Перегляд вихідного коду сторінки Правильний додекаедр

{{otheruses|Додекаедр (значення)}}
{| border="2" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" width="400" style="margin-left:10px"
! colspan="2" bgcolor="#e7dcc3" |<span style="color: MediumBlue"><big><big>Правильний додекаедр</big></big> </span> [[Файл:3dflags_ukr0001-0002a.gif|50x50пкс]]
|-
| colspan="2" align="center" |[[Файл:Dodecahedron.svg|210x210пкс]]
[[:Файл:Dodecahedron.gif|Натисніть тут]] , щоб подивитися обертання моделі

|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Тип'''
|[[Правильний многогранник]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Властивості'''
|[[Опуклий політоп|Опуклий]], рівносторонній,[[Однорідний многогранник|однорідний]], [[Ізогональність|вершинно-транзитивний]], [[Ізоедральне тіло|гране-транзитивний]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FB" align="center" |<big>'''Комбінаторика'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''
|12 граней ({5}) <br/> 30 ребер <br/> 20 вершин (3-го [[Степінь вершини (теорія графів)|степеня]])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Грань (геометрія)|Грані]]'''
|12 [[Правильний п'ятикутник|Правильних п'ятикутників]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Характеристика Ейлера]]'''
|<math>\chi=\Gamma-\hbox{P}+\hbox{B} = 2</math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Конфігурація вершини]]'''
|5.5.5 = 5<sup>3</sup> <br/> В кожній вершині сходяться 3 п'ятикутника.
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Вершинна фігура]]'''
|[[Правильний трикутник]] <br/>[[Файл:Dodecahedron_vertfig.png|ліворуч|100x100пкс]] з довжиною сторони  <math>\frac{1 +\sqrt{5}}{2}  </math>
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center" |<big>'''Класифікація'''</big>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Позначення'''
|• D (в {{Не перекладено|Нотація Конвея для многогранників|нотації Конвея|en|Conway polyhedron notation}} ) <br/> • D<sub>5</sub> (в [https://polytope.miraheze.org/wiki/Stewart_notation нотації Стюарта]) <br/>• [[Однорідний многогранник|U]]<sub>23</sub> (як однорідний многогранник) <br/>• C<sub>26</sub> (в нотації [[Гарольд Коксетер| Г. Коксетера]]) <br/>• [[Список моделей многогранників Веннінґера|W]]<sub>5</sub> (в нотації [[Маґнус Веннінґер|М. Веннінґера]])
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''
|<math> \left \{ 5, 3 \right \} </math>
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |{{Не перекладено|Символ Витгоффа|Символ Витгоффа|en|Wythoff_symbol}} 
| |3  {{!}} 2 5
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]'''
|{{ДКД|node_1|5|node|3|node}}
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Діаграма Шлегеля]]'''
|[[Файл:Dodecahedron_schlegel.svg|100x100пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''
|{{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|I<sub>h</sub>|en|Icosahedral symmetry}}, H<sub>3</sub>, [5,3], (*532), порядок 120 <br/> (Повна ікосаедрична симетрія)
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Ортогональна група|Група обертань]]'''
|I, [5,3]<sup>+</sup>, (532), порядок 60
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий многогранник]]'''
|[[Правильний ікосаедр]] <br/> [[Файл:Icosahedron.png|94x94пкс]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Розгортка]]'''
|[[Файл:Dodecahedron_flat.svg|200x200пкс]]
|}
'''Правильний додека́едр''' (від {{lang-el|δώδεκα}} — дванадцять і {{lang-el|ἕδρα}} — грань) — [[Правильний многогранник|правильний]] [[дванадцятигранник]], об'ємна геометрична фігура, поверхня якої складена з дванадцяти [[Правильний п'ятикутник|правильних п'ятикутників]], є одним з п’яти опуклих [[Правильний многогранник|правильних многогранників]] (тіл Платона).
[[Файл:Dodekaeder-Animation.gif|ліворуч]]
Додекаедр складений з 12 правильних п'ятикутних граней.

Має 30 ребер однакової довжини та 20 [[Вершина (геометрія)|вершин]] (у кожній сходяться 3 ребра). Кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п'ятикутників.


Його [[символ Шлефлі]]&nbsp;— <math>\left \{ 5,  3 \right \}</math>. Це означає, що кожна вершина оточена трьома [[Правильний п'ятикутник|правильними п'ятикутниками]]; або також це означає для многогранника, що його грань — , [[правильний п'ятикутник]] а [[вершинна фігура]] — [[правильний трикутник]] . {{Sfn|H. S. M. Coxeter|1954}} {{rp|стор.410}} 

Правильний додекаедр має повну {{Не перекладено|Ікосаедрична симетрія|ікосаедричну симетрію|en|Icosahedral symmetry}} I<sub>h</sub>, [[Група Коксетера|групу Коксетера]] [5,3], порядку 120, з абстактною структурою групи [[Знакозмінна група|''A''<sub>5</sub>]] × [[Циклічна група|''Z''<sub>2</sub>]].
[[Файл:Додекаедр_1.png|ліворуч|міні|235x235px|Правильний додекаедр]]
Правильний додекаедр має 31 [[Вісь симетрії|вісь]] [[Ортогональна група|обертової симетрії]]:

‒ 6 осей 5-го порядку ‒ проходять через центри протилежних граней; (поворот на 72°, 144°, 216° і 288° або {{Ндріб|2π|5}},  {{Ндріб|4π|5}}, {{Ндріб|6π|5}}, {{Ндріб|8π|5}} [[радіан]]);

‒ 10 осей 3-го порядку ‒ проходять через протилежні вершини; (поворот на 120° і 240° або {{Ндріб|2π|3}} і  {{Ндріб|4π|3}} [[радіан]]);

‒ 15 осей 2-го порядку ‒ проходять через середини протилежних паралельних ребер (поворот на 180° або ''{{Mvar|π}}''  [[радіан]]).

Правильний додекаедр має 15 площин [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.

Має [[Центральна симетрія|центр симетрії]] (в ньому перетинаються всі осі та площини симетрії).

Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°.

Правильний додекаедр є третім в нескінченній серії {{Не перекладено|Зрізаний трапецоедр|зрізаних трапецоедрів|en|Truncated trapezohedron}}.

Правильний додекаедр має три [[Ззірчення|зірчасті]] форми.

