Перегляд вихідного коду сторінки Правило Баєса

{{about|форму [[Теорема Баєса|теореми Баєса]]|розв'язувальне правило та використання коефіцієнту Баєса у виборі моделі відповідно|Баєсів оцінювач|Коефіцієнт Баєса}}

{{Баєсова статистика}}

У [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірностей]] та її застосуваннях '''пра́вило Ба́єса''' ({{lang-en|Bayes' rule}}) встановлює відповідність між {{Не перекладено|Шанси|шансами||Odds}} події <math>A_1</math> проти події <math>A_2</math> до (апріорі) та після ([[апостеріорі]]) [[Умовна ймовірність|обумовлення]] іншою подією <math>B</math>. Шанси <math>A_1</math> до події <math>A_2</math> є просто відношенням ймовірностей цих двох подій. Апріорні шанси є відношенням безумовних, або апріорних ймовірностей, а апостеріорні шанси є відношенням умовних, або апостеріорних ймовірностей за умови події <math>B</math>. Це відношення виражається у термінах '''рівня правдоподібності''', або '''коефіцієнту Баєса''', <math>\Lambda</math>. За визначенням, це є відношенням умовних ймовірностей події <math>B</math> у випадку <math>A_1</math> та у випадку <math>A_2</math> відповідно. Це правило просто стверджує: '''апостеріорні шанси дорівнюють добуткові апріорних шансів на [[коефіцієнт Баєса]]'''.<ref name="Gelman">

{{Cite book
 |first1=Andrew
 |last1=Gelman
 |first2=John B.
 |last2=Carlin
 |first3=Hal S.
 |last3=Stern
 |first4=David B.
 |last4=Dunson
 |first5=Aki
 |last5=Vehtari
 |first6=Donald B.
 |last6=Rubin
 |title=Bayesian Data Analysis
 |year=2013
 |edition=III
 |publisher=[[CRC Press]]
 |url=https://books.google.com.ua/books?id=eSHSBQAAQBAJ&printsec=frontcover
 |isbn=978-1439840955
}} {{ref-en}}

</ref>{{rp|8}}

Коли цікавить довільно велика кількість подій <math>A</math>, а не лише дві, це правило може бути перефразовано як '''апостеріорне є пропорційнім добуткові апріорного на правдоподібність''', <math>P(A|B)\propto P(A) P(B|A)</math>, де символ пропорційності означає, що ліва частина є пропорційною (тобто, дорівнює добуткові на сталу) до правої частини при зміні <math>A</math> для фіксованої або заданої <math>B</math>.<ref name="Lee2012">

{{Cite book
 |first1=Peter M.
 |last1=Lee
 |title=Bayesian Statistics: An Introduction
 |year=2012
 |edition=IV
 |publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]
 |url=http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-1118332571.html
 |isbn=978-1-118-33257-3
}} {{ref-en}}

</ref><ref name="McGrayne2012">{{Cite book
 |first=Sharon Bertsch
 |last=McGrayne
 |title=The Theory That Would Not Die: How Bayes' Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy
 |year=2012
 |publisher=[[Yale University Press]]
 |url=http://www.mcgrayne.com/the_theory_that_would_not_die__how_bayes__rule_cracked_the_enigma_code__hunted_d_107493.htm
 |isbn=978-0-300-18822-6
 |accessdate=23 квітня 2015
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150923012710/http://www.mcgrayne.com/the_theory_that_would_not_die__how_bayes__rule_cracked_the_enigma_code__hunted_d_107493.htm
 |archivedate=23 вересня 2015
 |deadurl=yes
 }} {{ref-en}}</ref> У такій формі воно йде ще від [[П'єр-Симон Лаплас|Лапласа]]<ref name="Laplace1774">

{{Стаття
 |first=Pierre-Simon
 |last=Laplace
 |authorlink=П'єр-Симон Лаплас
 |title=Memoir on the Probability of the Causes of Events
 |year=1774/1986
 |journal={{Не перекладено|Statistical Science|||}}
 |volume=1
 |issue=3
 |pages=364-378
 |url=http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ss/1177013620
 |doi=10.1214/ss/1177013621
}} {{ref-en}}

