Перегляд вихідного коду сторінки Правильний многогранник

{{unibox}}[[Файл:Platonic solids.jpg|thumb|]]
'''Пра́вильний многогра́нник''' або '''Плато́нове ті́ло'''&nbsp;— опуклий [[многогранник]] з максимально можливою [[симетрія|симетрією]], тобто всі його грані&nbsp;— рівні правильні многокутники, а всі вершини рівновіддалені від деякої точки, яку означають центром<ref name="Бевз">''Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г.'' Геометрія 10-11 клас.&nbsp;— {{К.}} : Вежа, 2002.&nbsp;— С. 103. ISBN 966-7091-31-7.</ref>.

Многогранник називається правильним, якщо:
* він опуклий;
* всі його грані є рівними правильними [[многокутник]]ами;
* в кожній його вершині сходиться однакове число граней;
* всі його двогранні кути рівні.

Існує всього п'ять правильних многогранників, які були віднайдені ще за античних часів:

{| class = "wikitable" style="text-align: center"
|-
!colspan=2 | Многогранник !! Вершини кутів !! [[Ребро (геометрія)|Ребра]] !! Грані !! [[Символ Шлефлі]]
|-
|'''[[Правильний тетраедр]]''' (чотиригранник)
|[[Файл:tetrahedron.svg|50px|Tetrahedron]]
|4||6||4||{3, 3}
|-
|'''[[Куб]]''' (шестигранник)
|[[Файл:hexahedron.svg|50px|Hexahedron (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}
|-
|'''[[Октаедр]]''' (восьмигранник)
|[[Файл:octahedron.svg|50px|Octahedron]]
|6||12||8||{3, 4}
|-
|'''[[Правильний додекаедр]]''' (дванадцятигранник)
| [[Файл:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodecahedron]]
|20||30||12||{5, 3}
|-
|'''[[Ікосаедр]]''' (двадцятигранник)
| [[Файл:icosahedron.svg|50px|Icosahedron]]
|12||30||20||{3, 5}
|}

== [[Старші розмірності]] ==
В чотиривимірному просторі всього існує 6 правильних многогранників.
{| class="wikitable" style="margin: auto; text-align: center;"
|-
| [[Файл:Stereographic polytope 5cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 8cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 16cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 24cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 120cell.png|105px]]
| [[Файл:Stereographic polytope 600cell.png|105px]]
|}

У всіх просторах розмірності більше 4&nbsp;— існує тільки 3 типи правильних многогранників: n-вимірний [[симплекс]], n-вимірний октаедр і n-вимірний куб ([[гіперкуб]]).

== Історія ==
{{Сирий переклад|en||розділ}}
Платонові тіла відомі ще з античності. Існує припущення, що певні [[різьблені кам'яні кулі]], які були створені людьми {{iw|Pottery_Neolithic|пізнього неоліту|en|Pottery_Neolithic}} [[Шотландії]], представляють ці форми; однак ці кулі радше мають округлені півсфери, а не многогранні; кількість таких півсфер часто відрізняється від числа вершин тіл Платона, немає кулі, чиї півсфери відповідали б 20 вершинам додекаедра, а розташування сфер не завжди було симетричний.<ref>{{Cite news|title=How old are the Platonic Solids?|url=https://doi.org/10.1080/17498430.2012.670845|work=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|date=2012-11-01|accessdate=2019-12-23|issn=1749-8430|doi=10.1080/17498430.2012.670845|pages=131–140|volume=27|issue=3|first=D. R.|last=Lloyd}}</ref>

[[Стародавня Греція|Стародавні греки]] широко вивчали Платонові тіла. Деякі джерела (наприклад, [[Прокл Діадох]]) приписують їхнє відкриття [[Піфагор]]у. Інші дані свідчать про те, що він, можливо, був лише знайомий з тетраедром, кубом та додекаедром, і що відкриття октаедра та ікосаедра належать {{iw|Theaetetus_(mathematician)|Театету|en|Theaetetus_(mathematician)}}, сучаснику Платона. У будь-якому випадку, Театет дав математичну характеристику всіх п'яти і, можливо, саме він відповідальний за перший відомий доказ того, що немає інших опуклих правильних многогранників.

