Перегляд вихідного коду сторінки Правильний п'ятикутник

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="360"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Правильний п'ятикутник
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Regular polygon 5 annotated.svg|247x247пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[Правильний багатокутник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||[[Опуклий многокутник|Опуклий]], [[Рівносторонній многокутник|рівносторонній]], [[Ізогональність|ізогональний]] (вершинно-транзитивний), [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] (реберно-транзитивний), [[Конциклічні точки|конциклічний]] (вписаний в коло)
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 5 [[Ребро (геометрія)|ребер]]<br/>5 [[Вершина (геометрія)|вершин]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Вершинна фігура]]'''|| [[Відрізок]] довжиною <math>\frac{1 +\sqrt{5}}{2} </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Позначення'''</big>
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''|| {5}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_1|5|node}} або (x5o)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''|| D<sub>5</sub>, порядок 10 ([[Діедральна група]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий]]'''||Самодвоїстий
|}

'''Правильний п'ятикутник''' ('''пентагон''' від {{Lang-el|πέντε}}&nbsp;— п'ять та γωνία -''кут'')&nbsp;— [[п'ятикутник]], у якого всі сторони і кути рівні.

Також, '''правильний п'ятикутник'''&nbsp;— [[геометрична фігура]], [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]] з п'ятьма сторонами.

Правильні п'ятикутники є гранями одного з [[Правильний многогранник|тіл Платона]], а саме [[Правильний додекаедр|додекаедра]], а також одного з [[Тіло Кеплера — Пуансо|тіл Кеплера–Пуансо]], а саме [[Великий додекаедр|великого додекаедра]].

П'ятикутник&nbsp;— це опуклий багатокутник з найбільшою кількістю сторін, що може виступати в якості граней для [[Правильний многогранник|правильних багатогранників]], а також багатокутник з найбільшою кількістю сторін, на якому можна побудувати [[Правильногранний многогранник|правильногранні]] [[Піраміда (геометрія)|піраміду]] та [[Купол (геометрія)|купол]].

''Правильний п'ятикутник'' має п'ять ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] 5-го порядку (у 72°, 144°, 216° і 288°).

Оскільки сума внутрішніх кутів довільного опуклого п'ятикутника становить 540°, то кожен внутрішній кут правильного п'ятикутника дорівнює 108°.

== Формули ==
[[Файл:Параметри правильного п'ятикутника.png|ліворуч|безрамки|250x250пкс]]
Нехай <big><math>a</math></big> ‒ сторона п'ятикутника,<br/>''<big>R</big>'' ‒ [[радіус]] описаного кола,<br/>''<big>r</big>'' ‒ радіус вписаного кола.

Для правильного п'ятикутника справедливі наступні формули:

'''Сторона''' правильного п'ятикутника:

<math>a= 2\mathop{\mathrm{tg}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot r = 2\cdot\sqrt{5-2\sqrt{5}}\cdot r \approx 1.45308505 \cdot r</math>

<math>a= 2\sin\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot R =\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\cdot R \approx 1.1755705 \cdot R</math>

'''Радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]''' правильного п'ятикутника (дорівнює '''[[Апофема|апофемі]]''' правильного п'ятикутника) ‒ дотикається до всіх його ребер:

<math>r= \frac{1}{2}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot a 
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5} }   \cdot a 
\approx 0.68819096 \cdot a </math>

<math>r= \cos \left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot R 
= \frac{1+ \sqrt{5}}{4} \cdot R 
= \frac{\varphi}{2} \cdot R 
\approx 0.80901699 \cdot R </math>

'''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''' правильного п'ятикутника ‒ проходить через всі його вершини:

<math>R= \frac{1}{2}\mathop{\mathrm{cosec}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot a 
= \sqrt{ \frac{5+ \sqrt{5}}{10}} \cdot a 
= \frac{1}{\sqrt{3-\varphi}}\cdot a 
\approx 0.8506508 \cdot a </math>

<math>R= \sec \left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot r = (\sqrt{5}-1) \cdot r 
\approx 1.23606797 \cdot r </math>

'''Висота''' ‒ відстань від вершини до протилежної сторони:

