Перегляд вихідного коду сторінки Правильний многокутник

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="360"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|<span style="color: MediumBlue"><big>Правильний многокутник</big> </span>

|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Regular polygon 12 annotated.svg|247x247пкс]]
'''Правильний дванадцятикутник (приклад)'''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[многокутник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||[[Опуклий многокутник|Опуклий]], [[Рівносторонній многокутник|рівносторонній]], [[Ізогональність|ізогональний]] (вершинно-транзитивний), [[Ізотоксальна фігура|ізотоксальний]] (реберно-транзитивний), [[Конциклічні точки|конциклічний]] (вписаний в коло)
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center"|
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| ''n'' [[Ребро (геометрія)|ребер]]<br/>''n'' [[Вершина (геометрія)|вершин]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Позначення'''</big>
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''|| '''{''n''}'''
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_1|n|node}} або (x <big>''n''</big> o)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''|| '''D<sub>''n''</sub>''', порядок 2''n'' ([[Діедральна група]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий]]'''||Самодвоїстий
|}

В [[Евклідова геометрія|евклідовій геометрії]] '''пра́вильний многоку́тник''' ('''багатоку́тник''', '''''n''-ку́тник''', '''поліго́н''')&nbsp;— [[многокутник]], у якого всі кути рівні і всі сторони рівні (мають однакову довжину).

Правильні многокутники можуть бути [[Опуклий многокутник|опуклими]], [[Зірчатий многокутник|зірчатими]] або [[Просторовий многокутник|просторовими]].

Якщо ''n'' прямує до [[Нескінченність|нескінченності]], то правильний многокутник наближається за формою до [[Коло|кола]], якщо зробити сталим значення [[периметр]]у чи [[Площа|площі]], або до [[апейрогон]]а (пряма лінія), якщо зробити сталою довжину сторони.

== Опуклий правильний многокутник ==
Всі опуклі правильні многокутники є [[Простий многокутник|простими]] многокутниками. Всі правильні ''n''-кутники подібні між собою.

'''Центром''' правильного многокутника називають точку, рівновіддалену від усіх його вершин і всіх його сторін.

Відрізок (а також його довжина) перпендикуляра, проведеного з центру правильного многокутника до його сторони, називається '''[[Апофема|апотемою]]''' правильного многокутника. Апотема дорівнює радіусу [[Вписане коло|вписаного]] в даний многокутник кола.
[[Файл:Правильний семикутник.png|ліворуч|безрамки|283x283пкс]]

=== Кути ===
[[Центральний кут|'''Центральним кутом''']] правильного ''n''-кутника (кут ''α'') називають кут, під яким сторону ''n''-кутника видно з його центру.

: <math>\alpha = \frac{360^0}{n}</math> градусів <math> = \frac{2\pi}{n}</math> [[радіан]].

Сума центральних кутів: <math>\sum \alpha = 360^0 = 2 \pi</math> рад.

[[Внутрішній та зовнішній кути|'''Внутрішній кут''']] правильного n-кутника&nbsp;— кут між сусідніми сторонами:

: <math>\beta = \frac{180^0(n - 2)}{n}</math> градусів <math>=\frac{(n - 2)\cdot \pi}{n}</math> [[радіан]].

[[Теорема про суму кутів трикутника|Сума внутрішніх кутів]]: <math>\sum \beta = 180^0(n - 2)</math>.

[[Внутрішній та зовнішній кути|Зовнівнішній кут]]&nbsp;— кут, суміжний з внутрішнім кутом. <math>\gamma = 180^0- \beta = \alpha </math>

: <math>\gamma = \frac{360^0}{n}</math> градусів <math> = \frac{2\pi}{n}</math> [[радіан]].