</ref> та [[Антуан Курно|Курно]].<ref name="Cournot1843">

{{Cite book
 |author=[[Антуан Курно]]
 |title=Exposition de la théorie des chances et des probabilités
 |year=1843
 |publisher=Librarie de L. Hachette
 |url=https://archive.org/details/expositiondelat00courgoog
}} {{ref-fr}}

</ref><ref name="Fienberg2005">

{{Стаття
 |author={{Не перекладено|Стівен Фейнберг|Fienberg, Stephen E.||Stephen Fienberg}}
 |title=In Search of the Magic Lasso: The Truth About the Polygraph
 |year=2005
 |journal={{Не перекладено|Statistical Science|||}}
 |volume=20
 |issue=3
 |pages=249-260
 |url=http://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ss/1124891292
 |doi=10.1214/088342305000000223
}} {{ref-en}}

</ref>

Правило Баєса є рівноцінним способом формулювання [[Теорема Баєса|теореми Баєса]]. Якщо нам відомі шанси за та проти <math>A</math>, то ми знаємо ймовірність <math>A</math>. На практиці в силу ряду причин йому може віддаватися перевага перед теоремою Баєса.

Правило Баєса широко використовується у [[Статистика|статистиці]], [[Наука|науці]] та [[Інженерія|інженерії]], наприклад, у [[Баєсів вибір моделі|виборі моделі]], ймовірнісних [[Експертні системи|експертних системах]] на базі [[Баєсова мережа|баєсових мереж]], {{Не перекладено|Статистичний доказ|статистичних доказах||Statistical proof}} у судових процесах, фільтрах [[спам]]у електронної пошти тощо.<ref name="Rosenthal2005">

{{Cite book
 |author={{Не перекладено|Джефрі Розенталь|Rosenthal, Jeffrey S.||Jeff Rosenthal}}
 |title=Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities
 |year=2005
 |publisher=[[HarperCollins]]
 |url=https://archive.org/details/struckbylightnin00jeff
 |isbn=978-0-00-200791-7
}} {{ref-en}}

</ref><ref name="McGrayne2012" /> Як елементарний факт з числення ймовірностей, правило Баєса говорить нам, як пов'язані між собою безумовні та умовні ймовірності, чи то ми працюємо з [[Частотницька інтерпретація ймовірності|частотницькою інтерпретацією ймовірності]], чи то з [[Баєсова ймовірність|баєсовою]]. При баєсовій інтерпретації воно часто застосовується у ситуації, коли <math>A_1</math> та <math>A_2</math> є конкурентними гіпотезами, а <math>B</math> є деяким спостережуваним свідченням. Це правило показує, як чиєсь судження про те, чи є істинною <math>A_1</math> чи <math>A_2</math>, повинне уточнюватися при спостереженні свідчення <math>B</math>.<ref name="Gelman" />

== Правило ==

=== Одна подія ===

Для заданих подій <math>A_1</math>, <math>A_2</math> та <math>B</math> правило Баєса стверджує, що умовні шанси <math>A_1:A_2</math> за умови <math>B</math> дорівнюють відособленим шансам <math>A_1:A_2</math>, помноженим на [[коефіцієнт Баєса]] або рівень правдоподібності <math>\Lambda</math>:

: <math>O(A_1:A_2|B) = \Lambda(A_1:A_2|B) \cdot O(A_1:A_2) ,</math>

де

: <math>\Lambda(A_1:A_2|B) = \frac{P(B|A_1)}{P(B|A_2)}.</math>

Тут шанси та умовні шанси, відомі також як апріорні та апостеріорні шанси, визначаються як

: <math>O(A_1:A_2) = \frac{P(A_1)}{P(A_2)},</math>

: <math>O(A_1:A_2|B) = \frac{P(A_1|B)}{P(A_2|B)}.</math>

В особливому випадку, коли <math>A_1 = A</math> та <math>A_2 = \neg A</math>, пишуть <math>O(A)=O(A:\neg A)</math>, та використовують аналогічні скорочення для коефіцієнту Баєса та умовних шансів. Шанси <math>A</math> за визначенням є шансами за та проти <math>A</math>. Відтак, правило Баєса може бути записано у скороченій формі

: <math>O(A|B) = O(A)  \cdot \Lambda(A|B) ,</math>

або іншими словами: апостеріорні шанси <math>A</math> дорівнюють апріорним шансам <math>A</math>, помноженим на рівень правдоподібності <math>A</math> за умови інформації <math>B</math>. Коротко, '''апостеріорні шанси дорівнюють апріорним шансам, помноженим на рівень правдоподібності'''.