<math>H = R+r = \frac{1}{2}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{10} \right )\cdot a 
= \frac{1}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5} }   \cdot a 
\approx 1.5388417 \cdot a </math>

'''[[Площа]]''' правильного п'ятикутника:
{|border="2"
|----
|<math>S= \frac{5}{4}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot a^2 
= \frac{1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5} }   \cdot a^2 
\approx 1.7204774 \cdot a^2 </math>
<math>S= \frac{5}{2} \sin\left ( \frac{2\pi}{5} \right )\cdot R^2 
=\frac{5}{4} \cdot\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\cdot R^2 
\approx 2.3776412 \cdot R^2</math>

<math>S= 5\mathop{\mathrm{tg}}\left ( \frac{\pi}{5} \right )\cdot r^2 
= 5\cdot\sqrt{5-2\sqrt{5}}\cdot r^2 
\approx 3.63271264 \cdot r^2</math>

|border="2"|<math>S = \frac{5}{12} R \cdot d = \frac{\sqrt{5}}{2} a \cdot H =\frac{1}{2} P \cdot r
 </math> де ''<big>P</big>''&nbsp;— периметр правильного п'ятикутника: <math>P=5\cdot a
 </math>
''<big>d</big>''&nbsp;— діагональ

''<big>r</big>''&nbsp;— радіус вписаного кола/ апофема.
|}


== Кути правильного п'ятикутника ==
[[Файл:Кути правильного п'ятикутника.png|ліворуч|безрамки|331x331пкс]]
Внутрішній кут правильного п'ятикутника при даній вершині називається кут між двома його сторонами, що сходяться в цій вершині.

<math>\alpha = \frac{180^\circ \cdot(5-2)}{5}=108^\circ = \frac{3\pi}{5} rad</math>

Сума внутрішніх кутів дорівнює <math>180^\circ \cdot(5-2)=540^\circ = 3\pi</math>&nbsp;[[радіан]].

Зовнішній кут правильного п'ятикутика при цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині.

<math>\beta=\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ = \frac{2\pi}{5}</math> радіан.

Сума [[Внутрішній та зовнішній кути|зовнішніх кутів]] (по одному при кожній вершині) дорівнює <math>360^\circ = 2\pi</math>&nbsp;[[радіан]].

Центральним кутом правильного п'ятикутика називається центральний кут його описаного кола, що спирається на його сторону. Величина [[Центральний кут|центрального кута]] дорівнює:

<math>\gamma=\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ = \frac{2\pi}{5}</math> радіан.

Кут між двома діагоналями, що виходять з однієї вершини, а також кут між діагоналлю та стороною дорівнює <math>\delta = \frac{\pi}{5} rad = 36^\circ
 </math>

== Діагоналі ==
[[Файл:Діагоналі правильного п'ятикутника.png|ліворуч|міні|350x350пкс]]
Правильний п'ятикутник має <math>\frac{1}{2} \cdot5\cdot(5-3) = 5</math> [[Діагональ|діагоналей]] однакової довжини:

<math>AC = AD = d =2\cdot\cos \left ( \frac{\pi}{5} \right ) = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot a
=\varphi \cdot a \approx 1.6180339887 \cdot a
 </math>

<math>d =2\cdot\cos \left ( \frac{\pi}{10} \right ) \cdot R = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot R
=\sqrt{\varphi \sqrt{5}} \cdot R \approx 1.902113 \cdot R
 </math>

Відношення діагоналі правильного п'ятикутника до його сторони дорівнює відношенню пропорції «[[Золотий перетин|золотого перетину]]»:

<math>\frac{d}{a} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887 
 </math> ,

<math>\frac{a}{d} = \frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.6180339887 
 </math>

Діагоналі правильного п'ятикутника є [[трисектриса]]ми його внутрішніх кутів. Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять з однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять з цієї вершини):

<math>\delta = \frac{\pi}{5} rad = 36^\circ
 </math>

Діагоналі правильного п'ятикутника перетинаються в 5 точках і ділять внутрішню область п'ятикутника на 11 частин ([[oeis:A007678|A007678]] в ''OEIS'').

Сума діагоналей опуклого п'ятикутника ABCDE більша за [[периметр]], але менша за подвійний периметр.