Сума зовнішніх кутів многокутника, взятих по одному біля кожної вершини, дорівнює 360⁰
{|class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:5px" width="500"
! colspan="5" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Сторона правильного n-кутника</big></big> </span>
|+
!n
! colspan="2" |через радіус описаного кола <big>R</big>
<math>a=2\cdot \sin \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot R  </math>
! colspan="2" |через радіус вписаного кола r
<math>a=2\cdot \mathop{\mathrm{tg}} \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot r</math>
|-
|align="center"|'''[[Правильний трикутник|3]]'''
|align="center"|<math>\sqrt{3}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 1.7320508∙''R'''''
|align="center"|<math>2\sqrt{3}\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 3.4641016∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Квадрат|4]]'''
|align="center"|<math>\sqrt{2}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 1.4142136∙''R'''''
|align="center"|<math>2\cdot r</math>
|align="center"|'''= 2∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний п'ятикутник|5]]'''
|align="center"|<math>\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 1.1755705∙''R'''''
|align="center"|<math>2\sqrt{5-2\sqrt{5}}\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 1.4530851∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний шестикутник|6]]'''
|align="center"|<math>R</math>
|align="center"|'''= 1∙''R'''''
|align="center"|<math>\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 1.1547005∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний семикутник|7]]'''
|
|align="center"|'''≈ 0.8677674∙''R'''''
|
|align="center"|'''≈ 0.9631492∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний восьмикутник|8]]'''
|align="center"|<math>\sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 0.7653669∙''R'''''
|align="center"|<math>2(\sqrt{2}-1)\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 0.8284271∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний дев'ятикутник|9]]'''
|
|align="center"|'''≈ 0.6840403∙''R'''''
|
|align="center"|'''≈ 0.7279405∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний десятикутник|10]]'''
|align="center"|<math>\frac{\sqrt{5} -1}{2}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 0.6180339∙''R'''''
|align="center"|<math>2\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}}\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 0.6498393∙''r'''''
|-
|align="center"|'''11'''
|
|align="center"|'''≈ 0.5634651∙''R'''''
|
|align="center"|'''≈ 0.5872529∙''r'''''
|-
|align="center"|'''[[Правильний дванадцятикутник|12]]'''
|align="center"|<math>\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot R</math>
|align="center"|'''≈ 0.5176381∙''R'''''
|align="center"|<math>2(2-\sqrt{3})\cdot r</math>
|align="center"|'''≈ 0.5358984∙''r'''''
|}

=== Формули ===
Нехай &nbsp;‒ <big>''<math>a</math>''</big> сторона правильного n-кутника,<br/>''<big>R</big>'' ‒ радіус [[Описане коло|описаного кола]],<br/>''<big>r</big>'' ‒ радіус [[Вписане коло|вписаного кола]],<br/>''<big>P</big>'' ‒ периметр,<br/><big><math>a_p</math></big> ‒ [[Апофема|апотема]] правильного n-кутника.

==== Довжина сторони та периметр ====
Довжина сторони правильного n-кутника дорівнює:

: <math>a=2\cdot \sin \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot R 
= 2\cdot \mathop{\mathrm{tg}} \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot r =
2\cdot\sqrt{R^2-r^2}</math>

[[Периметр]] ‒ сума всіх довжин сторін правильного n-кутника:

: <math>P=n\cdot a
=2n\cdot \sin \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot R 
= 2n\cdot \mathop{\mathrm{tg}} \left ( \frac{\pi }{n} \right )\cdot r =
2n\cdot\sqrt{R^2-r^2}</math>

Периметри двох правильних n-кутників відносяться як їх відповідні лінійні елементи (сторони, радіуси вписаних чи описаних кіл).

: <math>\frac{P_1}{P_2} =\frac{a}{b} =\frac{r_1}{r_2} =\frac{R_2}{R_2}</math>
[[Файл:Annuli with same area around unit regular polygons.svg|міні|Площа кільця, обмеженого вписаним та описаним колами многокутника|343x343пкс]]

==== Вписане та описане коло ====
Навколо кожного правильного n-кутника можна описати коло, і в кожен правильний n-кутник можна вписати коло. Тобто правильний многокутник є [[Біцентричний многокутник|біцентричним]]. Центри вписаного і опиваного кіл співпадають і знаходяться в центрі правильного n-кутника.

'''Радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]''' правильного n-кутника (дорівнює '''[[Апофема|апофемі]]''' правильного n-кутника) ‒ дотичний до всіх його ребер:

: <math>r= \frac{1}{2} \mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot a =
\cos \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot R = \sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}</math>

'''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''' правильного n-кутника ‒ проходить через всі його вершини:

: <math>R= \frac{1}{2\cdot \sin \left ( \frac{\pi}{n} \right )} \cdot a =
\sec \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot r = \sqrt{r^2+\frac{a^2}{4}}</math>

Площа кільця, утвореного вписаним та описаним колом залежить тільки від довжини сторони: <math>S = \frac{\pi}{4} \cdot a^2
 </math>

==== Площа ====
[[Площа|'''Площу''']] правильного многокутника з числом сторін <math>n</math> можна обчислити за формулами:
{| border="2"
|<math>S= \frac{n}{4}\mathop{\mathrm{ctg}}\left ( \frac{\pi}{n} \right )\cdot a^2  </math> <br/><math>S= \frac{n}{2} \sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )\cdot R^2 </math><br/><math>S= n \cdot \mathop{\mathrm{tg}}\left ( \frac{\pi}{n} \right )\cdot r^2 </math>
|<math>S = \frac{a\cdot n}{2} \sqrt{R^2 -\frac{a^2}{4} }  
= \frac{a\cdot n \cdot r}{2} 
=\frac{1}{2} P \cdot r = p \cdot a_p
 </math> <br/>де ''<big>P</big>'' , p ‒ периметр та півпериметр правильного n-кутника;<br/><big><math>a_p</math></big> ‒ [[Апофема|апотема]] правильного n-кутника;<br/>''<big>r, R</big>''&nbsp;— радіуси вписаного та описаного кіл/ апофема.
|}
Правильний ''n''-кутник можна розбит на n рівних [[Трикутник|рівнобічних трикутників]] з вершинами в центрі многокутника. У кожного із цих трикутників основа дорівнює стороні многокутника, а [[висота]]&nbsp;— його [[Апофема|апотемі]]. Застосовуємо формулу площі трикутника: <math>S=\frac{1}{2}bh,</math>