== Геометрія ==

[[Файл:Додекаедр,_вписаний_куб.png|ліворуч|міні|273x273пкс|Куб, вписаний в додекаедр]]

* Правильний додекаедр з довжиною ребра <math>a</math> можна побудувати, наростивши грані [[Куб|куба]] з довжиною ребра <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a </math> шістьма однаковими [[Клин (геометрія)|клинами]] певних розмірів таким чином, щоб сусідні трикутні та трапецієподібні грані клинів утворювали [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]]. {{Sfn|Peter R. Cromwell||с=451}}{{rp|Стор.69}}
* У додекаедр можна вписати куб так, що сторони куба будуть діагоналями додекаедра.
* Правильний додекаедр може бути отриманий шляхом [[Зрізання (геометрія)|зрізання]] двох осьових вершин [[П'ятикутний трапецоедр|п’ятикутного трапецоедра]].
* Всі 20 вершин додекаедра лежать по п’ять в чотирьох паралельних площинах, утворюючи в кожній з них правильний п’ятикутник.
== Властивості ==
* Правильний додекаедр має найбільший об’єм серед всіх [[Правильний многогранник|тіл Платона]] з тою ж довжиною ребра.  Якщо п’ять [[Правильний многогранник|платонових тіл]] мають однаковий об’єм, правильний додекаедр має найкоротшу довжину ребра.

* Правильний додекаедр є найокруглішим з п'яти платонових тіл, тобто охоплює найбільший об'єм в межах кулі певного радіусу.

[[Файл:Додекаедр,_відстані.png|ліворуч|безрамки|239x239px]]

* Перерізом правильного додекаедра площиною, перпендикулярною до осей симетрії 5-го порядку, може бути:
*## [[правильний п'ятикутник]] ; Найбільший за площею переріз у формі правильного п'ятикутника (проходить через п'ять вершин додекаедра паралельно до його грані) ділить висоту додекаедра у співвідношенні {{Tmath|1=AB:BD = 1 : \varphi = 1 : 1.61803399}}
*## [[правильний десятикутник]] (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 6) <ref name="Alan Holden">{{Книга
|автор = Alan Holden
|назва = Shapes, Space, and Symmetry
|заголовок = 
|рік = 1991
|allpages = 
|pages = 200
|мова = англ.
|isbn = 0-231-08323-8
|видавництво = Columbia University Press / New York: Dover
|посилання = https://dokumen.pub/qdownload/shapes-space-and-symmetry-9780231890403.html
|ref = Alan Holden
}}</ref>{{rp|Стор.24}} ;
*## [[Ізогональність|напівправильний рівнокутний десятикутник]] (має два типи ребер, що чергуються між собою).

Перерізом правильного додекаедра площиною, що проходить перпендикулярно до осі симетрії 3-го порядку (діагоналі правильного додекаедра) може бути:

# [[Правильний трикутник]];
# [[Правильний шестикутник]] (якщо площина проходить також через центр правильного додекаедра; таких перерізів додекаедр має 10) <ref name="Alan Holden" />{{rp|Стор.26}} ;
# [[Ізогональність|Напівправильний рівнокутний]] шестикутник (має два типи ребер, що чергуються між собою).

[[Файл:Net_of_dodecahedron.gif|ліворуч|міні|Анімація складання розгортки додекаедра]]
* Правильний додекаедр має 43,380 [[Розгортка многогранника|розгорток]] <ref>{{cite web|url=http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/dodeca.htm|title=Dodecahedron|last=Edkins|first=Jo|year=2007|website=Solid shapes and their nets|archive-url=https://web.archive.org/web/20191226042309/http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/dodeca.htm|archive-date=2019-12-26|access-date=2024-04-25|url-status=live}}</ref> (так само як і правильний ікосаедр).
** Для того, щоб зафарбувати правильний додекаедр так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні чотири кольори.  Кількість способів розфарбувати правильний додекаедр так, щоб всі грані мали різні кольори дорівнює {{Ндріб|12!|60}} = 7 983 360 : група кольорів є групою [[Перестановка|перестановок]] з 12 елементів і має розмір [[Факторіал|12!]], тоді як порядок чистої обертової симетрії правильного додекаедра дорівнює 60 (половина від повної симетрії, тобто 120 елементів). <ref name="bendwavy.org">{{Cite web|url=https://bendwavy.org/klitzing/incmats/doe.htm|title=doe|last=Klitzing|first=Richard|website=bendwavy.org|language=англ.}}</ref>
* Середини двох сусідніх ребер (що мають спільну [[Вершина (геометрія)|вершину]]) та центр додекаедра утворюють [[рівнобедрений трикутник]] з внутрішніми кутами 36-72-72, який є «<nowiki/>[[Золотий трикутник (геометрія)|золотим трикутником]]<nowiki/>».
{{Clear}}

=== Зв'язок з правильним ікосаедром ===
[[Файл:Dual compound 20 max.png|ліворуч|безрамки]]
Правильний додекаедр та [[правильний ікосаедр]] є взаємно [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстими]] многогранниками. Тобто центри граней правильного додекаедра є вершинами правильного ікосаедра, і навпаки, центри граней правильного ікосаедра є вершинами правильного додекаедра 

Якщо правильний додекаедр має ребро довжиною 1, то його топологічно двоїстий [[Правильний ікосаедр|ікосаедр]] (вершини знаходяться в центрах граней початкового додекаедра) має ребро довжиною <math>\frac{7+3\sqrt{5}}{10} \approx 1.370820393 </math>,  а канонічно двоїстий ікосаедр ([[Напіввписана сфера|напіввписані сфери]] канонічно-двоїстої пари многогранників збігаються) має ребро довжиною <math>\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618034 </math>.

Серед правильних многогранників як додекаедр, так і ікосаедр являють собою найкраще наближення до сфери. Ікосаедр має найбільше число граней, найбільший [[двогранний кут]] і найщільніше притискається до своєї [[Вписана сфера|вписаної сфери]]. З іншого боку, додекаедр має найменший кутовий дефект, найбільший [[тілесний кут]] при вершині і максимально заповнює свою [[Описана сфера|описану сферу]].

Якщо додекаедр вписано у сферу, то він займає 66.49% об'єму сфери. А ікосаедр, вписаний у ту саму сферу, займає 60.54% її об'єму.

Сфера, що вписана в ікосаедр, охоплює 89,635% його об'єму порівняно з 75,47% для додекаедра.

Об'єм правильного додекаедра з довжиною ребра <math>a</math> більш ніж у три з половиною рази більший за об'єм ікосаедра з такою самою довжиною ребер:

<math>V_\text{додек.} = 7.663... \cdot a</math> та <math>V_\text{ікос.} = 2.181... \cdot a</math>.

