок P₃ та P₁₄.

При цій побудові виходить відносна похибка у 0,83&nbsp;%. Кути та сторони виходять таким чином трохи більші, ніж потрібно. При радіусі 332,4&nbsp;мм сторона виходить довшою на 1&nbsp;мм.

=== Анімована побудова Ерхінгера ===
[[Файл:HeptadecagonConstructionAni.gif|thumb|400px|left|<center>Побудова сімнадцятикутника циркулем і лінійкою за 64 кроки</center>]]
{{clear}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* Karin Reich: ''Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825)''. В кн.: ''Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm''. Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101–118.

{{^}}{{многокутники}}
{{ВП-портали|Математика}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Правильні многокутники|17-кутник]]