де ''S''&nbsp;— площа, ''b''&nbsp;— основа, ''h''&nbsp;— висота. Отримуємо формулу для обчислення площі правильного многокутника :

<math>S=\frac{1}{2} a \cdot a_p \cdot n=\frac{1}{2}P\cdot a_p</math>

де ''a''&nbsp;— сторона правильного ''n-кутника'', <math>a_p</math>&nbsp;— апофема, ''P''&nbsp;— [[периметр]].

Площі двох правильних n-кутників відносяться як квадрати їх відповідних лінійних елементів (сторін, радіусів вписаних чи описаних кіл, діагоналей).{{Sfn|Істер О.С.|2017|p=203}}

: <math>\frac{S_1}{S_2} =\frac{a^2}{b^2} =\frac{r_1^2}{r_2^2} =\frac{R_1^2}{R_2^2}</math>

==== Формули для правильного многокутника з подвоєним числом сторін ====
Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний ''n''-кутник зі стороною ''A<sub>n</sub>'' , периметром ''P<sub>n</sub>'' і площею ''S<sub>n</sub>'', і в це ж коло вписано правильний ''n''-кутник зі стороною ''a<sub>n</sub>'' , периметром ''p<sub>n</sub>'' і площею ''s<sub>n</sub>''. Тоді<ref name="J.W.Harris">{{Cite book
|url=https://books.google.com.ua/books?id=DnKLkOb_YfIC&pg=PR7&hl=uk&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false
|title=Handbook of Mathematics and Computational Science
|last=Harris
|first=John W.
|last2=Stöcker
|first2=Horst
|date=1998-07-23
|publisher=Springer Science & Business Media
|language=en
|isbn=978-0-387-94746-4
}}</ref>{{rp|87}}<ref name="Daniel Zwillinger">{{Cite book
|url=https://www.math.stonybrook.edu/~bishop/classes/math126.F20/CRC-math-tables.pdf
|title=CRC Standard Mathematical Tables
|видання=31th ed.
|last=Zwillinger
|first=Daniel
|date=2003
|publisher=Boca Raton, FL: CRC Press LLC
|language=en
|сторінки=840: стор. 332
}}</ref>{{rp|332}}:
{| class="wikitable" ,
|+
!Для вписаного (в це ж коло) 2''n''-кутника з подвоєною кількістю сторін:
: 
!Для описаного (навколо цього ж кола) 2''n''-кутника з подвоєною кількістю сторін:
!У коло радіуса R вписано правильний 2n-кутник зі стороною <big><math>a_{2n}</math></big> і площею <big><math>s_{2n}</math></big>.
|-
|Сторона:
<math>a_{2n}= R\cdot \sqrt{2-2\cdot\sqrt{1-\left ( \frac{a_n}{2\cdot R} \right )^2}}
</math>

<math>a_{2n}= \sqrt{2R^2-R\cdot\sqrt{4R^2-a_n^2 }}= \sqrt{\frac{a_n \cdot A_{2n}}{2}}</math>
|Сторона:
<math>A_{2n}= \frac{2R\cdot A_n}{2R+\sqrt{4R^2+A_n^2}} = \frac{a_n\cdot A_n}{a_n+ A_n}</math>
|Сторона правильного n-кутника, вписаного в це ж коло:
<math>a_{n}= a_{2n}\cdot \sqrt{4 - \left ( \frac{a_{2n}}{R} \right )^2}
</math>
|-
|Периметр:
<math>p_{2n} = \sqrt{p_n\cdot P_{2n}}</math> , <math>p_{2n} > p_n</math>
|Периметр:
<math>P_{2n} = \frac{2p_n\cdot P_n}{p_n+ P_n}</math> , <math>P_n > P_{2n}</math>
|
|-
|Площа:
<math>s_{2n}= \frac{n\cdot R^2}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{1-\sqrt{1-\left ( \frac{2s_n}{n\cdot R^2} \right )^2}}</math>
|Площа:
<math>S_{2n} = \frac{2 s_{2n}\cdot S_n}{s_{2n}+ S_n}</math>
|Площа правильного n-кутника:
<math>s_{n}= s_{2n}\cdot \sqrt{1 - \left ( \frac{s_{2n}}{n\cdot R^2} \right )^2}
</math>
|}
Нехай навколо даного кола радіуса R описано правильний ''n''-кутник зі стороною ''A<sub>n</sub>'' , і в це ж коло вписано правильний ''n''-кутник зі стороною ''a<sub>n</sub>''. Тоді:

<math>a_{n}= \frac{2R\cdot A_n}{\sqrt{4R^2+A_n^2}}</math>

<math>A_{n}= \frac{2R\cdot a_n}{\sqrt{4R^2-a_n^2}}</math>

=== Діагоналі ===
[[Файл:Діагоналі правильного семикутника.png|ліворуч|безрамки|298x298пкс]]
[[Діагональ|'''Діагоналлю''']] многокутника називають [[відрізок]], що з'єднує дві несусідні [[Вершина (геометрія)|вершини]] многокутника. Діагоналі, що виходять з однієї вершини опуклого n–кутника, ділять його на n&nbsp;— 2 трикутники.

Кількість діагоналей правильного n–кутника: <math>\frac{n\cdot (n-3)}{2}</math>

Кут між будь-якими сусідніми діагоналями, що виходять із однієї вершини (включно зі сторонами, що виходять із цієї вершини): <math>\varphi = \frac{\pi}{n}</math>

При парному n, <math>\frac{n}{2}</math> діагоналей правильного многокутника, що мають найбільшу довжину, перетинаються в одній точці&nbsp;— в центрі правильного многокутника;

При непарному n, <math>n</math> діагоналей, що мають найбільшу довжину, при перетині, утворюють всередині n–кутника такий же n–кутник меншого розміру.

Довжини діагоналей правильного n–кутника можна обчислити за формулою:

: <big><math>d_k = \frac{\sin\left ( \frac{(k+1)\cdot \pi}{n} \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )} \cdot a</math></big> , при <math>k = 1, 2,3, ..., n-3  ; (k\in\mathbb{N})</math>

{{Hider|
  title = Вивід формули|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
Кути n-кутника:

:Внутрішній кут: <math>\beta =\frac{(n - 2) \cdot \pi }{n} = \pi - \frac{2 \pi }{n}</math>

:Кут <math>\delta = \beta - \varphi=\frac{(n - 2)\cdot \pi}{n} - \frac{\pi}{n} 
= \pi - \frac{2\pi}{n}-\frac{\pi}{n} =\pi - \frac{3\pi}{n}</math>

:Кут <math>\epsilon = \beta -\left (\pi - \delta - \varphi \right ) =\pi - \frac{2\pi}{n} -\pi + \pi - \frac{3\pi}{n}
+ \frac{\pi}{n} = \pi - \frac{4\pi}{n}</math> , і т.д.

Діагональ '''<math>d_1</math>''' знаходимо, застосовуючи [[Теорема синусів|теорему синусів]]: 
:<math>\frac{a}{\sin (\varphi)} = \frac{d_1}{\sin (\beta)} 
\Longrightarrow d_1 = \frac{ \sin \left ( \pi - \frac{2 \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a =
\frac{ \sin \left (\frac{2 \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a</math>

Аналогічно, діагональ <math>d_2</math> :

:<math>\frac{a}{\sin (\varphi)} = \frac{d_2}{\sin (\delta)} 
\Longrightarrow d_2 = \frac{ \sin \left ( \pi - \frac{3 \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a =
\frac{ \sin \left (\frac{3 \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a</math>

'''<big>...</big>'''

Остання діагональ <math>d_{n-3}</math>:

:<math>d_{n-3} = \frac{ \sin \left ( \pi - \frac{(n-2) \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a =
\frac{ \sin \left (\frac{(n-2) \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a=
\frac{ \sin \left (\frac{2 \pi}{n} \right )}
{\sin \left (\frac{\pi}{n} \right )} \cdot a</math>

Узагальнюючи знайдені значення, отримаємо:

:<math>d_k = \frac{\sin\left ( \frac{(k+1)\cdot \pi}{n} \right )}{\sin\left ( \frac{\pi}{n} \right )} \cdot a</math> , при <math>k = 1, 2,3, ..., n-3</math> ; (k\in\mathbb{N})

}}Всі діагоналі правильного ''n''-кутника при перетині ділять його на '''1, 4, 11, 24, 50, 80, 154, 220, 375, 444'''… частин (відповідно для n = 3, 4, 5, …) {{oeis|A007678}}.

Кількість точок перетину діагоналей усередині правильного многокутника: '''0, 1, 5, 13, 35, 49, 126, 161, 330, 301''',… (відповідно для n = 3, 4, 5, …) {{oeis|A006561}}.