Відношення об'ємів складає:

<math>\frac{V_\text{додек.}}{V_\text{ікос.}} = \frac{3(5+3\sqrt{5})}{10} = \frac{3}{5} \cdot (3\varphi +1) =
1.8 \cdot \varphi + 0.6
\approx 3.51246117975</math>

{{multiple image|align=right|total_width=400|image1=Dodekaeder im Ikosaeder (render).jpg|image2=Ikosaeder im Dodekaeder.jpg|caption1=Додекаедр, вписаний в ікосаедр|caption2=Ікосаедр, вписаний в додекаедр}}

* В правильний ікосаедр можна вписати правильний додекаедр таким чином, що всі 20 вершин додекаедра знаходитимуться в центрах граней ікосаедра.
* Правильний ікосаедр можна вписати в правильний додекаедр таким чином, що всі 12 вершин ікосаедраа будуть розташовані в центрах 12-ти граней додекаедра.
{{Clear}}

=== Зв'язок з «золотим прямокутником» ===
{{multiple image|align=right|total_width=450
|image1=Icosahedron-golden-rectangles.svg
|image2=Dodecaedro rectangulos aureos.png
|caption1=Золоті прямокутники в ікосаедрі.
|caption2=Золоті прямокутники в додекаедрі.}}
[[Золотий прямокутник|Золоті прямокутники]] з відношенням сторін (ϕ + 1) : 1 та ϕ : 1  ідеально вписуються в правильний додекаедр.<ref>{{Cite web|url=https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/phi3DGeom.html#:~:text=and%20vice-versa.-,4.1%20Golden%20sections%20in%20the%20Dodecahedron,%20Icosahedron%20and%20Octahedron,the%20ratio%201%20to%20Phi.|title=The Golden Geometry of Solids or Phi in 3 dimensions|last=Knott|first=Ron|date=26 вересня 2016|website=Ron Knott's Mathematics Pages|access-date=2022-03-19}}</ref>

При цьому дві короткі сторони такого прямокутника збігаються з протилежними паралельними ребрами додекаедра.

Окрім того, центри граней правильного додекаедра (які є вершинами правильного ікосаедра) формують три золоті прямокутники, що перетинаються.
[[Файл:|міні]]

{{Clear}}

== Формули ==
У всіх формулах нижче:

<math>\varphi = 2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618034 </math> — відношення пропорції «[[Золотий перетин|золотого перетину]]».

({{OEIS|A001622}})

<math>\xi = 2 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{5} \right) = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{\varphi}} \approx 1.1755705 </math>

=== Діагоналі ===
Кількість [[Діагональ|діагоналей]] [[Опуклий політоп|опуклого]] многогранника: <math>\binom{B}{2} - P</math>, 

де В — кількість [[Вершина (геометрія)|вершин]], Р — кількість ребер многогранника. 

Для правильного додекаедра:

<math>\binom{20}{2} - 30 = \frac{20}{2} \cdot \frac{19}{1} -30 = 190-30 = 160  </math> діагоналей (60 граневих та 100 просторових).<ref>{{citation|title=Platonic & Archimedean Solids|series=Wooden Books|first=Daud|last=Sutton|publisher=Bloomsbury Publishing USA|year=2002|isbn=9780802713865|page=55|url=https://books.google.com/books?id=vgo7bTxDmIsC&pg=PA55}}.</ref>
{| border="2"
! colspan="4" style="background:#C0C0FF" |<big>Діагоналі правильного додекаедра з довжиною ребра <math>a</math></big>
|-
| rowspan="7" class="hintergrundfarbe5" |[[Файл:Додекаедр,_діагоналі.png|безрамки|275x275пкс]]
|'''Граневі [[Діагональ|діагоналі]]'''
|<math>AB=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a = \varphi \cdot a </math>
|'''≈ 1.618033988<math>\cdot a</math>'''
|-
| rowspan="6" |'''Просторові діагоналі'''
|<math>AC = \sqrt{3+\sqrt{5}} \cdot a =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} \cdot a = \sqrt{2} \cdot \varphi \cdot a </math>
|'''≈ 2.288245611<math>\cdot a</math>'''
|-
|<math>AD = \frac{3+\sqrt{5}}{2}  \cdot a = (\varphi +1 ) \cdot a </math>
|'''≈ 2.618033988<math>\cdot a</math>'''
|-
|Найдовша діагональ:
<math>AF = \sqrt{\frac{3(3+\sqrt{5})}{2}}   \cdot a =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2} \cdot a = \sqrt{3} \cdot \varphi \cdot a</math>
|'''≈ 2.802517076<math>\cdot a</math>'''
|}
{{^|20пкс}}

=== Метричні характеристики ===
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |<big>Для правильного додекаедра з довжиною ребра  <math>a</math></big>
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Вписана сфера|вписаної сфери]]''' {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.9}} <br/>(Торкається всіх граней многогранника)
|<math>r = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}  \cdot a  = 
\frac{2\varphi +1 }{2\cdot \sqrt{\varphi + 2}}  \cdot  a =
\frac{\varphi +1 }{2\cdot \xi}  \cdot  a </math>
|'''≈ 1.113516364 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]]''' {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.9}} <br/>(Торкається всіх ребер многогранника)
|<math>\rho  = \frac{3+\sqrt{5}}{4}  \cdot a = \frac{\varphi+1}{2} \cdot a  </math>
|'''≈ 1.30901699 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]]''' {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.9}}  <br/>(Містить всі вершини многогранника)
|<math>R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{3(3+\sqrt{5})}{2}}  \cdot a =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4} \cdot a = 
\frac{\sqrt{3}}{2}  \cdot \varphi \cdot a </math>
|'''≈ 1.401258538 <math>\cdot a</math>'''
{{OEIS|A179296}}
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>1</sub></big>''' <br/> (Відстань між паралельними гранями)
|<math>H_1 = 2 \cdot r = \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}  \cdot a  </math>
|'''≈ 2.2270327 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''Висота <big>H<sub>2</sub></big>''' <br/> (Відстань між протилежними вершинами)
|<math>H_2 = 2 \cdot R =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2} \cdot a = \sqrt{3} \cdot \varphi \cdot a  </math>
|'''≈ 2.802517077 <math>\cdot a</math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Площа поверхні]]'''
|<math>S =  3 \cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}} \cdot a^2 =  \frac{15 \cdot \varphi}{\sqrt{3-\varphi}} \cdot a^2 = 
15 \cdot \frac{\varphi}{\xi} \cdot a^2 </math> <br/> <math>S =  30 \cdot \sqrt{2 \cdot(65-29\sqrt{5})} \cdot r^2   </math> <br /><math>S =  2 \cdot \sqrt{10 \cdot(5-\sqrt{5})} \cdot R^2 =  \frac{20}{\sqrt{2+\varphi}} \cdot R^2   </math>
|'''≈ 20.6457288 <math>\cdot a^2</math>''' <br/> '''≈ 16.6508731 <math>\cdot r^2 </math>''' <br /> '''≈ 10.5146222 <math>\cdot R^2 </math>'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Об'єм]]'''
|<math>V = \frac{15+7\sqrt{5}}{4} \cdot a^3 = \frac{4+7\varphi}{2} \cdot a^3 </math> <br/><math> V = 10 \cdot \sqrt{2\cdot (65-29\sqrt{5})} \cdot r^3  </math> <br /> <math>V = \frac{10 \sqrt{3}+2\sqrt{15}}{9} \cdot R^3 = 
\frac{20}{3\cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{\varphi+1}{\varphi+2} \cdot R^3 </math>
|'''≈ 7.66311896 <math>\cdot a^3</math>''' <br/>'''≈ 5.55029102 <math>\cdot r^3 </math>''' <br />
'''≈ 2.78516386 <math>\cdot R^3 </math>'''
|}
Відношення радіусів <math>\frac{R}{r} = \frac{\sqrt{3\cdot (3-\varphi)}}{\varphi} = \sqrt{15-6\sqrt{5}} \approx 1.25840857  </math>  однакове, як для правильного додекаедра, так і для [[Правильний ікосаедр|правильного ікосаедра]]. Таким чином, якщо правильні ''додекаедр'' та ''ікосаедр'' мають однакові вписані сфери, то їх описані сфери також рівні між собою. Доведення цього математичного результату дано в ''[[Начала Евкліда|Началах]]'' [[Евклід]]а.

