Перегляд вихідного коду сторінки Порядкове число

[[Файл:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|Представлення порядкових чисел до &omega;<sup>&omega;</sup>. Кожен оберт спіралі представляє [[степінь]] &omega;]]

'''Порядкове число''' (''трансфінітне число'', ''ординал'') — в [[теорія множин|теорії множин]], узагальнення [[натуральне число|натурального числа]] відмінне від [[цілі числа|цілих чисел]] та [[кардинальне число|кардинальних чисел]]. Введені [[Георг Кантор|Георгом Кантором]] в [[1897]] для класифікації [[цілком впорядкована множина|цілком впорядкованих множин]]. Відіграють ключову роль в доведенні багатьох теорем теорії множин, особливо разом з пов'язаним з ними [[трансфінітна індукція|принципом трансфінітної індукції]].

== Означення ==
Одне з сучасних формулювань визначення [[Трансфінітне число|трансфінітних чисел]] по [[Джон фон Нейман|фон Нейману]]:
:Множина <math>\alpha</math> називається ''ординалом'', якщо вона [[Транзитивна множина|транзитивна]] (тобто кожен її елемент є одночасно її [[Підмножина|підмножиною]]) і [[цілком впорядкована множина|цілком впорядкована]] відношенням належності <math>\in</math>.

== Властивості ==
* <math>\varnothing</math> — ординал. Його також позначають як 0.
* Якщо <math>\alpha</math> — ординал, то кожен елемент <math>\alpha</math> — ординал.
* Якщо <math>\alpha</math> — ординал, то <math>\alpha\cup\{\alpha\}</math> — ординал. Його позначають як <math>\alpha+1</math>.
* Не для кожного ординала <math>\alpha</math> існує ординал <math>\beta</math> такий, що <math>\alpha=\beta+1</math>. Ординали, які не можна представити як суму іншого ординала й одиниці, називають {{Не перекладено|Граничний ординал|граничними|en|Limit ordinal}}, решту&nbsp;— ''неграничними''. (Утім, <math>\varnothing</math> зазвичай також вважають неграничним, хоча є різні тлумачення.)
* Скінченні ординали (як і скінченні [[Кардинальне число|кардинали]]) збігаються з [[Натуральне число|натуральними числами]] (тут під множиною натуральних чисел мається на увазі {{math|1=ℕ<sub>0</sub> = {0, 1, 2, …} }}, тобто включаючи [[0 (число)|нуль]]). 
* Множині натуральних чисел відповідає найменший нескінченний ординал <math>\omega</math> та найменший нескінченний кардинал <math>\aleph_0</math>.
* Існує тільки один [[зліченна множина|зліченний]] кардинал <math>\aleph_0</math>, на відміну від [[незліченна множина|незліченної множини]] зліченних ординалів <math>\omega_1=</math> {ω, ω+1, ω+2, …, ω·2, ω·2+1, …, ω², …, ω³, …, ω<sup>ω</sup>, …, ω<sup>ω<sup>ω</sup></sup>, …, ε<sub>0</sub>, …} 
* [[Множина]] всіх зліченних ординалів є першим незліченним ординалом <math>\omega_1</math>, якому відповідає кардинал <math>\aleph_1</math>.
* Довільна множина <math>x</math> ординалів цілком упорядкована відношенням <math>\in</math>, при цьому <math>\bigcap x</math> — [[найменший елемент]] довільної множини ординалів, <math>\bigcup x</math> — ординал, не менший за довільний ординал <math>x</math>.
* Не існує множини всіх ординалів. Сукупність ординалів є [[клас (математика)|класом]].

== Арифметика ординалів ==
# Додавання не комутативне, зокрема: <math>1+\omega</math> не дорівнює <math>\omega+1</math>, тому, що <math>1+\omega=\omega</math>.
# Додавання асоціативне: <math>\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma</math>.

== Див. також ==
* [[Кардинальне число]]

== Література ==
* {{Куратовский.Мостовский.Теория множеств}}
* {{Хаусдорф.Теория множеств}}
* {{Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию}}
* ''Бурбаки Н.'' Основные структуры анализа. Теория множеств. — М.: Мир, 1965 462 с.

{{Set-theory-stub}}
{{Quantity}}
{{Теорія множин}}

[[Категорія:Порядкові числа]]
[[Категорія:Фундованість]]