* Найбільша кількість діагоналей правильного <math>n</math>-кутника, що перетинаються в одній точці, яка не є його [[Вершина (геометрія)|вершиною]] або центром, дорівнює:
** 2, якщо ''n'' [[Парність (математика)|непарне]];
** 3, якщо ''n'' [[Парність (математика)|парне]], але не [[Подільність|ділиться]] на 6;
** 5, якщо ''n'' ділиться на 6, але не ділиться на 30;
** 7, якщо ''n'' ділиться на 30
: Для цих значень існує три виключення: ця кількість = 0 в [[трикутник]]у, 2 в [[шестикутник]]у та 4 в [[дванадцятикутник]]у.<ref name="Bjorn Poonen">{{Cite web|url=https://arxiv.org/abs/math/9508209|title="The number of intersection points made by thediagonals of a regular polygon"|last=Bjorn Poonen and Michael Rubinstein|language=англ|doi=10.48550/arXiv.math/9508209}}</ref>.
Нехай існує наступна [[Функція (математика)|функція]] <math>\delta_m(n)= \begin{cases} 1, & \text{якщо }n\text{ ділиться на}  m\\ 0, 
& \text{якщо }n\text{ не ділиться на }  m \end{cases}</math>. Тоді:
* Кількість точок перетину діагоналей правильного n-кутника дорівнює<ref name="Bjorn Poonen" />
: <big><math>\begin{array}{l}C_n^4+ \frac{-5 n^{3}+45 n^{2}-70 n+24}{24}\cdot \delta_{2}(n)-\frac{3 n}{2}\cdot \delta_{4}(n)+
\frac{-45 n^{2}+262 n}{6} \cdot \delta_{6}(n)+42 n \cdot \delta_{12}(n)+60 n \cdot \delta_{18}(n)+
35 n \cdot \delta_{24}(n) - \\ 
-38 n \cdot \delta_{30}(n)-82 n \cdot \delta_{42}(n)-330 n \cdot \delta_{60}(n)- 
144 n \cdot \delta_{84}(n)-96 n \cdot \delta_{90}(n)-144 n \cdot \delta_{120}(n)-96 n \cdot \delta_{210}(n) \end{array}</math></big>
: Де <math>C_n^4</math>&nbsp;— [[Комбінація (комбінаторика)|число сполук]] із <math>n</math> по <math>4</math>.
* Кількість частин, на які діагоналі при перетині ділять правильный n-кутник дорівнює:<ref name="Bjorn Poonen" />
: <big><math>\begin{array}{l}
\frac{n^{4}-6 n^{3}+23 n^{2}-42 n+24}{24}+ \frac{-5 n^{3}+42 n^{2}-40 n-48}{48} \cdot \delta_{2}(n)-\frac{3 n }{4} \cdot \delta_{4}(n)
+ \frac{-53 n^{2}+310 n}{12} \cdot \delta_{6}(n)+ \frac{49 n}{2} \cdot \delta_{12}(n)+32 n \cdot \delta_{18}(n)+ \\
+19 n \cdot \delta_{24}(n)-36 n \cdot \delta_{30}(n)-50 n \cdot \delta_{42}(n)-190 n \cdot \delta_{60}(n)
-78 n \cdot \delta_{84}(n)-48 n \cdot \delta_{90}(n)-78 n \cdot \delta_{120}(n)-48 n \cdot \delta_{210}(n)
\end{array}</math></big>

Для правильного ''n''-кутника, вписаного в коло одиничного радіуса, добуток відстаней від даної вершини до всіх інших вершин (включно із суміжними вершинами та вершинами, з'єднані діагоналями) дорівнює ''n''.[https://www.quora.com/Consider-a-regular-n-sided-polygon-circumscribed-by-the-unit-circle-How-to-prove-the-product-of-the-length-of-line-segments-formed-by-joining-one-vertex-of-the-regular-polygon-to-the-rest-of-the-vertices-equals-to-n]

Сума квадратів всіх сторін та всіх діагоналей правильного ''n''-кутника, вписаного в коло радіуса R дорівнює ''n''<sup>2</sup>''R''<sup>2</sup><ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|73, наслідок}}

=== Координати вершин ===
Нехай <math>x_0</math> та <math>y_0</math>&nbsp;— координати центра, а <math>R</math>&nbsp;— [[радіус]] описаного навколо правильного многокутника [[коло|кола]], <math>{\phi}_0</math>&nbsp;— кутова координата першої вершини, тоді декартові координати вершин правильного многокутника визначаються формулами

: <math>x_i = x_0 + R \cos \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)</math>,
: <math>y_i = y_0 + R \sin \left( {\phi}_0 + \frac{2 \pi i}{n} \right)</math>,

де <math>i = 0, \dots, n - 1</math>.