{{multiple image
 | align = right |total_width=500
 | image1 = Kepler Hexahedron Earth.jpg |width1=290|height1=304
 | image2 = Kepler Icosahedron Water.jpg |width2=306|height2=328
 | image3 = Kepler Octahedron Air.jpg |width3=328|height3=334
 | image4 = Kepler Tetrahedron Fire.jpg |width4=367|height4=328
 | image5 = Kepler Dodecahedron Universe.jpg |width5=330|height5=332
 | footer = Відповідність стихій і всесвіту правильним многоранникам в книзі [[Йоганн Кеплер|Кеплера]] ''[[Harmonices Mundi]] (Гармонія світу)''
}}
Платонові тіла є визначними у філософії [[Платон]]а. Платон писав про них у діалозі «[[Тімей (Платон)|Тімей]]» близько 360 до н.&nbsp;е. в якому він пов'язував кожну із чотирьох [[Стихія (алхімія)|стихій]] (земля, повітря, вода та вогонь) із правильними многогранниками. Земля була пов'язана з кубом, повітря з октаедром, вода з ікосаедром, а вогонь з тетраедром. Ці асоціації були інтуїтивно виправдані: жар вогню відчувається різким і колючим (як маленькі тетраедри). Повітря зроблене з октаедра; її мізерні компоненти настільки гладкі, що їх ледве можна відчути. Вода, ікосаедр, витікає з руки, коли її збирають, наче вона зроблена з крихітних кульок. І навпаки, несферичне тверде тіло, шестигранник (куб) являє собою «землю». Більше того, куб був єдиним тілом Платона, яке «[[Теселяція|теселював]]» [[Евклідів простір]], що, як вважалося, і спричиняє твердість Землі.

Про п'яте Платонівське тіло, додекаедр, Платон незрозуміло зауважує, «… бог використовував [це] для розташування сузір'їв на всьому небі». [[Арістотель]] додав п'ятий елемент, [[Ефір (стихія)|aithēr]] (aether по-латині, «ether» англійською) і постулював, що небеса були зроблені з цього елемента, однак він не мав зацікавленості в тому, щоб поєднати його з п'ятим тілом Платона.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.ua/books?id=af3XzdAvB_cC&pg=PA11&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether|last=Wildberg|first=Christian|date=1988|publisher=Walter de Gruyter|language=en|isbn=978-3-11-010446-2}}</ref>

[[Евклід]] чисто математично описав Платонові тіла в своїх [[Начала Евкліда|Началах]], остання книга яких (Книга XIII) присвячена їхнім властивостям. Положення 13–17 у книзі XIII описують побудову тетраедра, октаедра, куба, ікосаедра та додекаедра в такому порядку. Для кожного твердого тіла Евклід знаходить відношення діаметра описаної сфери до довжини ребра. У положенні 18 він стверджує, що більше немає опуклих правильних многогранників. {{iw|Андреас Шпейзер|||Andreas_Speiser}} висловив думку про те, що побудова 5 правильних твердих тіл є головною метою дедуктивної системи, канонізованої в Началах.<ref>{{Cite book|url=http://archive.org/details/symmetry0000weyl|title=Symmetry|last=Weyl|first=Hermann|date=1952|publisher=Princeton : Princeton University Press}}</ref> Значна частина відомостей у книзі XIII, ймовірно, походить із твору «Теетет».