[[Центр інерції|Центр масс]] правильного додекаедра знаходиться в його геометричному центрі.

[[Момент інерції]] суцільного правильного додекаедра з  [[Маса|масою]] ''<big>{{mvar|m}}</big>'' та довжиною ребра ''<big>{{mvar|a}}</big>'' (вісь обертання проходить через центри протилежних граней):<ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=Dodecahedron+inertia+tensor|title=Dodecahedron inertia tensor - Wolfram Alpha|website=www.wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>

<math>I = \frac{95+39 \cdot \sqrt{5}}{300} \cdot m \cdot a^2 \approx 0.6073555037 \cdot m \cdot a^2</math>
{| class="wikitable"
|+
![[Файл:Додекаедр,_вписана_сфера.png|300x300пкс]]
![[Файл:Додекаедр,_напіввписана_сфера.png|300x300пкс]]
![[Файл:Додекаедр,_описана_сфера.png|300x300пкс]]
|-
|[[Вписана сфера]] правильного додекаедра
|[[Напіввписана сфера]] правильного додекаедра
|[[Описана сфера]] правильного додекаедра
|}

=== Точка в просторі ===
Нехай описана сфера додекаедра має радіус ''R.'' Нехай дано довільну точку в просторі і відстані від неї до вершин додекаедра дорівнюють ''d<sub>i</sub>'' . Тоді виконується рівність:  <ref name="Mamuka2">{{cite journal|last1=Meskhishvili|first1=Mamuka|date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|url=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|journal=Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|arxiv=2010.12340|doi=10.26713/cma.v11i3.1420}}</ref> {{rp|стор.353, теор.7.2}}

: <math>\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} d_i^4 + \frac{16R^4}{9} = \left(\frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} d_i^2 + \frac{2R^2}{3}\right)^2. </math>

Якщо точка знаходиться на описаній сфері додекаедра, то виконується рівність:<ref name="Mamuka2" /> {{rp|стор.354, теор.7.6}}

:<math>\sum_{i=1}^{20} d_i^2 = 15 \cdot \sum_{i=1}^{20} d_i^4 </math>

=== Кути ===
Плоскі кути граней при вершині: 108°.

Сума плоских кутів при кожній з 20 вершин дорівнює 324°.
{| border="2"
! colspan="3" style="background:#c0c0ff" |<big>Кути многогранника</big>
|-
| bgcolor="#ececec"|'''Кут, під яким <br/>ребро видно з центру  правильного додекаедра'''
| <math> \delta= \arccos \left ( \frac{\sqrt{5}}{3}\right ) =
2 \cdot \arcsin \left ( \frac{1}{\sqrt{3}\cdot \varphi} \right )       </math>
| '''≈ 0.7297276562 [[Радіан|rad]]''' <br/> '''≈ 41°48′ 37.1336248′′ '''
|-
| bgcolor="#ececec"|'''[[Двогранний кут]] між гранями''' {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.10}}
|<math> \theta= \arccos \left ( - \frac{\sqrt{5}}{5}\right ) = 2\cdot \arctan \left ( \varphi \right )= 
\arccot  \left ( - \frac{1}{2} \right )  </math>
|'''≈ 2.0344439358 [[Радіан|rad]]''' <br/>'''≈ 116°33′ 54.184237′′ '''
|-
|bgcolor="#ececec"|'''[[Тілесний кут]] при вершині'''
|<math> \Omega_1 = \arccos \left( -\frac{11\sqrt{5}}{25} \right) 
= \arcsin \left( \frac{2\sqrt{5}}{25} \right) = \pi - \arctan \left( \frac{2}{11} \right)  </math>
|<math> \Omega_1  </math> '''≈ 2.9617391538''' '''[[Стерадіан|ср]]'''
|-
| style="background:#ececec" |'''[[Тілесний кут]], під яким <br/>грань видно з центра многогранника'''
|<math> \Omega_2 =  \frac{\pi}{3}   </math>
|<math> \Omega_2 </math> '''≈ 1.0471975512 [[Стерадіан|ср]]'''
|-
| bgcolor="#ececec" |'''[[Сферичність]]'''
|<math> \Psi =  \frac{\sqrt [3] {\frac{5\pi}{6} \cdot(47+21\sqrt{5}) }} {\sqrt{25+10\sqrt{5}}}  </math>
|<math> \Psi\thickapprox 0.9104531814  </math>
|}
Зауважимо, що <math>\tan (\pi - \theta) = 2</math>

== Координати вершин ==
[[Файл:Додекаедр,_відстані.png|ліворуч|безрамки|393x393пкс]]
Двадцять вершин правильного додекаедра лежать по п'ять у чотирьох паралельних площинах, утворюючи в них чотири [[Правильний п'ятикутник|правильні п'ятикутники]].

Відстані між цими площинами, якщо ребро правильного додекаедра дорівнює 1: {{Sfn|Kenneth J. MacLean||с=15}}{{rp|Стор.10-13}}
{| class="wikitable"
|+
|-
|<math>AB = CD = \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} = \frac{\varphi}{\sqrt{\varphi+2}}</math>
|'''≈ 0.850650808352'''
|-
|<math>BO = OC = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\varphi+2}} </math>
|'''≈ 0.262865556059'''
|-
|<math>BC = \frac{AB}{\varphi} =\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}} = \frac{1}{\sqrt{\varphi+2}} </math>
|'''≈ 0.525731112119'''
|-
|<math>AO = OD = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} = \frac{2\varphi+1}{2 \cdot \sqrt{\varphi+2}}</math>
|'''≈ 1.113516364412'''
|-
|<math>AC =\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\varphi+1}{\sqrt{\varphi+2}}</math>
|'''≈ 1.376381920471'''
|-
|<math>AB = \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} = \frac{2\varphi+1}{\sqrt{\varphi+2}}</math>
|'''≈ 2.227032728823'''
|}

Координати вершин правильного додекаедра з довжиною ребра a = 1:<ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=dodecahedron+vertex+coordinates|title=dodecahedron vertex coordinates - Wolfram{{!}}Alpha|website=www.wolframalpha.com|language=en|access-date=2024-04-22}}</ref>

* <math>\left ( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \quad \pm \frac{1}{2} \, ,
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>, <math>\left ( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{1+\sqrt{5}}{4} \, ,
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>,  <math>\left ( -\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, \quad 0 \,\, ,
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>;

* <math>\left ( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \quad \pm \frac{1}{2} \, ,
- \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>, <math>\left (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{1+\sqrt{5}}{4} \, ,
- \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>,  <math>\left (\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, \quad 0 \,\, ,
-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \right ) </math>;

— ці координати задають вершини верхньої та нижньої п'ятикутних граней, що паралельні до площини Oxy.