=== Симетрія ===
[[Файл:Hexagon reflections.svg|міні|Шість [[Вісь симетрії|осьових симетрій]] правильного шестикутника]]
[[Групи симетрії|Групою симетрії]] правильного n-кутника є [[діедральна група]] D<sub>''n''</sub> (порядку 2n): D<sub>2</sub>, D<sub>3</sub>, D<sub>4</sub>, … Вона складається з ''n'' [[Обертова симетрія|обертових симетрій]] і ''n'' [[Осьова симетрія|осьових симетрій]].

Якщо ''n'' [[Парне число|парне]], тоді існує ''n''/2 осей симетрій, що проходять через дві протилежні [[Вершина (геометрія)|вершини]], а інша половина через середини протилежних сторін.

Якщо ''n'' непарне, то всі осі проходять через вершину та середину протилежної сторони.

Так чи інакше, існує ''n'' осей симетрії і 2''n'' елементів у групі симетрій. [[Відбиття (геометрія)|Відбиття]] відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями.

== Властивості ==

# Всі бісектриси кутів між сторонами рівні і проходять через центр правильного многокутника.
# Всі серединні перпендикуляри проходять через центр правильного многокутника. Щоб знайти центр правильного n-кутника, достатньо знайти точку перетину двох серединних перпендикулярів, проведених до сусідніх сторін.
# [[Центр мас]] правильного n-кутника лежить у його геометричному центрі
# Правильний n-кутник можна [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|побудувати за допомогою циркуля й лінійки]] [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли <math>n=2^k\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m</math>, де&nbsp;— різні прості [[числа Ферма]].
#* Зокрема, правильний n-кутник є таким, що будується, якщо ''n'' = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, … послідовність {{oeis|A003401}}
# Правильними n-кутниками можна [[Теселяція|замостити]] площину без проміжків та накладень тільки при n = 3, 4 та 6 , тобто тільки [[Правильний трикутник|правильними трикутниками]], [[квадрат]]ами та [[Правильний шестикутник|правильними шестикутниками]].

[[Файл:Правильний семикутник Теорема Вівіані.png|міні|244x244пкс|Теорема Вівіані для правильного семикутника]]
[[Теорема Вівіані|'''<big>Теорема Вівіані</big>''']] для правильного n-кутника

У своєму виданні п'ятої книги «<nowiki/>[[Конічні перетини]]<nowiki/>» [[Аполлоній Перзький|Аполлонія]]<ref name="Apolonio de Pérgamo">{{cite book
|url=https://books.google.com.ua/books?id=zl0ImOLe4vUC&pg=RA1-PA146
|title=De maximis et minimis geometrica…
|last1=Apolonio de Pérgamo
|first1=
|last2=Vincenzo
|first2=Viviani
|date=1659
|publisher=Appendice
|pages=146
|language=італ.
}}</ref> Вівіані надає таку теорему:
{| class="wikitable"
|У [[Правильний многокутник|правильному опуклому n-кутнику]] сума відстаней від будь-якої точки всередині многокутника до його сторін (або їх продовжень) постійна і не залежить від розташування точки.
|}
Зокрема, якщо <math>h_i</math> ‒ відстані від деякої точки Р, що лежить всередині правильного n-кутника, до його сторін,

<math>a_p</math> ‒ [[Апофема|апотема]] цього n-кутника, то виконується рівність<ref name="Chen">{{cite journal|last1=Chen|first1=Zhibo|last2=Liang|first2=Tian|year=2006|title=The converse of Viviani's theorem|url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2006-11_37_5/page/390|journal=The College Mathematics Journal|volume=37|issue=5|pages=390–391|doi=10.2307/27646392|jstor=27646392}}</ref><ref name="Johnson, Roger A.">{{Cite book
|last=Johnson, Roger A.
|title=Advanced Euclidean Geometry
|url=https://www.isinj.com/mt-usamo/Advanced%20Euclidean%20Geometry%20-%20Roger%20Johnson%20(Dover,%201960).pdf
|year=2007 (orig. 1929)
|publisher=Dover Publ.
|pages=319:стор.72-73 
|language=англ.
}}</ref>{{rp|72}}

<big><math>\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle h_i = a_p \cdot n</math></big>

[[Файл:Правильний семикутник. Теореми з описаним колом.png|ліворуч|міні|313x313пкс|Ілюстрація теорем, пов'язаних з описаним колом правильного многокутника]]
Сума довжин перпендикулярів, опущених з вершин правильного n-кутника на будь-яку пряму, дотичну до описаного кола, дорівнює радіусу описаного кола, помноженому на n:<ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|73}}

<big><math>\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle \ell_i = n \cdot R</math></big>

Сума квадратів відстаней від вершин правильного n-кутника до будь-якої точки на описаному колі дорівнює,<ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|73}}

<big><math>\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle d_i^2 = 2n \cdot R^2 </math></big>

де R&nbsp;— радіус описаного кола.