Це правило часто застосовується, коли <math>A_1 = A</math> та <math>A_2 = \neg A</math> є двома конкурентними гіпотезами стосовно причини деякої події <math>B</math>. Апріорні шанси <math>A</math>, іншими словами, шанси <math>A</math> проти <math> \neg A</math>, виражають наші початкові переконання стосовно того, чи є <math>A</math> істинним, чи ні. Подія <math>B</math> представляє якесь свідчення, інформацію, дані або спостереження. Рівень правдоподібності є відношенням шансів спостереження <math>B</math> відповідно до гіпотез <math>A</math> та <math>\neg A</math>. Це правило каже нам, як мають уточнюватися наші апріорні переконання стосовно того, чи є <math>A</math> істинним, чи ні, при отриманні інформації <math>B</math>.

=== Багато подій ===

Якщо ми розглядаємо <math>A</math> як довільну, а <math>B</math> як незмінну, то ми можемо переписати теорему Баєса <math>P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)</math> у вигляді <math>P(A|B) \propto P(A)P(B|A)</math>, де символ пропорційності означає, що зі зміною <math>A</math> при незмінній <math>B</math> ліва частина дорівнює правій частині, помноженій на сталу.

Словами&nbsp;— '''апостеріорне пропорційне апріорному, помноженому на правдоподібність'''. Цю версію теореми Баєса було спочатку названо «Правилом Баєса» Антуаном-Огюстеном Курно у 1843 році.<ref name="Cournot1843" /> Курно популяризував ранішу працю Лапласа 1774 року,<ref name="Laplace1774" /> який незалежно відкрив правило Баєса. Працю [[Томас Баєс|Баєса]] було опубліковано посмертно у 1763 році, але вона залишалася більш-менш невідомою, поки Курно не привернув увагу до неї.<ref name="Fienberg2005" />

Правилу Баєса може віддаватися перевага перед звичайним формулюванням теореми Баєса з цілого ряду причин. По-перше, воно є інтуїтивно простішим для розуміння. Інша причина полягає в тому, що в нормалізації ймовірностей іноді немає необхідності: іноді потрібно знати лише співвідношення ймовірностей. Нарешті, виконання нормалізації часто простіше здійснювати після спрощення добутку апріорного та правдоподібності шляхом вилучення будь-яких множників, що не залежать від <math>A</math>, відтак нам не потрібно насправді обчислювати знаменник <math>P(B)</math> у звичайному формулюванні теореми Баєса <math>P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)}\cdot \,</math>

У [[Баєсова статистика|баєсовій статистиці]] правило Баєса часто застосовується із так званою [[Некоректна апріорна ймовірність|некоректною апріорною ймовірністю]], наприклад, рівномірним розподілом ймовірності над усіма дійсними числами. В такому випадку апріорний розподіл не існує як [[міра ймовірності]] в межах звичайної теорії ймовірності, й теорема Баєса сама по собі є не доступною.

=== Послідовність подій ===

Правило Баєса може застосовуватися кілька разів. Кожного разу, як ми спостерігаємо нову подію, ми уточнюємо шанси між подіями, що нас цікавлять, скажімо, <math>A_1</math> та <math>A_2</math>, враховуючи цю нову інформацію. Для двох подій (повідомлень, свідчень) <math>B</math> та <math>C</math>

: <math> O(A_1:A_2|B \cap C) = \Lambda(A_1:A_2|B \cap C) \cdot \Lambda(A_1:A_2|B) \cdot O(A_1:A_2) ,</math>

де

: <math>\Lambda(A_1:A_2|B) = \frac{P(B|A_1)}{P(B|A_2)} ,</math>
: <math>\Lambda(A_1:A_2|B \cap C) = \frac{P(C|A_1 \cap B)}{P(C|A_2 \cap B)} .</math>

В особливому випадку двох взаємодоповнюваних подій <math>A</math> та <math>\neg A</math> еквівалентним записом є