* <math>\left ( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{1+\sqrt{5}}{4} \, ,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math>, <math>\left ( - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{3 +\sqrt{5}}{4} \, ,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math>,<math>\left ( -\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \, 0  \, ,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math> ;
* <math>\left ( -\frac{1}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{1+\sqrt{5}}{4} \, ,-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math>, <math>\left ( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}, \, \pm \frac{3 +\sqrt{5}}{4} \, ,-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math>,<math>\left (\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}, \, 0  \, ,-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}
 \right ) </math> .

— ці координати задають 10 вершин, що лежать в двох паралельних площинах між верхньою та нижньою гранями.

При цьому вісь ''Oz'' збігається з однією з осей [[Ортогональна група|обертової симетрії]] 5-го порядку, вісь ''Oy'' збігається з однією з осей обертової симетрії 2-го порядку, а площина ''Oxz'' є площиною [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] правильного додекаедра. Центр многогранника знаходиться в [[Початок координат|початку координат]].


[[Файл:Dodecahedron vertices.svg|ліворуч|320пкс]]

Наступні [[Декартова система координат|декартові координати]] визначають 20 вершин правильного додекаедра:<ref>{{MathWorld|urlname=RegularDodecahedron|title=Regular Dodecahedron}}</ref>
{| class="wikitable"
|+
|{{Color box|#E46C00|border=darkgray}}
|<math> \left( \pm 1, \pm 1, \pm 1 \right) </math>
|Помаранчеві вершини формують [[куб]] (пунктирні лінії).
|-
|{{Color box|#00FF00|border=darkgray}}
|<math>  \left( 0, \pm \varphi, \pm \frac{1}{\varphi} \right) </math>
|Зелені вершини формують «<nowiki/>[[золотий прямокутник]]<nowiki/>»  в ''yz''-площині.
|-
|{{Color box|#0000FF|border=darkgray}}
|<math>  \left( \pm \frac{1}{\varphi}, 0, \pm \varphi \right) </math>
|Сині вершини формують «<nowiki/>[[золотий прямокутник]]<nowiki/>»  в ''xz''-площині.
|-
|{{Color box|#FF0066|border=darkgray}}
|<math> \left( \pm \varphi , \pm \frac{1}{\varphi}, 0 \right) </math>
|Рожеві вершини формують «<nowiki/>[[золотий прямокутник]]<nowiki/>»  в ''xy''-площині.
|}
де <math>\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1.618034 </math> — відношення пропорції «[[Золотий перетин|золотого перетину]]».  

Довжина ребра цього додекаедра дорівнює <math>a =2 \cdot (\varphi -1)= \frac{2}{\varphi } = \sqrt{5}-1</math>. Центр знаходиться в [[Початок координат|початку координат]]. Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]] дорівнює <math> \sqrt{3}</math>. При цьому координати (±1, ±1, ±1) є вершинами [[Куб|куба]] з довжиною ребра b = 2. 

Осі координат ''Ox'', ''Oy'' та ''Oz'' збігаються з осями [[Ортогональна група|обертової симетрії]] 2-го порядку, а координатні площини ''Oxz'', ''Oyz'' та ''Oxy'' є площинами [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]] правильного додекаедра.

== Граф правильного додекаедра ==
{{Граф|name=Граф правильного додекаедра
|vertices=20
|edges=30
|radius=5
|diameter=5
|girth=5
|chromatic_number=3
|properties=[[Регулярний граф| Регулярний]], [[Планарний граф | планарний]], [[Багатогранний граф | багатогранний]], [[Граф (математика) | простий]], [[Зв'язний граф | зв'язний]], [[Симетричний граф | симетричний]][[Гамільтонів граф | Гамільтонів]], не [[граф Келі]], кубічний, [[Циклічний граф|циклічний]] , вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний
|image=[[Файл:Dodecahedron_schlegel.svg|240пкс]]
|image_caption=5-fold symmetry|automorphisms=120}}

В [[Теорія графів|теорії графів]] '''граф правильного додекаедра'''  — це граф з 20 вершинами та 30 ребрами, що має [[N-кістяк|кістяк]] правильного додекаедра.<ref>{{Cite book
|title=An Atlas of Graphs |last=Read, R. C.; Wilson, R. J.
|year=1998
|publisher=Oxford University Press
|pages=
|language=англ.
}}</ref>

Всі 20 вершин графа мають [[Степінь вершини (теорія графів)|степінь]] 3, а отже, граф є [[Кубічний граф|кубічним]].

[[Спектральна теорія графів|Спектр]]  графа : <math>Spec(G)=(-\sqrt{5})^3 \left ( -2 \right )^4 0^4 1^5 (\sqrt{5}) ^3 3^1</math> <ref>{{Cite web|url=https://www.wolframalpha.com/input?i=Dodecahedral+Graph|title=Dodecahedral Graph|website=wolframalpha.com|language=англ.}}</ref>

Цей граф також можна побудувати як узагальнений граф Петерсена G(10,2), де вершини десятикутника з'єднані з вершинами двох п'ятикутників, один п'ятикутник з'єднаний з непарними вершинами десятикутника, а інший п'ятикутник з'єднаний з парними вершинами. Геометрично це можна представити як 10-вершинний екваторіальний пояс додекаедра, з'єднаний з двома 5-вершинними полярними областями, по одній з кожної сторони.

Знаходження [[Гамільтонів граф|гамільтонового циклу]] для цього графа відомо як гра «<nowiki/>[[Ікосіан]]<nowiki/>», яку в 1859 році запропонував [[Вільям Ровен Гамільтон|В. Гамільтон]]. Мета гри — пройти вершинами [[Дванадцятигранник|додекаедра]], переходячи від вершини до сусідньої, відвідавши кожну вершину рівно один раз, і при цьому повернувшись у початок (тобто знайти [[Гамільтонів граф|гамільтонів цикл]] на ребрах додекаедра).

