Перегляд вихідного коду сторінки Порядок (теорія груп)

У [[теорія груп|теорії груп]], термін порядок використовується у двох тісно пов'язаних значеннях:

* '''[[порядок групи]]'''&nbsp;— [[кардинальне число|кардинальність]] [[множина|множини]] елементів [[група (алгебра)|групи]];
* '''[[порядок елемента]] a'''&nbsp;— найменше [[додатне число]] <math>r</math>, таке, що <math>a^r = e\,</math> (де ''e''&nbsp;— [[нейтральний елемент|нейтральний елемент групи]]). Якщо це число не існує, кажуть, що порядок є нескінченним.

Порядок групи ''G'' позначається <math>\operatorname{Ord}(G)</math> (а також <math>|G|</math>, <math>\#G</math>, <math>R(G)</math>), порядок елемента ''a''&nbsp;— <math>\operatorname{Ord}(a)</math>.

== Приклад ==

Симетрична група <math>S_3</math>, містить всі [[перестановки]] множини з трьох елементів. Її таблиця Келі має такий вигляд:

: {| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|-
! •
! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''e''
| <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''s''
| ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u''
|-
! ''t''
| ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v''
|-
! ''u''
| ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s''
|-
! ''v''
| ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t''
|-
! ''w''
| ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span>
|}

Ця група складається з шести елементів, тож <math>\operatorname{Ord}(S_3) = 6</math>. За визначенням, порядок одиничного елемента ''e'' дорівнює 1. Елементи ''s'', ''t'' і ''w'' в квадраті рівні ''e'', отже їх порядок дорівнює 2. Порядок елементів ''u'' і ''v'' рівний 3.

== Властивості ==

* Два визначення пов'язані таким чином: якщо ми визначимо

: <math>\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} </math>

підгрупу, породжену елементом ''a'', то

: <math>\operatorname{Ord} (a) = \operatorname{Ord}(\langle a \rangle).</math>

Тож можна дати еквівалентне визначення порядку елемента, як порядку найменшої групи, що містить даний елемент.
* Група порядку 1 називається тривіальною групою. Якщо елемент групи має порядок 1, він є одиничним. Якщо кожен елемент групи G окрім одиничного має порядок 2, то G є [[абелева група|абелевою групою]]: ''ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = ba''. Зворотне твердження невірне, бо, наприклад, [[циклічна група]] <math>Z_6</math> є комутативною групою, але елемент 2 має порядок 3 (''2+2+2 = 6 ≡ 0 (mod 6)'').

* Для будь-якого ''a'' , ''a<sup>k</sup> = e'', якщо і тільки якщо <math>Ord(a) | k</math>, тобто порядок елементу ділить ''k''.

* Порядок будь-якої підгрупи групи ''G'' ділить порядок ''G'', так що порядок будь-якого елементу в групі є [[дільник]]ом порядку групи.

* У конкретному випадку існує зворотна теорема: якщо G скінченна група, число ''d'' є [[просте число|простим]] і ділить порядок групи G, то у групі G існує елемент порядку ''d''.
* Якщо порядок елемента ''a'' є нескінченним, то порядок кожного степеня ''a'', є також нескінченним. Якщо порядок a скінченний, то виконується рівність:
: ''Ord(a<sup>k</sup>)=Ord(a)/[[НСД]](Ord(a), k)''

== Джерела ==

=== Українською ===
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{книга
 |автор          = Ганюшкін О. Г., Безущак О. О.
 |назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 
 |ref            =
}}

=== Іншими мовами ===
* {{Курош.Теорія груп}}

[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Алгебричні властивості елементів]]