Сума квадратів діагоналей є втричі меншою від суми квадратів його сторін.<ref name="Crux">''Inequalities proposed in [[Crux Mathematicorum|«Crux Mathematicorum»]]'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.75,#1854}}

Відношення площ правильного п'ятикутника та іншого правильного п'ятикутника, що утворений перетином діагоналей вихідного (середина [[Пентаграма|п'ятипроменевої зірки]]):

<math>\frac{S}{s} = \varphi^4 = 3\varphi +2 = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} \approx 6.854101966 
 </math>

Для правильного п'ятикутника виконується рівність: <math>d^2=a^2+a\cdot d 
 </math>

де a&nbsp;— довжина сторони правильного п'ятикутника, d&nbsp;— довжина діагоналі.

== Властивості ==
# Центри вписаного та описаного кіл збігаються та лежать в центрі правильного п'ятикутника.
# Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: <math>S = \frac{\pi}{4} \cdot a^2
 </math>
# У правильний п'ятикутник можна так вписати квадрат, що його вершини лежатимуть на чотирьох сторонах п'ятикутника.
# Правильний п'ятикутник може бути [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудований за допомогою циркуля та лінійки]] без міток.
# У правильного п'ятикутника існує тільки одна [[Ззірчення|зірчаста форма]]&nbsp;— [[пентаграма]] ([[п'ятипроменева зірка]]). Правильний п'ятикутник і [[Шестикутник|правильний шестикутник]] є єдиними багатокутниками з однією можливою зірчастою формою.

=== [[Теорема Вівіані]] ===
[[Файл:Теорема Вівіані для правильного п'ятикутника.png|ліворуч|міні|Теорема Вівіані для правильного п'ятикутника|237x237пкс]]
Нехай точка Р&nbsp;— довільна точка всередині правильного п'ятикутника. З неї на сторони опущені перпендикуляри.

<math>a_p</math>&nbsp;— [[Апофема|апотема]] п'ятикутника ([[перпендикуляр]], опущений з його центра на будь-яку з його сторін).

Тоді виконується наступна рівність:

<big><math>\textstyle \sum_{k=1}^5 \displaystyle h_i = h_1+h_2+h_3+h_4+h_5 = 5\cdot a_p</math></big>

Названа іменем італійського математика [[Вінченцо Вівіані]]<ref name="ref1">{{cite journal|last=Abboud|first=Elias|year=2010|title=On Viviani’s Theorem and its Extensions|journal=College Mathematics Journal|volume=43|issue=3|page=16|arxiv=0903.0753v3}}</ref>.


{{-}}[[Файл:Точка на описаному колі правильного п'ятикутника.png|міні|220x220px]]

=== Точка на описаному колі ===
Навколо правильного п'ятикутника ABCDE описано коло. Точка Р лежить на описаному колі між вершинами В і С. Тоді виконуються наступні рівності:

<math>PA + PD = PB+PC+PE</math>

<math>3\cdot(PA^2+PB^2+PC^2+PD^2+PE^2)^2=10\cdot(PA^4+PB^4+PC^4+PD^4+PE^4)</math>

Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного п'ятикутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює <math>5R</math>.

Сума квадратів відстаней від вершин правильного п'ятикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює <big>10''R''<sup>2</sup></big>

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного п'ятикутника до будь-якої точки на його описаному колі дорівнює <big>10''R''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|4}}''a''<sup>2</sup></big>, де а&nbsp;— довжина сторони правильного п'ятикутника.<ref>{{Cite book
|title=Advanced Euclidean Geometry
|last=Johnson, Roger A.
|year=2007 (orig. 1929)
|publisher=Dover Publ.
|pages=73
|language=англ.
}}</ref>

=== Точка в площині правильного п'ятикутника ===
[[Файл:Точка в площині правильного п'ятикутника.png|ліворуч|міні|260x260пкс]]
Навколо правильного п'ятикутника описано коло радіусом R.
Точка Р знаходиться в площині п'ятикутника. ОР = L&nbsp;— відстань від точки Р до центра п'ятикутника (центра описаного кола). <math>d_i</math> (i = 1, 2…5)&nbsp;— відстані від точки Р до вершин п'ятикутника.<ref name="Mamuka">{{cite journal |last1=Meskhishvili |first1=Mamuka |date=2020 |title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065 |journal=Communications in Mathematics and Applications |volume=11 |pages=335–355 }}</ref>