Деякі гамільтонові цикли графа:
{|
|[[Гамільтонів граф|Гамільтонів цикл]] графа додекаедра
[[Файл:Гамільтонів цикл графа правильного додекаедра.png|безрамки|300x300пкс]]
|{1 – 8 – 9 – 18 – 19 – 11 – 10 – 2 ‒ 3 ‒ 12 – 13 – 20 – 16 – 17 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 4 ‒ 5 ‒ 1}<br/> 

{1 – 8 – 9 – 18 – 19 – 20 – 16 – 17 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 13 – 12 ‒ 11 ‒ 10 – 2 – 3 – 4 ‒ 5 ‒ 1} <br/> 

{1 – 2 – 3 – 12 – 13 – 20 – 16 – 17 ‒ 18 ‒ 19 – 11 – 10 – 9 – 8 ‒ 7 ‒ 6 – 15 – 14 – 4 ‒ 5 ‒ 1} <br/>

{1 – 2 – 10 – 11 – 19 – 18 – 9 – 8 ‒ 7 ‒ 17 – 16 – 20 – 13 – 12 ‒ 3 ‒ 4 – 14 – 15 – 6 ‒ 5 ‒ 1}

|} 
Граф правильного додекаедра не має [[Ейлерів ланцюг|ейлерових циклів]]. 

[[Реберний граф|Реберним графом]] для графа додекаедра є граф ікосододекаедра.
{{Clear}}

== Ортогональні проєкції ==
Правильний додекаедр має дві [[Ортогональна проєкція|ортогональні проєкції]], центровані на вершинах і п'ятикутних гранях, що відповідають '''площинам Коксетера''' <ref>[http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/coxplane.html Coxeter Planes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180210123511/http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/coxplane.html|date=2018-02-10}} and [http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/coxplane2.html More Coxeter Planes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170821032628/http://www.math.lsa.umich.edu/~jrs/coxplane2.html|date=2017-08-21}} [[John Stembridge]]</ref> A<sub>2</sub> та H<sub>2</sub> . Проєкція, центрована по ребру має дві ортогональні лінії [[Відбиття (геометрія)|відбиття]].
{| class="wikitable" width="400"
|+Ортогональні проєкції
!Центрована  по
!Вершині
!Грані
!Ребру
|-
!Зображення
|[[Файл:Dodecahedron_A2_projection.svg|160x160пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_H3_projection.svg|160x160пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_t0_e.png|160x160пкс]]
|- align="center"
!Проєктивна симетрія
|<nowiki>[[</nowiki>3]] = [6]
|<nowiki>[[</nowiki>5]] = [10]
|[2]
|}
У [[Перспектива|перспективній проєкції]], якщо дивитися на п'ятикутну грань, правильний додекаедр можна розглядати як [[Діаграма Шлегеля|діаграму Шлегеля]] з прямолінійними ребрами, а в [[Стереографічна проєкція|стереографічній проекції]] — як [[сферичний многогранник]]. Ці проєкції також використовуються для зображення чотиривимірного [[Стодвадцятикомірник|120-комірника]], правильного 4-вимірного політопу, побудованого з 120 додекаедрів, при [[Стодвадцятикомірник#Проєкція_обертового_стодвадцятикомірника_в_тривимірний_простір|проєктуванні його в 3-вимірний простір]].
{| class="wikitable" width="540"
! rowspan="2" |Проєкція
! rowspan="2" |[[Ортогональна проєкція]]
! colspan="2" |[[Перспектива|Перспективна проєкція]]
|-
![[Діаграма Шлегеля]]
![[Стереографічна проєкція]]
|- align="center"
!Правильний додекаедр
|[[Файл:Dodecahedron_H3_projection.svg|180x180пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_schlegel.svg|180x180пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_stereographic_projection.png|180x180пкс]]
|- align="center"
!Додекаплекс
([[Стодвадцятикомірник|120-комірник]])
|[[Файл:120-cell_t0_H3.svg|180x180пкс]]
|[[Файл:Schlegel_wireframe_120-cell.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Stereographic_polytope_120cell_faces.png|180x180пкс]]
|}

== Сферичний многогранник ==
Правильний додекаедр може бути представлений як [[сферичний многогранник]].
{| class="wikitable"
|[[Файл:Uniform_tiling_532-t0.png|161x161пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron_stereographic_projection.svg|160x160пкс]]
|-
![[Ортографічна проєкція]]
![[Стереографічна проєкція]]
|}

== Стільники ==
Правильними додекаедрами неможливо [[Стільник (геометрія)|замостити]] [[тривимірний простір]] без проміжків та накладень.

Замостити тривимірний простір без проміжків та накладень можливо за допомогою правильних додекаедрів , [[Куб|кубів]] та [[Подвійна серпоротонда|подвійних серпоротонд]] у співвідношенні 1: 1: 3. <ref>{{Cite web|url=http://demonstrations.wolfram.com/DodecahedronAndBilunabirotunda/|title = Dodecahedron and Bilunabirotunda – Wolfram Demonstrations Project}} </ref><ref>http://www.lcv.ne.jp/~hhase/memo/m09_08b.html</ref> <ref>{{Cite web|url=http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/miracle.html|title=Miracle Spacefilling|website=woodenpolyhedra.web.fc2.com}}</ref>

При цьому власне додекаедри формують реберну ґратку [[:en:Dodecahedron#Pyritohedron|піритоедрів]]. Подвійні серпоротонди замощують «ромбічні» проміжки. Кожен куб межує з шістьма подвійними серпоротондами в трьох орієнтаціях. Бонні Стюарт позначив цю модель шести подвійних серпоротонд як 6J<sub>91</sub>(P<sub>4</sub>).<ref>{{Cite book
|title=Adventures Among the Toroids: A Study of Quasi-Convex, Aplanar, Tunneled Orientable Polyhedra of Positive Genus Having Regular Faces With Disjoint Interiors
|last=B. M. Stewart
|year=1980
|pages=127
|language=англ.
|isbn=978-0686119364
}} 6J<sub>91</sub>(P<sub>4</sub>)</ref>
{| class="wikitable" width="760"
|- valign="top"
|[[Файл:J91.jpg|160пкс]]<br />Модель стільника
|[[Файл:Honeycomb of regular dodecahedra-cubes-J91.png|200пкс]]
|[[Файл:Dodecahedron lattice.png|200пкс]]<br />Ґратка додекаедрів
|[[Файл:3D_space_tessellation_of_cubes_and_dodecahedra.ogg|безрамки]] <br/> 12 серпоротонд навколо додекаедра <br/>Анімація заповнення простору
|[[Файл:Bilunabirotunda augmented cube.png|200px]]<br />6 подвійних серпоротонд навколо куба
|}
Найбільш щільне пакування додекаедрів (тобто таке, що має найменші пустоти між ними) має щільність <math>\frac{5+\sqrt{5}}{8} \approx 0.904508497 </math> . {{Sfn|S. Torquato and Y. Jiao.||с=52}}{{rp|Стор.25-26}}