Сума квадратів відстаней від середин сторін правильного n-кутника до будь-якої точки описаного кола дорівнює<ref name="Johnson, Roger A." />{{rp|73}}

<big><math>\textstyle \sum_{i=1}^n \displaystyle m_i^2 = 2n\cdot R^2  - \frac{1}{4} n\cdot a^2</math></big>

де <math>a</math>&nbsp;— довжина сторони правильного n-кутника

Якщо <math>d_i</math>&nbsp;— відстані від вершин правильного <math>n</math>-кутника до будь-якої точки на описаному колі, то:<ref name="Mamuka">Meskhishvili, Mamuka '' {{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>
: <math>3\left(\sum_{i=1}^n d_i^2\right)^2 = 2n \sum_{i=1}^n d_i^4 </math>.

'''<big>Точка в площині правильного n-кутника</big>'''

Нехай ''<big><math>d_i</math></big>''&nbsp;— відстані від довільної точки площини до вершин правильного ''n''-кутника, а ''R''&nbsp;— радіус описаного кола. Тоді виконується рівність:<ref>{{cite journal|last1= Park|first1= Poo-Sung|date= 2016|title= "Regular polytope distances"|journal= Forum Geometricorum|volume= 16|pages= 227-232|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|access-date= 2023-07-26|archive-date= 2016-10-10|archive-url= https://web.archive.org/web/20161010184811/http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf|url-status= dead}}</ref>

: <math>\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i^4 + 3R^4 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i^2 + R^2\right)^2.</math>

Існують формули для більших показників степеня відстаней <math>d_i</math>. Якщо:

: <math>S^{(2m)}_{n}=\frac 1n\sum_{i=1}^n d_i^{2m}</math>,

то:<ref name="Mamuka"/>

: <math>S^{(2m)}_{n} = \left(S^{(2)}_{n}\right)^m + \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k}R^{2k}\left(S^{(2)}_{n} - R^2\right)^k\left(S^{(2)}_{n}\right)^{m-2k}</math>,

а також

: <math> S^{(2m)}_{n} = \left(S^{(2)}_{n}\right)^m + \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\frac{1}{2^k}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k} \left(S^{(4)}_{n} -\left(S^{(2)}_{n}\right)^2\right)^k\left(S^{(2)}_{n}\right)^{m-2k}</math>,

де <math>m</math>&nbsp;— додатне ціле число менше ніж <math>n</math>.

Якщо <math>L</math>&nbsp;— відстань від довільної точки на площині до центра правильного ''n''-кутника з радіусом описаного кола <math>R</math>, то:<ref name="Mamuka" />

: <math>\sum_{i=1}^n d_i^{2m}=n\left(\left(R^2+L^2\right)^m+ \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\binom{m}{2k}\binom{2k}{k}R^{2k}L^{2k}\left(R^2+L^2\right)^{m-2k}\right)</math>,
де <math>m</math> = 1, 2, …, <math>n - 1</math>.

== Застосування ==
Правильними многокутниками за визначенням є грані [[Правильний многогранник|правильних многогранників]].

Давньогрецькі математики ([[Антіфон]], {{li|Брісон||Q995351}}, [[Архімед]] та ін.) використовували правильні многокутники для обчислення числа [[Пі|<math>\pi</math>]]. Вони обчислювали площі вписаних в коло і описаних навколо нього многокутників, поступово збільшуючи число їх сторін і отримуючи таким чином оцінку площі кола.<ref>''Жуков А.&nbsp;В.'' Про число <math>\pi</math>.&nbsp;— М.:&nbsp;МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.</ref>

== Історія ==
Побудова правильного многокутника (''n''-кутника) [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля та лінійки]] залишалась проблемою для математиків до XIX століття. Така побудова ідентична розділенню кола на ''n'' рівних частин, оскільки з'єднавши між собою точки, що ділять коло на рівні частини, можна отримати шуканий многокутник.

[[Евклід]] у своїх «[[Начала Евкліда|Началах]]» описав побудову правильних многокутників у Книзі IV і вирішив задачу для ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. Він визначив певний критерій можливості побудувати многокутник, хоча цей критерій і не було описано в «Началах». Давньогрецькі математики вміли будувати многокутник з 2<sup><span size=-1>''m''</span></sup> сторонами (при цілому ''m'' > 1), маючи вже побудований многокутник із кількістю сторін 2<sup><span size=-1>''m&nbsp;— 1''</span></sup>: поділом дуги на дві частини. Таким чином із двох півкіл можна побудувати [[квадрат]], потім [[правильний восьмикутник]], правильний шістнадцятикутник і так далі. Окрім цього, в тій же книзі Евклід вказав і другий критерій: якщо відомо, як будувати многокутники з ''r'' та ''s'' сторонами, де ''r'' та ''s''&nbsp;— [[взаємно прості числа]], то можна побудувати і многокутник із ''r × s'' сторонами. Синтезуючи ці два способи, можна дійти висновку, що стародавні математики вміли будувати правильні многокутники з <math> 2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2} </math> сторонами, де ''m''&nbsp;— ціле невід'ємне число, <math>{p_1}, {p_2}</math>&nbsp;— числа 3 та 5, а <math>{k_1}, {k_2}</math> приймають значення 0 або 1.