Тоді виконуються наступні рівності:
: <math>\begin{align}
  \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^2 &= 5\left(R^2 + L^2\right), \\
  \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^4 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2R^2 L^2\right), \\
  \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^6 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^3 + 6R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)\right), \\
  \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^8 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^4 + 12R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)^2 + 6R^4 L^4\right).
\end{align}</math>
: {{-}}

== Замощення площини ==
Правильними п'ятикутниками неможливо [[Теселяція|замостити]] площину без проміжків та накладень, оскільки внутрішній кут правильного п'ятикутника дорівнює 108 ° і не ділить ні 180°, ні 360°.
[[Файл:2-d pentagon packing dual.svg|міні|210x210пкс|Заповнення площини правильними п'ятикутниками]]
Оптимальне пакування конгруентних правильних п'ятикутників на площині є подвійною [[Кристалічна ґратка|ґраткою]], що являє собою чергування вирівняних вертикальних стовпчиків правильних п'ятикутників, спрямованих вгору зі стовпчиками правильних п'ятикутників, спрямованих вниз.<ref>{{Cite book
|title=Double-Lattice Packings of Convex Bodies in the Plane
|last=G. Kuperberg , W. Kuperberg
|year=1990
|publisher=Springer-Verlag New York Inc.
|pages=393
|language=англ.
|isbn=
}}</ref>

{{Не перекладено|Щільність пакування|Щільність|en|Packing density}} цієї структури становить <math>\frac{5-\sqrt{5}}{3} \approx 0.9213106741
 </math>.

Це є найкраще відоме замощення площини правильними п'ятикутниками з коефіцієнтом заповнення площини 92.131&nbsp;%

Приклади заповнення площини правильними п'ятикутниками та ромбами:
<gallery widths="200" heights="150">
Файл:Pentagon-rhombus tiling.svg
Файл:Pentagon-rhombus tiling2.png
</gallery>

В [[Неевклідова геометрія|неевклідовій геометрії]] правильні п'ятикутники можуть замощувати [[гіперболічна геометрія|гіперболічну площину]] чотирма п'ятикутниками навколо кожної вершини (наприклад, {{Не перекладено|П'ятикутна мозаїка порядка 4|п'ятикутна мозаїка порядка 4|en|Order-4 pentagonal tiling}}) (або більше), а [[Сфера|сферу]]&nbsp;— трьома п'ятикутниками; останній паркет створює мозаїку, яка топологічно еквівалентна [[Правильний додекаедр|додекаедру]].

Існує 15 {{Не перекладено|П'ятикутний паркет|п'ятикутних паркетів|en|Pentagonal tiling}}, що складаються з неправильних п'ятикутників, якими можна замостити площину.<ref>{{Cite book
|title=Isoperimetric Pentagonal Tilings
|last=Chung, Ping Ngai; Fernandez, Miguel A.; Li, Yifei; Mara, Michael; Morgan, Frank; Plata, Isamar Rosa; Shah, Nirlee; Vieira, Luis Sordo; Wikner, Elena
|year=2012
|publisher=Notices of the American Mathematical Society.
|pages=59 (5): 632
|language=англ.
|isbn=
}}</ref><ref>{{Cite book
|title=Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane
|last=Michaël Rao
|year=2017
|language=англ.
}}</ref>

== Симетрія ==
[[Файл:Symmetries_of_pentagon.png|міні|327x327px|Симетрії правильного п'ятикутника. Вершини розфарбовані відповідно до їх позицій симетрії. Сині лінії відзеркалення проведені через вершини та ребра. Порядок обертової симетрії вказаний в центрі.]]
''Правильний п'ятикутник'' має [[Діедральна група|Dih<sub>5</sub> симетрію]], порядку 10. Оскільки 5 є [[Просте число|простим числом]] існує одна підгрупа із діедральною симетрією: Dih<sub>1</sub>, і 2 симетрії [[Циклічна група|циклічної групи]]: Z<sub>5</sub>, і Z<sub>1</sub>.