: <math> O(A|B,C) = \Lambda(A|B \cap C) \cdot \Lambda(A|B) \cdot O(A).</math>

== Виведення ==

Розгляньмо два примірники [[Теорема Баєса|теореми Баєса]]:

: <math>P(A_1|B) = \frac{1}{P(B)} \cdot P(B|A_1) \cdot P(A_1),</math>
: <math>P(A_2|B) = \frac{1}{P(B)} \cdot P(B|A_2) \cdot P(A_2).</math>

Їхнє поєднання дає

: <math>\frac{P(A_1|B)}{P(A_2|B)} = \frac{P(B|A_1)}{P(B|A_2)} \cdot \frac{P(A_1)}{P(A_2)}.</math>

Тепер за визначення

: <math>O(A_1:A_2|B)  \triangleq \frac{P(A_1|B)}{P(A_2|B)}</math>

: <math>O(A_1:A_2) \triangleq \frac{P(A_1)}{P(A_2)}</math>

: <math>\Lambda(A_1:A_2|B) \triangleq  \frac{P(B|A_1)}{P(B|A_2)},</math>

це означає

: <math>O(A_1:A_2|B) = \Lambda(A_1:A_2|B) \cdot O(A_1:A_2).</math>

Аналогічне виведення застосовується для зумовлювання багатьма подіями, з використанням відповідного [[Теорема Баєса#Розширена форма|розширення теореми Баєса]].

== Приклади ==

=== Частотницький приклад === <!-- Наразі для зручності посилається на теорему Баєса, пізніше має бути замінено повним прикладом -->

Розгляньмо приклад [[Теорема Баєса#Перевірка на вживання наркотиків|перевірки на вживання наркотиків]] зі статті про теорему Баєса.

Такі ж результати може бути отримано з використанням правила Баєса. Апріорні шанси того, що особа вживає наркотики, є 199 проти 1, оскільки <math>\textstyle 0.5\%=\frac{1}{200}</math> та <math>\textstyle 99.5\%=\frac{199}{200}</math>. [[Коефіцієнт Баєса]] у разі позитивного результату перевірки особи є <math>\textstyle \frac{0.99}{0.01} = 99:1</math> на користь того, що особа вживає наркотики: це є відношення ймовірності позитивного результату для особи, що вживає наркотики, до позитивного результату особи, що їх не вживає. Апостеріорними шансами того, що особа вживає наркотики, відтак є <math>\textstyle 1 \times 99 : 199 \times 1 = 99:199</math>, що є дуже близьким до <math>\textstyle 100:200 = 1:2</math>. У круглих числах, лише один з трьох із тих, чия перевірка дала позитивний результат, насправді вживає наркотики.

=== Вибір моделі ===

{{Головна|Баєсів вибір моделі}}

== Примітки ==

{{Примітки}}

== Література ==

* {{Cite book
 |ім'я1      = P.
 |прізвище1  = Bessière
 |ім'я2      = E.
 |прізвище2  = Mazer
 |ім'я3      = J.M.
 |прізвище3  = Ahuactzin
 |ім'я4      = K.
 |прізвище4  = Mekhnacha
 |назва      = Bayesian Programming
 |рік        = 2013
 |видавець   = [[CRC Press]]
 |url        = http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439880326
 |isbn       = 9781439880326
}} {{ref-en}}
* {{Cite book
 |ім'я1      = David J.C.
 |прізвище1  = MacKay
 |назва      = Information Theory, Inference, and Learning Algorithms
 |рік        = 2003
 |видавець   = [[Cambridge University Press]]
 |url        = http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/
 |isbn       = 9780521642989
}} {{ref-en}}&nbsp;— електронний підручник, обговорює баєсове порівняння моделей у розділах 3 та 28
* {{Cite book
 |ім'я1      = James V.
 |прізвище1  = Stone
 |назва      = Bayes’ Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis
 |рік        = 2013
 |розділ     = Download chapter 1
 |видавець   = Sebtel Press
 |розміщення = England
 |url        = http://jim-stone.staff.shef.ac.uk/BookBayes2012/BayesRuleBookMain.html
}} {{ref-en}}

[[Категорія:Баєсове висновування]]
[[Категорія:Обирання моделі]]
[[Категорія:Статистичні співвідношення]]
[[Категорія:Епоніми]]