==Зірчасті форми==
Правильний додекаедр має три [[Ззірчення|зірчасті]] форми <ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/|title=Dodecahedron Stellations|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2024-04-24}}</ref>; всі три є правильними [[Зірчастий многогранник|зірчастими многогранниками]] ([[Тіло Кеплера — Пуансо|тілами Кеплера-Пуансо]])
{| class="wikitable" width=500
!
!0
!1
!2
!3
|- align=center
|[[Ззірчення|Зірчаста]] форма
| [[Файл:Dodecahedron.png|125px]]<br />''Правильний додекаедр''
| [[Файл:Small stellated dodecahedron.png|125px]]<br />[[Малий зірчастий додекаедр]]
| [[Файл:Great dodecahedron.png|125px]]<br />[[Великий додекаедр]]
| [[Файл:Great stellated dodecahedron.png|125px]]<br />[[Великий зірчастий додекаедр]]
|-
|Діаграма[[ззірчення]] та грані на ній
|[[Файл:Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg|125px]]
|[[Файл:First stellation of dodecahedron facets.svg|125px]]
|[[Файл:Second stellation of dodecahedron facets.svg|125px]]
|[[Файл:Third stellation of dodecahedron facets.svg|125px]]
|}
== Пов'язані та споріднені многогранники та мозаїки ==
Шляхом застосування геометричної операції [[Зрізання (геометрія)|зрізання]] вершин, правильний додекаедр перетворюється на [[Двоїстий однорідний многогранник|двоїстий]] до нього [[правильний ікосаедр]], утворюючи на певних стадіях [[Зрізання (геометрія)|зрізання]] такі многогранники: 

Правильний додекаедр — [[Зрізаний додекаедр]] — [[Ікосододекаедр]] — [[Зрізаний ікосаедр]] — [[Правильний ікосаедр]]{{Ікосаедральні зрізи}}[[Ікосододекаедр]] утворюється при застосуванні до правильного додекаедра геометричної операції [[Повне зрізання (геометрія)|повне зрізання вершин]]<sup>[en]</sup> ('''ректифікації''').
Деякі [[Правильногранний многогранник|многогранники Джонсона]] можна утворити шляхом нарощення граней правильного додекаедра [[П'ятикутна піраміда|п'ятикутними пірамідами]]<sup>[en]</sup>  (J<sub>2</sub>):
* [[Нарощений додекаедр]] (J<sub>58</sub> ) — нарощено одну грань;

* [[Двічі протилежно нарощений додекаедр]] (J<sub>59</sub>) — нарощено дві протилежні грані;

* [[Двічі косо нарощений додекаедр]] (J<sub>60</sub>) — нарощено дві несуміжні, непротилежні грані;

* [[Тричі нарощений додекаедр]] (J<sub>61</sub>) — нарощено три взаємно несуміжні грані.
При застосуванні щодо правильного додекаедра геометричної операції {{Не перекладено|Зрізання носів (геометрія)|Зрізання носів|en|Snub (geometry)}} '''(снубифікація),''' отримаємо [[напівправильний многогранник]] Архімеда — [[кирпатий додекаедр]].

При застосуванні щодо правильного додекаедра геометричної операції {{Не перекладено|Фаска (геометрія)|Фаска|en|Chamfer (geometry)}} '''(зрізання ребер),''' отримаємо {{Не перекладено|многогранник Ґолдберга||en|Goldberg polyhedron}} —  {{Не перекладено|Додекаедр з фаскою|додекаедр з фаскою|en|Chamfered dodecahedron}}.
{| class="wikitable"
|[[Файл:Snubdodecahedroncw.jpg|161x161пкс]]
|[[Файл:Polyhedron chamfered 12 edeq max.png|160x160пкс]]
|-
![[Кирпатий додекаедр]]
!{{Не перекладено|Додекаедр з фаскою|Додекаедр з фаскою|en|Chamfered dodecahedron}}
|}
{{Таблиця кирпатих фігур}}
{{Таблиця мозаїк порядку 3}}
=== Многогранники, що мають розташування вершин як у правильного додекаедра ===
{{Не перекладено|Розташування вершин|Розташування вершин|en|Vertex arrangement}} таке ж, як і в правильного додекаедра, мають чотири [[Однорідний зірчастий многогранник|неопуклих однорідних многогранників]] та три {{Не перекладено|Однорідне з'єднання многогранників|однорідних з'єднання многогранників|en|Uniform polyhedron compound}}.

В правильний додекаедр можливо вписати п'ять різних кубів; їхні ребра є діагоналями граней правильного додекаедра, і всі разом вони утворюють  {{Не перекладено|Однорідне з'єднання многогранників|однорідну многогранну сполуку|en|Uniform polyhedron compound}} з п'яти кубів. Оскільки два різні тетраедри можуть розміститися на вершинах куба, що чергуються, то в правильний додекаедр також вписується [[З'єднання п'яти тетраедрів|з'єднання п'яти]] і десяти тетраедрів.
{| class="wikitable" width="500"
|[[Файл:Great_stellated_dodecahedron.png|125x125пкс]]
[[Великий зірчастий додекаедр]]
|[[Файл:Small_ditrigonal_icosidodecahedron.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|Малий дітригональний ікосододекаедр|Малий дітригональний ікосододекаедр|en|Small ditrigonal icosidodecahedron}}
|[[Файл:Ditrigonal_dodecadodecahedron.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|Дітригональний додекадодекаедр|Дітригональний додекадодекаедр|en|Ditrigonal dodecadodecahedron}}
|[[Файл:Great_ditrigonal_icosidodecahedron.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|Великий дітригональний ікосододекаедр|Великий дітригональний ікосододекаедр|en|Great ditrigonal icosidodecahedron}}
|-
|[[Файл:Compound_of_five_cubes.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|З'єднання п'яти кубів|З'єднання п'яти кубів|en|Compound of five cubes}}<!-- Проблема вікіфікації: Сторінка [[:en:Compound of five cubes]] (→ [[:en:Cube#Compound of cubes]]) перекладена як [[Куб]], хоча хотіли [[З'єднання п'яти кубів]] (SashkoR0B0T)-->
|[[Файл:Compound_of_five_tetrahedra.png|125x125пкс]]
[[З'єднання п'яти тетраедрів]]
|[[Файл:Compound_of_ten_tetrahedra.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|З'єднання десяти тетраедрів|З'єднання десяти тетраедрів|en|Compound of ten tetrahedra}}
|
|[[Файл:Rhombic hexecontahedron.png|125x125пкс]]
{{Не перекладено|Ромбічний гексеконтаедр|Ромбічний гексеконтаедр|en|Rhombic hexecontahedron}}
|}
Прикладом неоднорідного многогранника, що має {{Не перекладено|Розташування вершин|розташування вершин|en|Vertex arrangement}} правильного додекаедра може слугувати {{Не перекладено|Ромбічний гексеконтаедр|ромбічний гексеконтаедр|en|Rhombic hexecontahedron}} — [[Ззірчення|зірчаста форма]] [[Ромботриаконтаедр|ромботриаконтаедра]].