Ці 4 типи симетрії у п'ятикутнику можна побачити у вигляді 4 різних симетрій. [[Джон Конвей]] позначав їх за допомогою літери і порядку групи.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275—278)</ref> Повна симетрія правильної форми&nbsp;— '''r10''' і не існує симетрії із підписом '''a1'''. Діедральні симетрії поділяються в залежності від того, чи вони проходять через вершини ('''d''' для діагоналі) або ребра ('''p''' для перпендикулярів), і '''i''' коли лінії відбиття проходять через вершини і ребра одночасно. Обертові симетрії позначені літерою '''g''' відповідно до їх порядку центрального обертання.

Кожна підгрупа симетрії дозволяє мати один або декілька степенів свобод для неправильних форм. Лише підгрупа '''g5''' не має степенів свободи, її можна розглядати як [[орієнтований граф]].





{{-}}

== Побудова ==
Правильний п'ятикутник можна побудувати за допомогою [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|циркуля та лінійки]], оскільки число 5 є [[Числа Ферма|числом Ферма]]. Відомо багато методів побудови правильного п'ятикутника. Деякі з них наведено нижче.

==== Метод Річмонда ====
[[Файл:Richmond pentagon 1.PNG|ліворуч|міні|280x280пкс]]
Одним із методів побудови правильного п'ятикутника в середині заданого кола є метод, описаний Г.&nbsp;В.&nbsp;Річмондом у 1893 році<ref name="Richmond">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html|title=Pentagon|author=Herbert W Richmond|year=1893}}</ref>.
[[Файл:Pentagon construct.gif|міні|Побудова правильного п'ятикутника методом Річмонда<ref name="Richmond2">Анімація зроблена за методом описаним на сайті {{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Pentagon.html|title=Pentagon|author=Herbert W Richmond|year=1893}} and further discussed in {{cite book
|url=http://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA63
|title=Polyhedra
|author=Peter R. Cromwell
|year=1999
|publisher=Cambridge University Press
|page=63
|isbn=0521664055
}} {{ref-en}}</ref>]]

Перше зображення показує побудову, яка використовується в методі Річмонда для побудови сторони вписаного п'ятикутника.

1. Будуємо перпендикулярні осі, які перетинаються в точці С, та коло одиничного радіуса з центром в цій точці.

2. Знаходимо точку М&nbsp;— середину радіуса цього кола на горизонтальній осі, та сполучаємо її з точкою D&nbsp;— точкою перетину кола з вертикальною віссю.

3. Проводимо бісектрису кута CMD до її перетину з вертикальною віссю CD в точці ''Q''.

4. Горизонтальна лінія, проведена через точку ''Q'' перетинає коло в точці ''P'', а хорда ''PD'' є стороною правильного п'ятикутника, вписаного в початкове коло.
        
[[Файл:Richmond Pentagon 2.PNG|ліворуч|міні|237x237пкс]]Визначимо довжину цієї побудованої сторони. Два правильні трикутники ''DCM'' і ''QCM'' показані внизу під колом. Використовуючи [[Теорема Піфагора|теорему Піфагора]] і дві сторони, гіпотенузу більшого трикутника можна знайти наступним чином <math>\scriptstyle \sqrt{5}/2</math>. Сторону ''h'' меншого трикутника тоді можна знайти за допомогою [[Список тригонометричних тотожностей|формули половинного кута]]:
: <math>\tan ( \phi/2) = \frac{1-\cos(\phi)}{\sin (\phi)} \ ,</math>

де косинус і синус кута ''ϕ'' відомі із більшого трикутника. В результаті отримаємо:

: <math>h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .</math>

Знаючи довжину сторони, тепер перейдемо до нижньої діаграми для того, щоб знайти сторону ''s'' правильного п'ятикутника. Спершу, сторону ''a'' трикутника праворуч можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

: <math>a^2 = 1-h^2 \ ; \ a = \frac{1}{2}\sqrt { \frac {5+\sqrt 5}{2}} \ .</math>

Потім знайдемо ''s'' за допомогою теореми Піфагора і трикутника, що ліворуч:

: <math>s^2 = (1-h)^2 + a^2 = (1-h)^2 + 1-h^2 = 1-2h+h^2 + 1-h^2 = 2-2h=2-2\left(\frac{\sqrt 5 - 1}{4}\right) \ </math><math>=\frac {5-\sqrt 5}{2} \ .</math>

Таким чином сторона ''s'' буде дорівнювати: <math>s = \sqrt{ \frac {5-\sqrt 5}{2}} \ ,</math>

Таким чином, побудова п'ятикутника є правильною.<ref name="Touton">This result agrees with {{cite book
|url=https://books.google.com/books?id=eOdHAAAAIAAJ&pg=PA302
|title=Plane geometry
|author1=Herbert Edwin Hawkes
|author2=William Arthur Luby
|author3=Frank Charles Touton
|year=1920
|publisher=Ginn & Co.
|page=302
|chapter=Exercise 175
}}</ref>

==== Карлайлові кола ====
[[Файл:Regular_Pentagon_Using_Carlyle_Circle.gif|міні|Метод із використанням Карлайлових кіл]]
Карлайлове коло було винайдено як метод знаходження коренів [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]].<ref name="Weisstein">{{cite book
|url=https://books.google.com/books?id=Zg1_QZsylysC&pg=PA329
|title=CRC concise encyclopedia of mathematics
|author=Eric W. Weisstein
|year=2003
|publisher=CRC Press
|edition=2nd
|page=329
|isbn=1-58488-347-2
}}</ref> Ця методологія привезла до появи методу побудови правильного п'ятикутника. Його кроки є наступними:<ref name="DeTemple">{{cite journal|last=DeTemple|first=Duane W.|date=Feb 1991|title=Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf|deadurl=yes|journal=The American Mathematical Monthly|volume=98|issue=2|pages=97–108|doi=10.2307/2323939|archiveurl=https://web.archive.org/web/20151221113614/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3|archive-date=2015-12-21}}</ref>

# Креслимо [[коло]] в яке ми впишемо п'ятикутник і позначимо його центральну точку як ''O''.
# Проводимо горизонтальну лінію через центр кола. Ліву точку перетину із колом позначимо як ''B''.
# Проводимо вертикальну лінію через центр кола. Позначимо точку перетину з колом літерою ''A''.
# Побудуємо точку ''M'' як середню точку між ''O'' і ''B''.
# Побудуємо коло із центром в точці ''M'' через точку ''A''. Відмітимо його перетин із горизонтальною лінією (в середині початкового кола) літерою ''W'', а точку перетину за межами кола позначимо як ''V''.
# Проводимо коло із радіусом ''OA'' і з центром в точці ''W''. Воно перетинає початкове коло у двох вершинах п'ятикутника.
# Проводимо коло із радіусом ''OA'' і з центром в точці ''V''. Воно також перетинає початкове коло у двох вершинах п'ятикутника.
# П'ята вершина це сама права точка перетину горизонтальної лінії із початковим колом.

Кроки 6–8 є аналогічними наступній версії, показаній в анімації:

: 6a. Побудуємо точку F, що є середньою точкою між O і W.
: 7a. Побудуємо вертикальну лінію через F. Вона перетинає початкове коло в двох вершинах п'ятикутника. Третьою вершиною буде самий правий перетин горизонтальної лінії із початковим колом.
: 8a. Побудуємо дві інші вершини використовуючи циркуль і довжину сторони, знайдену на кроці 7a.

==== При заданій довжині сторони ====
Відповідно до закону [[Золотий перетин|золотого перетину]], і застосовуючи зовнішній поділ відрізку, п'ятикутник можна побудувати за допомогою наступних кроків:
[[Файл:01-Fünfeck-Seite-vorgegeben-wiki.svg|міні|300x300пкс|П'ятикутник із заданою довжиною сторони]]