Середньовічна математика майже ніяк не просунулась у цьому питанні. Лише 1796 року [[Карл Фрідріх Гаус|Карлу Фрідріху Гаусу]] вдалося довести, що коли кількість сторін правильного многокутника дорівнює простому [[Числа Ферма|числу Ферма]], до яких, крім 3 та 5, належать 17, 257 и 65537, то його можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки. Якщо брати взагалі, із цього випливає, що правильний многокутник можливо побудувати, якщо кількість його сторін дорівнює <math>2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}</math>, де <math>{k_0}</math>&nbsp;— ціле невід'ємне число, <math>{k_1},{k_2}\cdots{k_s}</math> набувають значення 0 або 1, а '''<math>\mathrm{p_j}</math>'''&nbsp;— прості числа Ферма.

Гаус підозрював, що ця умова є не тільки [[Необхідна і достатня умова|достатньою, але й необхідною]], але вперше це довів [[П'єр Лоран Ванцель]] 1836 року.

Крапку в справі побудови правильних многокутників поставила побудова правильних [[Правильний сімнадцятикутник|17-]], [[Правильний 257-кутник|257-]] та [[Правильний 65537-кутник|65537-кутників]]. Першу винайшов [[Йоханес Ерхінгер]] 1825 року, другу&nbsp;— [[Фрідріх Юліус Рішело]] 1832 року, третю&nbsp;— [[Іоган Густав Гермес]] 1894 року.

Відтоді проблема вважається повністю вирішеною.

== Розбиття ==
[[Гарольд Коксетер]] стверджує, що кожен [[зоногон]] (2m-кутник, протилежні сторони якого паралельні й мають однакову довжину) можна розрізати на

<math>\binom{m}{2} = \frac{m\cdot (m-1)}{2}
</math> паралелограмів. Ці мозаїки містяться як підмножини вершин, ребер і граней в ортогональних проекціях [[Гіперкуб|m-кубів]]<ref>Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, стор.141</ref>.

Зокрема, це справедливо для будь-якого правильного многокутника з парною кількістю сторін, у цьому випадку всі паралелограми є ромбами.

Послідовність {{OEIS2C|1=A006245}} містить кількість ромбів у розбитті правильного 2m-кутника.
{| class="wikitable"
|+ Приклади розбиття на ромби правильних 2m-кутників
!2''m''
![[Hexagon#Dissection|6]]
![[Octagon#Dissection|8]]
![[Decagon#Dissection|10]]
![[Dodecagon#Dissection|12]]
![[Tetradecagon#Dissection|14]]
![[Hexadecagon#Dissection|16]]
![[Octadecagon#Dissection|18]]
![[Icosagon#Dissection|20]]
![[Icositetragon#Dissection|24]]
![[Triacontagon#Dissection|30]]
!40
!50
|- align="center" valign="top"
!Зображення
|[[Файл:6-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:8-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:Sun_decagon.svg|60px]]
|[[Файл:12-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:14-gon-dissection-star.svg|60px]]
|[[Файл:16-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:18-gon-dissection-star.svg|60px]]
|[[Файл:20-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:24-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:30-gon-dissection-star.svg|60px]]
|[[Файл:40-gon rhombic dissection.svg|60px]]
|[[Файл:50-gon-dissection-star.svg|60px]]
|- align="center" valign="top"
!Ромби
|3
|6
|10
|15
|21
|28
|36
|45
|66
|105
|190
|300
|}

== Див. також ==
* [[Теорема Гаусса — Ванцеля]]
* [[Найбільший многокутник одиничного діаметра]]
* [[Фігурні числа]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Література ==

* {{Книга
|автор = Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.
|заголовок = 
|рік = 1966
|том = 
|сторінки = 240 : стор. 51-61
|назва = Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів
|видавництво = Гімназія
|місце = Харків
|ISBN = 978-966-474-295-2
}}
* {{Книга
|автор = Істер О.С.
|заголовок = 
|рік = 2017
|том = 
|сторінки = 243 : стор. 203
|назва = Геометрія: 9 клас
|видавництво = Генеза
|місце = Київ
|ISBN = 978-966-11-0844-7
|посилання = http://www.isbn.run/08447f/#p=1
|ref = Істер О.С.
}}

== Посилання ==

* [http://www.polytope.net/hedrondude/polygons.htm Regular Polygons and Other Two Dimensional Shapes]
* Weisstein, Eric W. [https://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html RegularPolygon.] From ''MathWorld''

{{многокутники}}{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Правильні многокутники|*]]