У 16 столітті німецький [[астроном]] [[Йоганн Кеплер|Йоганнес Кеплер]] спробував зв'язати п'ять відомих на той час позаземних [[Планета|планет]] до п'яти Платонівських тіл. У публікації [[Таємниця світу|Mysterium Cosmographicum]], опублікованій в 1596 році, Кеплер запропонував модель [[Сонячна система|Сонячної системи]], в якій п'ять твердих тіл були встановлені всередині один одного і розділені рядом [[Вписана сфера|вписаних]] і [[Описана сфера|описаних сфер]]. Кеплер припустив, що відстань між відомими тоді шістьма планетами можна зрозуміти через п'ять твердих тіл Платона, укладених у сферу, що представляє орбіту [[Сатурн (планета)|Сатурна]]. Кожна із шести сфер відповідала одній із планет ([[Меркурій (планета)|Меркурій]], [[Венера (планета)|Венера]], [[Земля]], [[Марс (планета)|Марс]], [[Юпітер (планета)|Юпітер]] та Сатурн). Многогранники були впорядковані з октаедром, що знаходився по центру, за ним ікосаедр, додекаедр, тетраедр і, нарешті, куб, тим самим диктуючи структуру Сонячної системи та відстані між планетами за тілами Платон. Зрештою, від первісної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але з його досліджень вийшли [[Закони Кеплера|його три закони орбітальної динаміки]], перший з яких говорив про те, що орбіти планет є еліпсами, а не колами, що змінило курс фізики та астрономії. Він також виявив [[Тіло Кеплера — Пуансо|тіла Кеплера — Пуансо]].

У 20 столітті спроби зв'язати Платонові тіла з фізичним світом були розширені на [[Електронна конфігурація|моделі електронної оболонки]] в хімії {{Нп|Роберт Мун|Робертом Муном||Robert_James_Moon}} в теорії, відомій як «модель Місяця».<ref>{{Cite book|url=http://21sci-tech.com/Articles%202005/MoonModel_F04.pdf|title=New explorations with the Moon Model|last=Hecht|first=Laurence|year=Fall 2004|publisher=|location=21st Century Science and Technology|pages=58|language=English|isbn=}}</ref>

== Комбінаторні властивості ==

* [[Леонард Ейлер|Л. Ейлером]] була виведена формула, що зв'язує число вершин (В), граней (Г) і ребер (Р) будь-якого опуклого многогранника простим співвідношенням: В + Г = Р + 2.

* Відношення кількості вершин правильного многогранника до кількості ребер однієї його грані дорівнює відношенню кількості граней цього ж многогранника до кількості ребер, що виходять з однієї його вершини. У тетраедра це відношення дорівнює 4: 3, у гексаедр і октаедра&nbsp;— 2: 1, а у додекаедра і ікосаедра&nbsp;— 4: 1.

* Правильний многогранник може бути комбінаторно описаний [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]] {p, q}, де: p&nbsp;— число ребер в кожній грані;

q&nbsp;— число ребер, що сходяться в кожній вершині.
{| class="wikitable"
!Многогранник
!Вершини
!Ребра
!Грані
!Символ Шлефлі
|-
|тетраедр
|4
|6
|4
|{3, 3}
|-
|гексаедр (куб)
|8
|12
|6
|{4, 3}
|-
|октаедр
|6
|12
|8
|{3, 4}
|-
|додекаедр
|20
|30
|12
|{5, 3}
|-
|ікосаедр
|12
|30
|20
|{3, 5}
|}

* Комбінаторною характеристикою многогранника, яку можна виразити через числа p і q, є загальна кількість вершин (В), ребер (Р) і граней (Г). Оскільки будь-яке ребро з'єднує дві вершини і лежить між двома гранями, виконуються співвідношення:

<math>p\Gamma=2\Rho=q\Beta </math>

З цих співвідношень і формули Ейлера можна отримати формули для В, Г і Р:

<math>\Beta=\frac{4p}{4-(p-2)(q-2)},   \Rho=\frac{2pq}{4-(p-2)(q-2)},\Gamma=\frac{4q}{4-(p-2)(q-2)}. </math>

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Платонів граф]]
* [[Правильний многокутник]]

== Примітки ==
{{reflist}}

{{Math-stub}}
{{Перекласти|en|Platonic solid}}
{{Багатогранники}}
[[Категорія:Правильні многогранники]]