Тобто правильний додекаедр є [[Опукла оболонка|опуклою оболонкою]] вершин цих неопуклих тіл.


== Додатково ==
[[Файл:Platonic Solids Stereo 4 - Dodecahedron.gif|міні|298x298px|Будова правильного додекаедра у стереопроєкції.|без]]
{| class="wikitable" width="480"
! colspan="5" |{{Не перекладено|Багатокутник Петрі|Багатокутник Петрі|en|Petrie polygon}} правильного додекаедра
|- valign="top"
|[[Файл:Petrial_dodecahedron.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Face_of_petrial_dodecahedron.gif|200x200пкс]]
|[[Файл:Skeleton 12, Petrie, stick, size m.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton 12, Petrie, stick, size m, 3-fold.png|180x180пкс]]
|[[Файл:Skeleton 12, Petrie, stick, size m, 5-fold.png|180x180пкс]]
|-
| colspan="5" |Просторовими {{Не перекладено|Багатокутник Петрі|багатокутниками Петрі|en|Petrie polygon}} правильного додекаедра є 6 [https://polytope.miraheze.org/wiki/Skew_decagon просторових десятикутників].
|}

== Приклади в природі ==
[[Image:Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg|міні|праворуч|Грані [[Гольмій|гольмієво]]-[[Магній|магнієво]]-[[Цинк|цинкового]] (Ho-Mg-Zn) [[Квазікристал|квазікристалу]]  є [[Правильний п'ятикутник|правильними п'ятикутниками]].]] 
Деякі з правильних та напівправильних тіл зустрічаються у природі у вигляді кристалів, інші — у вигляді вірусів, чи [[Найпростіші|найпростіших]] мікроорганізмів. 

* Кристал [[пірит]]у ( FeS ) — природна модель додекаедра.

* Вірус [[поліомієліт]]у має форму додекаедра.

* У 1887 році [[Ернст Геккель]] описав [[Радіолярії|радіолярію]] [[Circorrhegma dodecahedra]], що має форму, наближену до додекаедра <ref>{{Книга
|автор = E.Haeckel
|ref = 
|заголовок = 
|рік = 1888
|серія = 
|посилання = http://www.biodiversitylibrary.org/page/10685137#page/111/mode/1up
|місце = Berlin
|видавництво = G. Reimer
|том = 4
|тираж = 
|сторінок = 400 (нім.)
|doi = https://doi.org/10.11588/diglit.27324
|назва = Die Radiolarien (Rhizopoda radiaria) : eine Monographie
}}
(позначена номером 2а) </ref>

* У 1982 році було синтезовано [[Хімічна сполука|хімічну сполуку]] C<sub>20</sub>H<sub>20</sub>  ({{Не перекладено|Додекаедран|додекаедран|en|Dodecahedrane}}), форма якої також наближена до правильного додекаэдра.
{{Clear}}

== Див. також ==
* [[Дванадцятигранник]]
* [[Ікосіан]]
* [[Напівдодекаедр]]
* [[Додекаедричне число]]
* {{Не перекладено|Мегамінкс|Мегамінкс|en|Megaminx}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Література ==

* {{Стаття|title=''Uniform polyhedra''|url=https://dokumen.tips/documents/uniform-polyhedra-coxeter.html|author=H. S. M. Coxeter|volume=246|year=1954|publisher=The Royal Society|pages=401—450|language=англ.|doi=10.1098/rsta.1954.0003|issn=0080-4614|ref=H. S. M. Coxeter|посилання_на_автора=Гарольд Коксетер|співавтори=M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller|журнал=Philosophical Transactions of the Royal Society of London.     Series A. Mathematical and Physical Sciences|номер=916}}
* {{Книга
|автор = Peter R. Cromwell.
|ref = Peter R. Cromwell
|заголовок = Polyhedra
|рік = 1997
|серія = 
|посилання = https://books.google.com.ua/books?id=OJowej1QWpoC&printsec=copyright&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
|місце = Cambridge, U.K. ; New York, NY, USA
|видавництво = Cambridge University Press
|том = 
|тираж = 
|сторінок = 451 (англ.)
|ISBN = 9-521-55432-2
}}

*  {{Стаття
|автор = Kenneth J. MacLean.
|ref = Kenneth J. MacLean
|заголовок = A Mathematical Analysis of the Dodecahedron from aGeometric Perspective
|url = https://www.academia.edu/38082021/The_Dodecahedron
|рік = 2019
|том=
|сторінки = 15
|issn=
|doi=
|журнал=
|видання посилання=
|мова=англ.}} 

* {{Стаття
|автор = S. Torquato and Y. Jiao.
|ref = S. Torquato and Y. Jiao.
|заголовок = Dense Packings of Polyhedra: Platonic and Archimedean Solids
|рік = 2009
|серія = 
|посилання = https://www.researchgate.net/publication/38081817_Dense_Packings_of_Polyhedra_Platonic_and_Archimedean_Solids
|місце = Princeton University, Princeton New Jersey 08544, USA
|видавництво =
|том = 
|тираж = 
|сторінки = 52 (англ.)
|doi = 10.1103/PhysRevE.80.041104

}}

== Посилання ==

* {{MathWorld|urlname=RegularDodecahedron|title=Regular Dodecahedron}}
* {{Polytope Wiki|urlname=Dodecahedron|title=Dodecahedron}}
* McCooey, David.[http://dmccooey.com/polyhedra/Dodecahedron.html Dodecahedron]
* Klitzing, Richard. [https://bendwavy.org/klitzing/incmats/doe.htm "doe"].
* Quickfur. [https://www.qfbox.info/4d/dodecahedron "The Dodecahedron"]
* Wedd, N. [https://www.weddslist.com/rmdb/map.php?a=R0.3p "The Dodecahedron"]
* Hi.gher.Space Wiki Contributors. [http://hi.gher.space/wiki/Dodecahedron "Dodecahedron"]
* [https://web.archive.org/web/20160514040953/http://geometria-3d.pl:80/teoria/dwunastoscian.html Dwunastościan foremny - dodekaedr]

* [http://www.korthalsaltes.com/ Paper Models of Polyhedra] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130226042323/http://www.korthalsaltes.com/|date=26 лютого 2013}}
** [https://www.polyhedra.net/en/model.php?name-en=dodecahedron Paper Dodecahedron]

{{Правильні многогранники}}
{{Багатогранники}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}

[[Категорія:Правильні многогранники]]
[[Категорія:12 (число)]]