# Проводимо відрізок ''{{overline|AB}}'' довжина якого дорівнює довжині п'ятикутника.
# Продовжимо відрізок ''{{overline|BA}}'' від точки ''A'' приблизно на три чверті довжини відрізка ''{{overline|BA}}''.
# Проводимо дугу кола, із центром в точці ''B'', із радіусом ''{{overline|AB}}''.
# Проводимо дугу кола із центром в точці ''A'', із радіусом ''{{overline|AB}}''; вони утворять перетин в точці ''F''.
# Побудуємо перпендикуляр до відрізку ''{{overline|AB}}'' через точку ''F''; він утворить перетин в точці ''G''.
# Проводимо пряму паралельну відрізку ''{{overline|FG}}'' від точки ''A'' до дуги окружності біля точки ''A''; утвориться перетин позначений як ''H''.
# Проводимо дугу кола із центром у точці ''G'' із радіусом ''{{overline|GH}}'' до перетину із продовженням відрізку ''{{overline|AB}}''; буде утворена точка перетину ''J''.
# Проводимо дугу кола із центром в точці ''B'' та радіусом ''{{overline|BJ}}'' до перетину із перпендикуляром, що проходить через точку ''G''; буде утворена точка перетину ''D'' із перпендикуляром, і точка перетину ''E'' із дугою кола, яке було утворене довкола точки ''A''.
# Проводимо дугу кола із центром в точці ''D'', із радіусом ''{{overline|BA}}'' доки ця дуга не перетне іншу дугу кола, що була проведена із центром в точці ''B''; утвориться точка перетину ''C''.
# З'єднаємо точки ''BCDEA''. В результаті отримана фігура є п'ятикутником.

==== Альтернативний метод ====
[[Файл:Regular_Pentagon_Inscribed_in_a_Circle_240px.gif|обрамити|Анімація|ліворуч]][[Файл:Pentagon-construction.svg|міні|Побудова п'ятикутника|274x274пкс]]

# Будуємо коло з центром O та проводимо через неї пряму, яка перетинає коло в точках A і B.
# Через точку О проводимо пряму ОС перпендикулярно до діаметра AB.
# Знаходимо точку D&nbsp;— середину відрізка АО.
# Креслимо дугу з центром D і радіусом CD, її перетин з лінією AB позначено E і F.
# Креслимо дугу з центром C і радіусом CE, її точки перетину з колом, позначено G і H.
# Креслимо дугу з центром C і радіусом CF і позначте її точки перетину з колом як I і J.

Точки C, G, H, I, J є вершинами правильного п'ятикутника.

==== Метод Евкліда ====
[[Файл:01-Pentagon-Euklid Animation.gif|міні|433x433пкс|Метод Евкліда побудови правильного п'ятикутника в заданому колі з використанням [[Золотий трикутник (геометрія)|золотого трикутника]]]]
Правильний п'ятикутник можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, або вписавши їх у дане коло, або побудувавши його на заданому відрізку. Цей процес був описаний [[Евклід Мегарський|Евклідом]] у його «<nowiki/>[[Начала Евкліда|Началах]]<nowiki/>» приблизно за 300 рік до нашої ери.<ref name=Martin>{{cite book |title=Geometric constructions |author=George Edward Martin |url=https://books.google.com/books?id=ABLtD3IE_RQC&pg=PA6 |page=6 |isbn=0-387-98276-0 |year=1998 |publisher=Springer}}</ref><ref name="Fitzpatrick">{{cite book
|url=https://farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Elements.pdf#page=120&zoom=auto,-205,774
|title=Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11
|last1=Fitzpatrick
|first1=Richard
|year=2008
|page=119
|language=англ.
|isbn=978-0-615-17984-1
}}</ref>

==== Фізичні методи ====
[[Файл:Overhand-folded-ribbon-pentagon.svg|міні|П'ятикутник із смужки паперу|322x322пкс|без]]

* Правильний п'ятикутник можна скласти із паперової смуги склавши її у [[простий вузол]] і обережно розтягуючи його за кінці, так щоб утворити пласку фігуру. Якщо скласти назад кінці над п'ятикутником, то при просвічуванні або розгладжуванні рельєфу із утворених ліній проявиться [[пентаграма]].

== Див. також ==
* [[Квадрат]]
* [[Правильний додекаедр]]
* [[Золотий перетин]]
* [[П'ятикутне число]]
* [[П'ятипроменева зірка]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=|title=Regular Pentagon}}
* https://polytope.miraheze.org/wiki/Pentagon

{{многокутники}}
{{ВП-портали|Математика}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Правильні многокутники|5]]